肖琳婧

(云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 650000)

一、考題分析

離心率是圓錐曲線的一個(gè)重要基本量，求圓錐曲線離心率的值或范圍的問題也是圓錐曲線中的重點(diǎn)，由于這類問題綜合性比較強(qiáng)，能夠更好地體現(xiàn)學(xué)生的思維能力以及直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)，因此備受高考命題者的關(guān)注.

分析2019年高考試題對圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)考查的情況，全國卷很明顯加強(qiáng)了對圓錐曲線的考查力度，試題的題序都在后移，如選擇題或填空題文科Ⅰ、Ⅱ卷在第12題，理科Ⅰ卷在第16題.命題者將圓錐曲線和直線結(jié)合在一起，普遍把解析幾何作為壓軸題來考查，改變了傳統(tǒng)以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)為壓軸題的做法.無論是全國統(tǒng)一命題還是省自主命題，選擇題或填空題主要考查圓錐曲線的定義(第一定義、第二定義)、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單的幾何性質(zhì)，而解答題的綜合性比較強(qiáng)，切入容易深入難.根據(jù)對2019年考題的側(cè)重分析，結(jié)合新課程的教學(xué)理念，預(yù)測2020年高考命題者還是會(huì)將圓錐曲線的考題放在壓軸位置.

二、例題解析

圖1

注：用幾何關(guān)系和橢圓的定義得到a，c的關(guān)系，進(jìn)而得到離心率.

圖2

注：用代數(shù)關(guān)系(向量的坐標(biāo)表示)找到a，c的關(guān)系，進(jìn)而得到離心率.

圖3

解取左焦點(diǎn)F0，連接F0A,F0B，則四邊形AFBF0是平行四邊形.

因?yàn)閨AF|+|BF|=4，所以|AF|+|AF0|=2a=4，即a=2.

注：先求得a，再利用點(diǎn)到直線的距離公式得到b的取值范圍，進(jìn)而得到離心率的取值范圍.

三、基本策略

1.求橢圓離心率或取值范圍的方法

2.求離心率值的常用方法

(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2=c2-a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解.

四、解題啟示

縱觀解析幾何試題，題目中一般未給出圖形，解題要求解題者正確畫出圖形，從圖形中推理出幾何或者代數(shù)關(guān)系，利用幾何直觀助力問題思考，不斷提高解題者邏輯推理和直觀想象的能力.圓錐曲線的定義是圓錐曲線的根源，某些問題的突破口就是回歸定義，如例1、例3運(yùn)用了橢圓的定義.解析幾何研究的是幾何問題，研究過程中總離不開圖形，同時(shí)在解決問題時(shí)要注意是否能夠靈活運(yùn)用向量、平面幾何、三角函數(shù)等知識(shí)簡化幾何關(guān)系和代數(shù)運(yùn)算，綜合考慮問題，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣.

如何在解題過程中落實(shí)學(xué)生的核心素養(yǎng)，這給一線教師的教學(xué)也提出了較高的要求.學(xué)生在學(xué)習(xí)圓錐曲線離心率的過程中一是要具備定義意識(shí)，定義是對數(shù)學(xué)問題解決的原動(dòng)力，所以圓錐曲線的定義，也是對圓錐曲線本質(zhì)屬性的真實(shí)反饋，是圓錐曲線的靈魂所在，在解決問題過程中，可以對其定義進(jìn)行靈活運(yùn)用.二是方程意識(shí)，方程思想在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，尋找已知與未知之間的等量關(guān)系，構(gòu)造方程或方程組，通過求解方程完成未知向已知的轉(zhuǎn)化，其在圓錐曲線離心率問題研究的過程中也發(fā)揮了重要的作用.因?yàn)橛行缀螁栴}表面上看起來與代數(shù)問題無關(guān)，但是要利用代數(shù)方法——列方程來解決，學(xué)生在求解過程中要善于挖掘隱含條件，具備方程的思想意識(shí).三是平面幾何意識(shí)，在對幾何問題進(jìn)行解析的過程中，需要將數(shù)量關(guān)系作為研究基礎(chǔ)，這種方式不僅可以為學(xué)生進(jìn)行思維的簡化，同時(shí)還可以對解題過程進(jìn)行優(yōu)化.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，有助于對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)的落實(shí).