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初中數(shù)學建模學習是指在理解的基礎(chǔ)上建立數(shù)學模型，類比遷移，運用數(shù)學模型批判地學習新思想、分析事實，并將新知識融入原有的認知結(jié)構(gòu)中，進而提升學習層次和探究能力。

初中數(shù)學建模教學的一般思路是“提出問題——分析問題——選擇模型——建立模型——得出結(jié)論”，以問題的探究為主要目標，引導學生學會大膽質(zhì)疑、思想碰撞，產(chǎn)生火花，從而讓學生思考得更深刻，有效提升學生思維的廣度和深度。筆者以“二次函數(shù)圖像中線段和差最值的存在性問題”教學設(shè)計為例進行了實踐性的思考與總結(jié)，談談教學設(shè)計中的深度學習應呈現(xiàn)出什么樣的狀態(tài)，教學設(shè)計在建模學習的過程中能夠發(fā)揮什么樣的作用，建模學習是如何幫助學生進行深度學習的，請同行指正。

學習目標要求本課內(nèi)容為九年級數(shù)學復習課“二次函數(shù)圖像中線段和差最值的存在性問題”，要求學生能通過對具體問題的分析，體會函數(shù)變量之間的變化關(guān)系，探究發(fā)現(xiàn)幾何中線段和差最值的轉(zhuǎn)化與建模途徑，培養(yǎng)學生綜合運用知識解決二次函數(shù)的相關(guān)問題的能力。

一、提出問題

提出要探究的問題，引導學生尋找解決問題的數(shù)學模型，設(shè)計具有挑戰(zhàn)性的問題，培養(yǎng)幾何直觀、運算與推理能力，建構(gòu)知識，生成能力，遷移方法。

教學活動1探究下列問題，畫出對應的幾何模型

問題1拋物線y=2x2-12x+16與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，頂點為D。點P是該拋物線對稱軸上的一個動點，要使得△PAC的周長最小，求點P坐標。

解析：如圖1，連接BC，交直線x=3于點P，根據(jù)對稱性有PA=PB，求出直線B C的表達式為y=-4x+16，∴點P（3，4）。

圖1

【設(shè)計意圖】找出點A關(guān)于直線x=3的對稱點B，連接CB，依據(jù)“兩點之間線段最短”揭示此類求線段和最小值題目的本質(zhì)特征，為學生解決后續(xù)問題鋪設(shè)臺階，有效提升學生識圖建模能力。

二、變式探究

在不改變知識本質(zhì)特征的前提下，變換其非本質(zhì)特征，引導學生在動態(tài)變化的情境中強化對本質(zhì)特征的理解，將已有的知識遷移到動態(tài)的情境中，理解數(shù)學模型的價值，探究真問題，拓展數(shù)學思維的深度和廣度。

教學活動2 梳理數(shù)學模型，尋求問題1和變式問題的內(nèi)在聯(lián)系

變式1拋物線y=2x2-12x+16與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，頂點為D。拋物線上有一點E，E的橫坐標為5，點F（m，0）是x軸上的一個動點，當F C+E F的值最小時，求m的值。

解析：如圖2，作點E關(guān)于x軸的對稱點E′，連接C E′交x軸于點F，求得直線C E′的表達式為根據(jù)兩點間線段最短，F(xiàn) C+E F=FC+E′F=CE′，此時F C+EF的值最小

圖2

變式2拋物線y=2x2-12x+16與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，頂點為D，點G(0，n)是y軸上的一個動點，求線段GD與G A中較長的線段減去較短的線段的差的最小值與最大值，并求出相應的n的值。

解析：如圖3，當A、G、D三點共 線 時，|GD-GA|=AD，求得直線A D的表達式為y=-2x+4，此時G(0，4)，∴n=4。當G′D-G′A=0，即G′D=G′A時，|GD-G A|有最小值為0。此時AD的垂直平分線G′E的表達式為

圖3

變式3拋物線y=2x2-12x+16與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，頂點為D，K是O C中點。一個動點Q從K點出發(fā)，先經(jīng)過x軸上的M點，再經(jīng)過拋物線對稱軸上的點N，然后返回到C，如果動點Q走過的路程最短，請找出點M、N位置，并求出最短路程。

解析：如圖4，根據(jù)對稱性分別找出點K、點C的對稱點K′、C′，再連接K′C′，分別交x軸于點M，交直線x=3于點N，動點Q的最短路程為S=KM+M N+CN=K′M+M N+C′N′，∴S=K′C′?？?求 出C′(6,16)，K′(0,-8)，∴最 短 路 程S=

圖4

【設(shè)計意圖】以上問題及變式，強化了學生對數(shù)學模型的認識、積累。學生通過尋找對稱點，求解線段和、差最值問題，掌握方法與策略，再通過變式訓練，便真正能知其然，更能知其所以然。學生經(jīng)歷化繁為簡、轉(zhuǎn)難為易的深度思考，學會在新情境中運用新結(jié)論解決問題，深度學習的雛形初現(xiàn)。

三、拓展提升

設(shè)計思維清晰的系列問題，引導學生感知求解方法是建立在數(shù)學模型基礎(chǔ)上的。通過對比上述建模解題的方法，積累經(jīng)驗，引發(fā)學生深入思考，真正將其內(nèi)化，實現(xiàn)由低階思維走向高階思維。

教學活動3 體驗建構(gòu)過程，挑戰(zhàn)新問題

問題2如圖5，已知一條直線與拋物線y=相交于A、B兩點，其中點A、B的橫坐標分別是-2、8。

圖5

（1）求這條直線的函數(shù)表達式；

（2）如圖6，設(shè)直線AB分別與x軸、y軸交于點D、E，F(xiàn)為OD的中點，將線段O F順時針旋轉(zhuǎn)得到O F′，旋轉(zhuǎn)角α(0°＜α＜90°)，連接D F′，EF′，求的最小值。

圖6

解析：（1）求出點A、B的坐標為點A(-2，1)，B(8，16)，直線AB的表達式為

又∠F′O G=∠E OF′，∴△OF′G∽ΔO E F′，有F′G=當D、F′、G三點共線時，的值最小

【設(shè)計意圖】拓展深化一類數(shù)學問題，引導學生明晰數(shù)學方法的多樣性，體驗利用構(gòu)造相似三角形的手段，巧妙轉(zhuǎn)化線段的長度，類比遷移，優(yōu)化求解線段和最小值的方法。學生經(jīng)歷建模轉(zhuǎn)化的過程，體會其中的數(shù)學思想方法，形成數(shù)學的思維方式。

四、延伸升華

真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，得到必要的數(shù)學思維訓練，獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗，深入思考問題本質(zhì)，讓深層次思考成為建模探究的必然之需。

教學活動4 理解模型，感悟思想

問題3如圖7，已知一次函數(shù)y=x+3的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=-x2+bx+c過A、B兩點，且與x軸交于另一點C。

圖7

（1）求b、c的值；

（2）如圖7，點D為AC的中點，點E在線段B D上，且BE=2ED，連接CE并延長交拋物線于點M，求點M的坐標；

（3）將直線AB繞著點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)15°后交y軸于點G，連接C G，如圖8，P為△A O G內(nèi)一點，連接P A、PC、PG，分別以AP、AG為邊在它們的左側(cè)作等邊三角形APR、等邊三角形AGQ，連接Q R。

圖8

①求證：P G=RQ；

②求PA+P C+PG最小值。

解析：（1）b=-2，c=3；（2）直線C E的表達式為；（3）連接C Q，PA+P C+PG=P C+PR+QR≥C Q，∴當C、P、R、Q四點共線時，P A+P C+P G有最小值。求得

【設(shè)計意圖】問題3為學生提供多角度、多層次的探究空間，從繞旋的角度發(fā)現(xiàn)△PAG≌△R A Q，將問題2的解法自然遷移至此，類比探究方法，教學設(shè)計環(huán)環(huán)相扣，層次分明，思維訓練指向核心問題。

五、教后反思

1.建模構(gòu)造，積累策略。

合作式建模學習方式，能促使學生集思廣益，找到解決問題的最優(yōu)策略。本課例以一個二次函數(shù)最值問題為中心，讓學生在教師設(shè)置的變式問題的引導下，建構(gòu)基本幾何模型，依靠已有的知識經(jīng)驗和思維實踐活動主動地解決問題，以達到培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、養(yǎng)成探究的習慣與態(tài)度的目的。

2.分解模型，正向遷移。

將要解決的問題抽象分解出基本模型，從而得到解決問題的方法。如何破題，如何分享解題思路，有幾種解題方法，其中蘊含的數(shù)學思想方法是什么，題目的易錯點在哪里等。在分解模型的過程中，引導學生學會對重點問題、難點問題深入思考，充分打開思維，對問題進行深度剖析。通過一題多解、多題一解，學生的思維充分碰撞，閃現(xiàn)出創(chuàng)造的火花，創(chuàng)新意識、歸納總結(jié)能力得到有效提升，知識網(wǎng)絡得到有效建構(gòu)，學會思考、表達、耐心傾聽，處理信息和反思評價的能力得到提高，思考也向縱深發(fā)展。

3.強化意識，提升素養(yǎng)。

倡導獨立思考后的小組合作，采用“完整經(jīng)歷數(shù)學模型的抽象過程”，積累二次函數(shù)背景下線段和差最值問題的學習經(jīng)驗，能強化學生的模型意識。在建模活動完成后，教師要引導學生進行總結(jié)，將數(shù)學模型內(nèi)化，成為自己解決問題的一種方法。了解和經(jīng)歷解決實際問題的全過程，促進模型思想的滲透。

“學的真諦在于悟”，通過變式拓展問題，解析數(shù)學模型，深度學習，解決真問題，揭示線段和差的最值求法的內(nèi)在規(guī)律。問題情境變化了，但幾何圖形的基本性質(zhì)和解決問題的方法沒有變化。學生在發(fā)現(xiàn)、辨析、反思中領(lǐng)悟數(shù)學模型的認知策略，提升學習數(shù)學的能力。