張黛茨 付莊藝 胡曉莉

摘 要：柯西-布涅科夫斯基不等式是數(shù)學(xué)中的重要不等式之一。它有多種表示形式及變形表達(dá)式，不論是在初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)當(dāng)中都有著重要應(yīng)用。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，熟練運(yùn)用柯西不等式巧妙解決代數(shù)及幾何相關(guān)問題往往事半功倍。筆者將主要通過具體的典型實(shí)例來分析運(yùn)用柯西不等式解決解析幾何中關(guān)于距離最值問題的技巧。

關(guān)鍵詞：柯西不等式 中學(xué)數(shù)學(xué) 幾何 最值問題

1821年法國數(shù)學(xué)家柯西最先提出了柯西不等式并將其應(yīng)用于研究“流數(shù)問題”，而后俄國數(shù)學(xué)家布涅科夫斯基提出它的積分形式，而積分形式的現(xiàn)代證明則由法國數(shù)學(xué)家施瓦茲給出。因此不等式全稱為柯西-布涅科夫斯基-施瓦茲不等式。這個(gè)不等式有許多運(yùn)用，例如Cramér-Rao在1945到1946年證明了C-R不等式。后來，又有不少文獻(xiàn)進(jìn)行了這方面的研究。這類結(jié)果被稱為C-R型不等式?！督y(tǒng)計(jì)與真理》中C-R型不等式給出了可估參數(shù)的無偏估計(jì)量的方差下界，在估計(jì)理論中它也有著重要作用。1927年，海森堡發(fā)表的《量子理論運(yùn)動學(xué)和力學(xué)的直觀內(nèi)容》提出的著名的不確定性原理（Uncertainty principle）同樣也運(yùn)用了柯西不等式。

柯西不等式是新課標(biāo)選入的高等數(shù)學(xué)中的內(nèi)容之一，具有對稱和諧的結(jié)構(gòu)，它的變換形式多樣，在微積分、線性代數(shù)與概率論等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。這充分說明了不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間的內(nèi)通性，滲透性以及完備性。柯西不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)證明命題中最強(qiáng)有力的一個(gè)工具。筆者對柯西不等式在幾何上的應(yīng)用產(chǎn)生了濃厚興趣，從簡單的初等問題受到啟發(fā)，縱觀其證明和應(yīng)用，大致可分為距離問題和極值問題。

1 柯西不等式在幾何問題中的應(yīng)用

本題是求橢圓切線方程的問題，利用常規(guī)思路求解不僅計(jì)算量很大而且也很復(fù)雜。巧妙利用柯西不等式對本題求解不僅能減少計(jì)算量還十分簡潔，容易理解與掌握。

2 結(jié)論

柯西不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)課本中有著重要地位，其在距離問題和圓錐曲線等解析幾何上應(yīng)用廣泛，熟練運(yùn)用柯西不等式能簡明快捷地解決一些初等數(shù)學(xué)問題。值得注意的問題是，在解題中根據(jù)需要構(gòu)造柯西不等式的適當(dāng)形式至關(guān)重要。另外，驗(yàn)證柯西不等式等號成立條件同樣至關(guān)重要，其往往是求解幾何上臨界值和最值的關(guān)鍵思想。

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