樸勇杰

(延邊大學 理學院，吉林 延吉 133002)

定義1[9]設X是非空集合,稱映射d∶X×X→[0,+∞)是X上的乘積度量是指d滿足：

(i)對任何x,y∈X，d(x,y)≥1且d(x,y)=1 ?x=y；

(ii)對任何x,y∈X，d(x,y)=d(y,x)；

(iii)對任何x,y,z∈X，d(x,z)≤d(x,y)d(y,z)(乘積三角不等式).

當d是X上的乘積度量時，稱(X,d)為乘積度量空間.

有關乘積度量空間的例子可參看文獻[10-12].

定義2[9]設(X,d)是乘積度量空間, {xn}是X中的序列且x∈X.若對任何積性開球Bε(x)={y∈X|d(x,y)<ε},?ε>1, 存在自然數N且使得n>N時xn∈Bε(x)成立, 則稱序列{xn}乘積收斂于x, 并記為xn→x(n→∞).

引理1[10]設(X,d)是乘積度量空間, {xn}是X中的序列且x∈X，則xn→x(n→∞)?d(xn,x)→1(n→∞).

定義3[10]設(X,d)是乘積度量空間, {xn}是X中的序列.若對任何ε>1, 存在自然數N且使得n,m>N時d(xn,xm)<ε成立，則稱序列{xn}為乘積柯西序列.

引理2[10]設(X,d)是乘積度量空間,{xn}是X中的序列，則{xn}是乘積柯西序列當且僅當d(xn,xm)→1(n,m→∞).

定義4[10]如果乘積度量空間(X,d)中的每個乘積柯西序列都是乘積收斂的,則稱(X,d)是完備的.

引理3[10]設(X,d)是乘積度量空間, {xn}和{yn}是X中的兩個序列且x,y∈X，則xn→x,yn→y(n→∞)?d(xn,yn)→d(x,y)(n→∞).

設(X,d)是完備的乘積度量空間.稱T∶X→X是Β-擬壓縮映射是指存在k∈[0,1)使得

d(Tx,Ty)≤[v(x,y)]k,?x,y∈X,

(1)

其中v(x,y)∈A(x,y)∶={d(T2x,x),d(T2x,Tx),d(T2x,y),d(T2x,Ty)}.

定理1設(X,d)是完備的乘積度量空間,T∶X→X是自映射.如果T是Β-擬壓縮的,則T有唯一不動點,并且對任何x∈X, 迭代序列{Tnx}收斂于該唯一不動點.

d(xi,xi +1)=d(Txi-1,Txi)≤[v(xi-1,xi)]k，

(2)

其中v(xi-1,xi)∈A(xi-1,xi)={d(T2xi-1,xi-1),d(T2xi-1,Txi-1),d(T2xi-1,xi),d(T2xi-1,Txi)}={d(xi +1,xi-1),d(xi +1,xi),1}.如果v(xi-1,xi)=d(xi +1,xi-1), 則根據式(2)可得d(xi,xi +1)≤[d(xi +1,xi-1)]k; 如果v(xi-1,xi)=d(xi +1,xi), 則根據式(2)可得d(xi,xi +1)≤[d(xi +1,xi)]k, 再根據k∈[0,1)可得d(xi,xi +1)=1≤[d(xi +1,xi-1)]k; 如果v(xi-1,xi)=1, 則根據式(2)可得d(xi,xi +1)=1k≤[d(xi +1,xi-1)]k.綜合以上3種情況可得：

d(xi,xi +1)≤[d(xi-1,xi +1)]k,n=1,2,….

(3)

對任何固定的n=1,2,…, 根據式(1)可得：

d(xi,xi +2)=d(Txi-1,Txi +1)≤[v(xi-1,xi +1)]k,

(4)

(5)

式(5)可寫成如下形式：

(6)

其中k(i,i +2)=k或k(i,i +2)=k2.

以下證明對任何自然數n，當i,j是自然數且滿足1≤i,j≤n時，式(7)成立.

(7)

如果n=1, 則i=j=1, 由此顯然知式(7)成立.假設n=m時式(7)成立,則可得下式成立：

(8)

設n=m+1.由于在1≤i,j≤m時式(7)和式(8)成立,因此進一步可設j=m+1, 1≤i≤m.由此根據式(1)可得：d(xi,xm +1)=d(Txi-1,Txm)≤[v(xi-1,xm)]k, 其中v(xi-1,xm)∈A(xi-1,xm)={d(xi-1,xi +1),d(xi,xi +1),d(xi +1,xm),d(xi +1,xm +1)}.

綜合上述所有情況并根據歸納原理可知式(7)成立.

對任何m,n∈N且1

(9)

(10)

再根據引理2知{xn}是X中的乘積柯西序列,于是根據X的完備性知存在x*∈X使得xn→x*(n→∞).根據定義1中的(iii)和式(1)可知,對任何n∈N有:

d(x*,Tx*)≤d(xn,x*)d(Txn-1,Tx*)≤d(xn,x*)[v(xn-1,x*)]k,

(11)

其中v(xn-1,x*)∈{d(xn-1,xn +1),d(xn,xn +1),d(xn +1,x*),d(xn +1,Tx*)}.

當v(xn-1,x*)=d(xn-1,xn +1)時，根據式(11)可得:

d(x*,Tx*)≤d(xn,x*)[d(xn-1,xn +1)]k.

(12)

當v(xn-1,x*)=d(xn,xn +1)時，根據式(11)可得:

d(x*,Tx*)≤d(xn,x*)[d(xn,xn +1)]k.

(13)

當v(xn-1,x*)=d(xn +1,x*)時，根據式(11)可得:

d(x*,Tx*)≤d(xn,x*)[d(xn +1,x*)]k.

(14)

當v(xn-1,x*)=d(xn +1,Tx*)時，根據式(11)可得:

d(x*,Tx*)≤d(xn,x*)[d(xn +1,Tx*)]k≤d(xn,x*)[d(xn +1,x*)d(x*,Tx*)]k.

整理上式可得:

(15)

綜合上述4種情況并根據引理1和引理2及k∈[0,1)可知，當式(12)—(15)的兩邊取n→∞時可得d(x*,Tx*)=1, 這說明x*是T的一個不動點.如果y*也是T的不動點,則根據式(1)可得：d(x*,y*)=d(Tx*,Ty*)≤[v(x*,y*)]k, 其中v(x*,y*)∈{1,d(x*,y*)}.由此容易得到d(x*,y*)=1, 因此x*是T的唯一不動點.再根據xn=Txn-1=Tnx及xn→x*可知，{Tnx}收斂于T的唯一不動點x*.

例1在R=(-∞,+∞)上定義d(x,y)=e|x-y|,?x,y∈R, 則(R,d)是乘積度量空間.令X={0,1,2}, 則顯然可知(X,d)是完備的乘積度量空間.定義f∶X→X,f0=f1=0,f2=1，并取k∈(0.5,1)，由此顯然有：當x,y∈{0,1}或x=y=2時,d(fx,fy)=1≤[max{d(f2x,x),d(f2x,fx),d(f2x,y),d(f2x,fy)}]k成立；當x=0,y=2時，d(f0,f2)=e|f0-f2|≤e2k≤[max{d(f20,0),d(f20,f0),d(f20,2),d(f20,f2)}]k成立；當x=1,y=2時，d(f1,f2)=e|f1-f2|≤e2k≤[max{d(f21,1),d(f21,f1),d(f21,2),d(f21,f2)}]k成立.由以上計算結果可知，f和k滿足定理1的所有條件,因此f具有唯一不動點0.