虞志堅(jiān)

（臺(tái)州學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院，浙江 臨海 317000）

0 引言

線性變換是高等代數(shù)里非常重要的一個(gè)概念[1-11]。在線性空間里取定一組基后，線性變換在這組基下和一個(gè)矩陣是一一對(duì)應(yīng)的，這是高等代數(shù)里很重要的一個(gè)結(jié)果。但是，對(duì)于基礎(chǔ)比較薄弱的學(xué)生，他們往往只記住了這個(gè)結(jié)果，至于線性變換和矩陣到底是如何一一對(duì)應(yīng)的卻不是很清楚。教學(xué)中經(jīng)常有學(xué)生會(huì)問：“線性變換和矩陣一一對(duì)應(yīng)是否意味著向量經(jīng)過線性變換后等于的對(duì)應(yīng)的矩陣和向量相乘？”這些學(xué)生注意到了n階方陣可以與線性空間Pn（這里P是一個(gè)數(shù)域）中的一個(gè)向量直接相乘，而且有時(shí)候上述情形是成立的。所以他們才會(huì)問到：“通常情況下線性變換作用于這個(gè)向量是否就等于對(duì)應(yīng)的矩陣與這個(gè)向量視為矩陣時(shí)的乘積？”但是，有些時(shí)候上述情形又是不成立的。以微分變換為例，一個(gè)多項(xiàng)式經(jīng)微分變換變成了次數(shù)降低一次的另一個(gè)多項(xiàng)式，可一個(gè)矩陣怎么能和一個(gè)多項(xiàng)式相乘？此外，對(duì)于Pn上的一個(gè)向量經(jīng)線性變換后，如果不等于對(duì)應(yīng)的矩陣與原向量的乘積，那么究竟等于什么？在什么情況下線性變換作用于向量等于對(duì)應(yīng)的矩陣與原向量相乘？下面我們將舉例詳細(xì)地進(jìn)行闡述，文中的素材取自本校高等代數(shù)課程所使用的教材，即文獻(xiàn)[12]。

如果沒有特別說明，下文中線性空間Pn中的向量都是指列向量，(x1,x2,…,xn)T示Pn中行向量(x1,x2,…,xn)經(jīng)轉(zhuǎn)置后得到的列向量。此外，若一個(gè)向量經(jīng)線性變換成為另一個(gè)向量，我們將變換前的向量稱為原像，變換后得到的向量稱為像。

1 線性變換作用于向量不等于對(duì)應(yīng)的矩陣與該向量的乘積

2 像的坐標(biāo)作成的向量等于相應(yīng)的矩陣乘以原像的坐標(biāo)作成的向量

3 什么情形下線性變換作用在向量上等于對(duì)應(yīng)的矩陣與該向量的乘積

經(jīng)常有學(xué)生想當(dāng)然地認(rèn)為，既然線性變換與矩陣是一一對(duì)應(yīng)的，那么線性變換作用在向量上就等于線性變換在一組基下的矩陣與該向量的乘積。我們也很希望這個(gè)結(jié)論是成立的。不過，從上文我們看到哪怕矩陣與向量可以作乘法運(yùn)算，在一般情況下這個(gè)結(jié)論也是不成立的。但是換個(gè)角度，如果這樣的結(jié)論成立，它就是個(gè)很有用的結(jié)果。所以，很自然地我們要問：上述結(jié)論是在任何條件下都不成立？還是有可能成立的？如果有可能成立，那么到底在什么條件下上述的結(jié)論成立？下面我們將回答這個(gè)問題。

上述結(jié)論顯然是成立的，但我們有必要就此進(jìn)行說明。首先，結(jié)論只對(duì)形如A：Pn→Pm的線性映射成立。因?yàn)樵谶@種情形下，A對(duì)應(yīng)的矩陣A是一個(gè)m×n矩陣，只有這樣，A才能與Pn中的向量作矩陣的乘法運(yùn)算。其次，當(dāng)取Pn的基為e1,e2,…,en時(shí)，向量(x1,x2,…,xn)T在這組基下的坐標(biāo)為x1,x2,…,xn，此組坐標(biāo)構(gòu)成的向量恰好就是(x1,x2,…,xn)T。正如上文所述：通過坐標(biāo)，線性空間V與Pn是同構(gòu)的。在這里，V與Pn不僅僅是同構(gòu)，兩者完全是相同的。雖然這是一種特殊情形——線性空間和自身當(dāng)然是同構(gòu)的，但是這個(gè)結(jié)論同時(shí)又是一個(gè)非常實(shí)用的結(jié)果。因?yàn)橹灰獙懗鼍€性變換在基下的矩陣，求向量的像只要用矩陣去乘以向量就行了，計(jì)算非常方便。另外，盡管此結(jié)論適用于形如A：Pn→Pm的線性映射，但我們實(shí)際生活的空間是三維歐氏空間P3，所以這個(gè)結(jié)果是很有用的。

4 結(jié)語

通過上文我們看到，線性變換將原像變?yōu)橄?。在基確定的情形下，線性變換對(duì)應(yīng)著一個(gè)矩陣，而與此矩陣相關(guān)聯(lián)的，則是原像與像在這組基下的坐標(biāo)，矩陣乘以原像的坐標(biāo)作成的向量，等于像的坐標(biāo)作成的向量。向量與它在一組基下的坐標(biāo)（作成的向量）是兩個(gè)完全不同的概念，它們屬于不同的線性空間。所以，一般情況下它們是不相等的。但是，向量所在的線性空間與坐標(biāo)作成的線性空間是同構(gòu)的。當(dāng)基選定后，所有線性變換構(gòu)成的線性空間與對(duì)應(yīng)的矩陣構(gòu)成的線性空間也是同構(gòu)的，線性變換與矩陣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系更確切地說是它們所在的線性空間之間同構(gòu)關(guān)系的體現(xiàn)。特別地，當(dāng)向量所在的線性空間為Pn，取構(gòu)成單位矩陣的列向量為一組基時(shí)，向量與它在這組基下的坐標(biāo)作成的向量是相同的。此時(shí)向量所在的線性空間與坐標(biāo)作成的線性空間就是同一個(gè)空間。在這種極為特殊的情況下，線性變換作用于向量的效果跟它在基下的矩陣乘以向量本身（實(shí)際上是它在標(biāo)準(zhǔn)基下的坐標(biāo)作成的向量，只不過此時(shí)它們是相同的）是一樣的。盡管從理論上來說此結(jié)果只是一個(gè)特例，但它具有很強(qiáng)的應(yīng)用性。