秦昌茂 王 興 雷延花

中國運載火箭技術(shù)研究院，北京 100076

0 引言

高速飛行器再入過程中，由于馬赫數(shù)高達10以上，飛行中氣動參數(shù)受到馬赫數(shù)及攻角變化的影響，導致高速飛行器是一類參數(shù)大范圍快速時變、強非線性的復雜被控對象，傳統(tǒng)PID控制往往難以獲得滿意的控制效果，而目前普遍應用的魯棒控制、自適應控制及滑?？刂频萚1-5]，雖然控制效果很好，但是增加了控制器設(shè)計的復雜程度，并且也沒有對高速飛行器的穩(wěn)定域進行相應的分析。

分數(shù)階PIλDμ[6]將傳統(tǒng)PID的整數(shù)階次推廣到分數(shù)階次，由于比傳統(tǒng)PID具有更強的魯棒性及更好的控制效果[7-8]及繼承了傳統(tǒng)PID結(jié)構(gòu)簡單等特點，分數(shù)階PIλDμ在其他領(lǐng)域已獲得應用。分數(shù)階PIλDμ控制器設(shè)計過程包括數(shù)字實現(xiàn)及參數(shù)整定2部分，目前數(shù)字實現(xiàn)方法[9-10]中以薛定宇的改進Oustaloup算法獲得較好的近似效果。分數(shù)階PIλDμ相較于傳統(tǒng)PID增加了2個階次參數(shù)，目前的參數(shù)整定主要是通過優(yōu)化算法來確定，有極點配置法、頻率法及遺傳算法[11]。在分數(shù)階PIλDμ的穩(wěn)定域分析中，主要是使用D-分解法針對分數(shù)階系統(tǒng)[12-13]或是參數(shù)不確定時滯系統(tǒng)[14]分析控制器參數(shù)穩(wěn)定區(qū)域，但并未整定λ和μ兩個參數(shù)。

本文基于最優(yōu)Oustaloup數(shù)字實現(xiàn)及高速飛行器非線性俯仰通道模型建立仿真框圖，結(jié)合ITAE指標利用遺傳算法尋優(yōu)整定分數(shù)階PIλDμ參數(shù)，然后針對選定的分數(shù)階PIλDμ控制器，利用D-分解法分析高速飛行器的馬赫數(shù)及攻角穩(wěn)定區(qū)域，以確定所設(shè)計的控制器穩(wěn)定控制范圍和控制參數(shù)，同時保證控制器具備最優(yōu)的穩(wěn)定性。最后結(jié)合跟蹤微分器設(shè)計了改進的分數(shù)階PIλDμ控制器。

1 分數(shù)階PIλDμ最優(yōu)Oustaloup數(shù)字實現(xiàn)

基于Oustaloup濾波器在(ωb,ωh)頻率段內(nèi)實現(xiàn)分數(shù)階微分算子sμ的近似，在該濾波器之前增加一個濾波器來提高數(shù)字實現(xiàn)近似精度，將分數(shù)階微積分sμ近似為：

sμ≈G×Gc

(1)

其中G為濾波器，Gc為Oustaloup濾波器。

濾波器G的形式為：

(2)

其中的參數(shù)通過最優(yōu)算法尋優(yōu)確定。為了提高頻率段內(nèi)幅頻及相頻近似精度，將分數(shù)階微積分sα近似算法的幅頻及相頻與實際的幅頻及相頻之間的誤差作為尋優(yōu)性能指標，即：

(3)

其中，M1和P1代表實際的幅頻及相頻，M2和P2代表近似算法的幅頻及相頻，ρ為調(diào)整因子，可以調(diào)整幅頻及相頻近似的側(cè)重。一般取ρ=0.5。通過尋優(yōu)使得J達到最小來確定濾波器G的參數(shù)。

以分數(shù)階算子s0.5為例，取頻率段為[0.001，1000]，N=4，以改進算法中的濾波器參數(shù)作為優(yōu)化的初始值，經(jīng)過尋優(yōu)之后，得到最優(yōu)參數(shù)為：

分別利用Oustaloup算法及最優(yōu)Oustaloup算法進行仿真，頻率響應曲線如圖1所示。

圖1 分數(shù)階算子s0.5頻率響應曲線

分數(shù)階PIλDμ微積分階次一般取λ,μ∈[0 ∶0.1 ∶1]，最終設(shè)計的分數(shù)階PIλDμ框圖如圖2所示。

圖2 分數(shù)階PIλDμ仿真圖

2 分數(shù)階PIλDμ參數(shù)整定

以高速飛行器俯仰通道為例，俯仰通道模型如下：

(4)

其中：

r=h+RE

CL=0.6203α

CM(α)=-0.035α2+0.036617α+5.3261×10-6

CM(δe)=ce(δe-α)

式中：V，θ，h，α和ωz分別表示飛行器的速度，彈道傾角，高度，攻角和俯仰角速度；L，Mz分別表示升力和俯仰力矩；m，Iz，μ，S和RE分別表示飛行器的質(zhì)量、俯仰轉(zhuǎn)動慣量、重力常數(shù)、參考氣動面積和地球半徑。其中飛行器仿真模型的參數(shù)見參考文獻[1]。

遺傳算法是一類借鑒生物界自然選擇和生物遺傳機制的隨機化搜索方法，其主要特點是群體搜索策略和群體中個體之間的信息交換，優(yōu)化搜索不依賴于梯度信息，尤其適合于處理傳統(tǒng)搜索難以解決的復雜性和非線性問題。建立分數(shù)階PIλDμ控制器及高速飛行器俯仰通道非線性模型，結(jié)合ITAE指標，利用遺傳算法尋優(yōu)整定分數(shù)階PIλDμ參數(shù)，積分及微分階次取μ,λ∈[0 ∶0.1 ∶1]，參數(shù)Kp,Ki,Kd∈[1,100]，高度h=30km，V=15，期望值α=10°，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同λ和μ的ITAE值

從仿真結(jié)果可以看出，分數(shù)階PIλDμ比傳統(tǒng)PID可以獲得更好的控制品質(zhì)。

3 馬赫數(shù)及攻角穩(wěn)定域分析

將高速飛行器俯仰通道模型轉(zhuǎn)化為非線性傳遞函數(shù)，被控系統(tǒng)模型為馬赫數(shù)及攻角的函數(shù)。

(5)

其中：

A=s2+0.04078Vα2s-

0.001809Vαs+0.0013734Vs

B=-0.0015785V2α2+

0.0003344V2α+2.402×10-7V2

D=0.001317V2

選擇分數(shù)階PIλDμ控制器模型為：

C=Kp+Kis-λ+Kdsμ

因此，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

(6)

特征多項式為：

P(s;V,α)=
sλ(Aα+AC-B)+Dα·(Kdsλ+μ+Kpsλ+Ki)

(7)

定義1：設(shè)馬赫數(shù)和攻角的穩(wěn)定域為S，當K=(V,α)∈S時，控制系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是特征根均在s平面的左半部。

穩(wěn)定域S由實部邊界(Real region boundary，RRB)，虛部邊界(Imaginary region boundary，IRB)及復數(shù)邊界(Complex region boundary，CRB)確定，3條邊界線由D-分解法計算確定。邊界由以下方程確定：

RRB：P(0;K)=0；IRB：P(∞;K)=0；

CRB：P(±jω;K)=0

將s=0代入到特征多項式中可得RRB邊界線方程為：V=0。

由于高速飛行器俯仰通道傳遞函數(shù)分子分母最高階次不相等，因此沒有IRB邊界線。

將s=jω代入特征多項式，可得CRB邊界線方程。

復數(shù)的分數(shù)次方計算公式為：

其中，σ為實部，ω為虛部，γ為階次。

利用上式可得：

將上式令特征多項式代入特征多項式，令實部及虛部都等于0，可得關(guān)于V與α的方程，其中ω∈(0,∞)，所得數(shù)值解中取V>0，則穩(wěn)定域邊界為RRB在α=∞時與CRB相接，穩(wěn)定區(qū)域為CRB邊界曲線上方。

以分數(shù)階PIλDμ控制器：

C=100(1+s-0.5+s0.9)

(8)

為例得到的方程如下所示：

0.06585V3α+0.014566V3αω1.4+
0.0011164V3α2ω0.5+0.092889V3αω0.5-
0.7071Vαω2.5+4.1393×10-5Vαω0.5-
0.000031426Vω0.5-1.2438×10-7V3ω0.5+
2.5087×10-5V3α3ω0.5-9.3312×10-4Vα2ω0.5=0
0.028836V2α3ω1.5+0.091979V3αω1.4+
0.0000331V2ω1.5-0.022882ω1.5-0.06585V3α-
0.0012791V2α2ω1.5+0.0015863V2αω1.5=0

(9)

解上述方程，即可得到V與α的穩(wěn)定域邊界。

3.1 λ對穩(wěn)定域的影響

取μ=1，λ分別為0、0.2、0.4、0.6、0.8和1，得到高速飛行器V與α的穩(wěn)定域如圖4所示。

圖4 λ變化時對穩(wěn)定域的影響

從圖中可知，隨著λ的增大，穩(wěn)定域不斷減小，在攻角α∈[5°,15°]內(nèi)變化很明顯。傳統(tǒng)PID的穩(wěn)定域最小，而分數(shù)階PIλDμ擴大了穩(wěn)定域，說明分數(shù)階PIλDμ比傳統(tǒng)PID對系統(tǒng)參數(shù)的變化不敏感，且應用的范圍更廣，所以λ應取分數(shù)階次并取較小值。

3.2 μ對穩(wěn)定域的影響

取λ=1，μ分別為0.2、0.4、0.6、0.8、1，得到高速飛行器V與α的穩(wěn)定域如圖5所示。

圖5 μ變化時對穩(wěn)定域的影響

從圖中可知，隨著μ的增大，穩(wěn)定域先減小后增大，μ取較小值時，穩(wěn)定域范圍比傳統(tǒng)PID小，當μ取0.6～0.8時，穩(wěn)定域基本不變，比傳統(tǒng)PID穩(wěn)定域范圍大，所以μ應取較大值。

4 改進的分數(shù)階PIλDμ控制器

跟蹤微分器(Tracking differentiator，TD)是自抗擾控制技術(shù)的重要組成部分，主要是解決在工程實際問題中，有效的給出不連續(xù)或有噪聲的信號的跟蹤信號和信號的微分。即跟蹤微分器給出輸入信號的跟蹤信號以及跟蹤信號的微分，用跟蹤信號的微分來近似輸入信號的微分。對于離散系統(tǒng)，具體算法如下[15]：

(10)

構(gòu)造最速控制綜合函數(shù)fhan(x1,x2,r,h)，算法如下：

(11)

將u=fhan(x1,x2,r,h)帶入系統(tǒng)中，以x1(k)-v(k)代替方程中的x1(k)，就可以得到離散化的跟蹤微分器：

(12)

其中，v(k)為輸入信號，x1(k)為輸入信號的跟蹤信號，x2(k)為x1(k)的微分信號，可近似看為v(k)的微分信號，r為快速因子，r越大x1(k)跟蹤v(k)也越快。h為濾波因子。

利用跟蹤微分器改進分數(shù)階PIλDμ控制器，將兩者結(jié)合，為便于設(shè)計控制器，并結(jié)合前文的性能指標分析及分數(shù)階次對穩(wěn)定域的影響分析，選擇分數(shù)階次λ=0.2，μ=1。在穩(wěn)定域滿足實際應用的前提下，μ=1可以直接利用跟蹤微分器輸出的微分信號，如果μ≠1，可以直接加入分數(shù)階PIλDμ微分對信號進行分數(shù)階微分計算。

建立高速飛行器縱向通道非線性模型，構(gòu)造如圖6所示的高速飛行器俯仰通道自抗擾分數(shù)階PIλDμ控制器：

圖6 高速飛行器縱向通道控制框圖

仿真參數(shù)選取如下：r0=300，h0=0.1，r1=300，T=0.001，其中，r0,h0分別為前向通路的快速因子和濾波因子，r1,h1為反饋通路的快速因子和濾波因子和T為采樣時間，當V=15，期望輸入α=10°，在輸入信號中加入高斯白噪聲及第5s時加入幅值10°的脈沖信號，仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 控制器仿真結(jié)果

從圖中可以看出，分數(shù)階PIλDμ控制器上升時間短，響應快，能更好的滿足高速飛行器的快速性要求，具有更高的穩(wěn)定精度，能精確地跟蹤控制指令達到期望值。而傳統(tǒng)PIλDμ上升時間長，響應速度慢。

分數(shù)階PIλDμ(FOPID)、自抗擾(Active disturbance rejection controller，ADRC)及自抗擾分數(shù)階PIλDμ(Active disturbance rejection and Fractional-order PID，ADRFO)均比傳統(tǒng)PID控制效果好，調(diào)節(jié)時間及超調(diào)量均優(yōu)于傳統(tǒng)PID，獲得了更好的控制品質(zhì)。而分數(shù)階PIλDμ相比于自抗擾及自抗擾分數(shù)階PIλDμ調(diào)節(jié)時間減少，但是超調(diào)量稍大，自抗擾超調(diào)最小，但是調(diào)節(jié)時間稍大，自抗擾分數(shù)階PIλDμ介于兩者之間。

從圖7可知，當α=10°，V=2.7時，對于傳統(tǒng)PID及自抗擾控制器而言，該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。但是對于分數(shù)階PIλDμ而言，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

自抗擾控制仿真結(jié)果是發(fā)散、不穩(wěn)定的，而自抗擾分數(shù)階PIλDμ仿真結(jié)果是收斂、穩(wěn)定的。由此，可以看出，自抗擾控制雖然設(shè)定了過渡過程時間，并且在超調(diào)量及調(diào)節(jié)時間方面有了很大改進，但是穩(wěn)定域還是繼承了傳統(tǒng)PID的特點。而分數(shù)階PIλDμ則擴展了傳統(tǒng)PID的穩(wěn)定域，提高了控制器的魯棒性。因此結(jié)合自抗擾控制器及分數(shù)階PIλDμ控制器的優(yōu)點，在提高控制品質(zhì)的同時，提高了被控系統(tǒng)的穩(wěn)定域，也提高了控制器的魯棒性。

5 結(jié)論

利用最優(yōu)Oustaloup數(shù)字實現(xiàn)算法及遺傳算法設(shè)計了高速飛行器的分數(shù)階PIλDμ姿態(tài)控制器，并結(jié)合D-分解法計算出在確定的分數(shù)階PIλDμ控制器下馬赫數(shù)及攻角的穩(wěn)定域。自抗擾分數(shù)階PIλDμ通過跟蹤微分器改進分數(shù)階PIλDμ控制器，結(jié)合了自抗擾技術(shù)及分數(shù)階PID控制器的優(yōu)點，在噪聲和大幅干擾存在的情況下，控制器仍然有較好的控制品質(zhì)，且在解決快速性及超調(diào)量之間矛盾的同時，獲得了較大的穩(wěn)定域。仿真結(jié)果證明分數(shù)階PIλDμ繼承了傳統(tǒng)PID結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點，獲得更好的控制品質(zhì)和更強的魯棒性，滿足高速飛行器快速性的要求，在馬赫數(shù)及攻角大范圍內(nèi)變化的情況下也能保證控制品質(zhì)及控制系統(tǒng)穩(wěn)定。對于設(shè)計高速飛行器全程姿態(tài)控制系統(tǒng)，具有工程應用價值。