鄭照明月 程 偉

北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100191

0 引 言

隨著新一代航天器對能量需求的不斷提高，衛(wèi)星太陽翼的尺寸越來越大。但由于其阻尼弱、剛度低，對衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)和太陽翼驅(qū)動機構(gòu)(SADA)的穩(wěn)定性提出了更高的要求[1-2]。由于步進電機具有定位精度高，無累計誤差，驅(qū)動線路簡單等優(yōu)點[3]，以往SADA采用步進電機作為執(zhí)行機構(gòu)。但步進電機固有的脈沖激勵，使SADA驅(qū)動太陽翼過程不斷產(chǎn)生微振動，影響衛(wèi)星穩(wěn)定度。目前SADA采用永磁同步電機作為驅(qū)動裝置，并通過微步驅(qū)動方法來驅(qū)動太陽翼[4]。永磁同步電機采用三環(huán)控制方法，控制參數(shù)選取不當(dāng)易導(dǎo)致太陽翼轉(zhuǎn)動失穩(wěn)，同時在軌環(huán)境不存在空氣阻力，太陽翼的低頻結(jié)構(gòu)振動難以衰減，并且會通過SADA與航天器本體發(fā)生耦合振動，影響有效載荷的成像精度[5]，甚至?xí)?dǎo)致衛(wèi)星姿態(tài)失穩(wěn)的故障[6]。因此需分析永磁同步電機SADA驅(qū)動柔性太陽翼的動力學(xué)模型，確定控制參數(shù)的選取方法，為航天器在軌穩(wěn)定運行提供支撐。

太陽翼驅(qū)動系統(tǒng)包括執(zhí)行機構(gòu)和柔性太陽翼兩個主要結(jié)構(gòu)部件，其中柔性太陽翼旋轉(zhuǎn)運動會導(dǎo)致剛體運動和柔性耦合，并且執(zhí)行機構(gòu)與柔性太陽翼直接的相互作用使系統(tǒng)具備機電耦合特點，所以對系統(tǒng)的建模和穩(wěn)定性分析具有一定的復(fù)雜性。Iwata等[7]在研究中將太陽翼簡化為剛性體，主要分析了執(zhí)行機構(gòu)的控制環(huán)節(jié)。Zhang等[8]將SADA簡化為剛性連接，研究了柔性太陽翼的振動抑制。張恒浩等[9]給出了一種針對撓性航天器的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型控制方法。張可墨等[10]在考慮電流環(huán)摩擦力矩的基礎(chǔ)上建立了永磁同步電機為驅(qū)動源的SADA模型，研究了其驅(qū)動剛性負(fù)載的微振動問題。上述研究中均簡化了執(zhí)行機構(gòu)或負(fù)載柔性，不能準(zhǔn)確反映兩者的耦合關(guān)系。

而在考慮機電耦合特點的建模及穩(wěn)定性分析中，多以步進電機為驅(qū)動源，永磁同步電機驅(qū)動柔性太陽翼的分析較少。Zhu等[11]將步進電機SADA與太陽翼考慮成相互耦合的整體系統(tǒng)，給出了步進電機SADA與太陽翼機電一體化耦合模型。Chen等[12]通過簡化和線性化電磁轉(zhuǎn)矩，建立了步進電機的振動方程，并以兩自由度柔性系統(tǒng)開展了仿真分析。Mariyam[13]根據(jù)拉格朗日能量法建立了步進電機SADA與剛性負(fù)載運動學(xué)和微振動耦合的動力學(xué)模型，在壓電測力臺上開展了仿真和實驗。程俊波等[14]以永磁同步電機SADA為對象，建立了驅(qū)動柔性負(fù)載的控制模型，給出了一種T-S模糊控制與校正網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的控制方法。

為此，本文建立了一種SADA驅(qū)動柔性太陽翼的模型，給出了系統(tǒng)的三環(huán)微步驅(qū)動方法，并討論了控制參數(shù)的穩(wěn)定條件。

1 SADA驅(qū)動柔性太陽翼模型

1.1 使用微步驅(qū)動方法的永磁同步電機模型

如圖1所示，使用同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(d-q軸)來描述永磁同步電機的數(shù)學(xué)模型，d軸定義為永磁同步電機永磁體N極的指向，也稱轉(zhuǎn)子直軸，q軸定義為沿逆時針方向超前d軸90°電角度，也稱轉(zhuǎn)子交軸。永磁同步電機的定子電壓方程為：

圖1 永磁同步電機坐標(biāo)系

(1)

磁鏈方程：

(2)

電磁轉(zhuǎn)矩方程：

(3)

運動方程為：

(4)

式中：uq和ud分別為d軸和q軸的電壓，id和iq為d軸和q軸的電流，Ld和Lq為d軸和q軸電感，R為三相定子電阻，ψf為轉(zhuǎn)子磁鏈，θ為轉(zhuǎn)子軸線與A軸夾角，pn為極對數(shù)，ψd和ψq分別為d軸和q軸的磁鏈。在運動方程中，b0為粘性阻尼系數(shù)。

將定子電流矢量is進行d和q軸分解，電流的d軸和q軸分量分別表示為：

(5)

式中：γ為定子電流矢量與轉(zhuǎn)子直軸的夾角。將式(5)代入式(3)，可得

(6)

采用id=0的矢量控制策略，定子電流矢量與轉(zhuǎn)子直軸的夾角為90(，此時，電磁轉(zhuǎn)矩可表達為：

(7)

式中：極對數(shù)pn和永磁體產(chǎn)生的磁鏈ψf均為定值，因此轉(zhuǎn)矩和q軸電流具有線性關(guān)系。因此，可通過控制定子電流矢量與轉(zhuǎn)子直軸的夾角γ，以實現(xiàn)永磁同步電機的定位和調(diào)速。

在初始定位過程中，記錄θ0為轉(zhuǎn)子的初始位置，給定定子電流矢量與轉(zhuǎn)子直軸的夾角為90°，定子電流矢量的幅值為定值Is，可給出如下控制信號依次控制電機的定位和按照一定速率ωr勻速轉(zhuǎn)動：

(8)

采用數(shù)字化控制的永磁同步電機，其定子電流矢量產(chǎn)生的磁場是離散的多邊形磁場，定義相鄰離散定子電流矢量的夾角為微步角θm，均勻改變定子電流矢量的時間間隔為dT，則微步角可描述為：

θm=ωdT=pnωrdT

(9)

此時，永磁同步電機的對轉(zhuǎn)子的驅(qū)動可視為類似于步進電機的微步驅(qū)動方式，同時隨著均勻改變定子電流矢量的時間間隔越小，即控制頻率越高，控制連續(xù)性越好。

將式(8)給出的控制策略代入式(7)，可以得到PMSM微步驅(qū)動時的電機轉(zhuǎn)矩的方程為：

(10)

式中：θ指轉(zhuǎn)子當(dāng)前的機械角位置，i表示微步的序號。該方程第一行表明永磁同步電機的轉(zhuǎn)矩具有使轉(zhuǎn)子位置回歸初始位置的復(fù)位能力，即實現(xiàn)了電機的定位功能。而第二行則說明在給定轉(zhuǎn)速時，電機轉(zhuǎn)矩將驅(qū)動轉(zhuǎn)子按給定轉(zhuǎn)速微步轉(zhuǎn)動，即實現(xiàn)了調(diào)速功能。

微步角的物理含義是，永磁同步電機在定位和驅(qū)動時，兩個連續(xù)電脈沖信號之間，轉(zhuǎn)子當(dāng)前的角位置總位于一個微步角以內(nèi)，即：

-θm<θ0-θ<θm
-θm<θ0+ipnωrdT-θ<θm

(11)

衛(wèi)星在軌運行時，SADA大部分時間以較低轉(zhuǎn)速驅(qū)動太陽翼，微步角很小，因此式(10)可線性化為：

(12)

將式(12)代入運動方程式(4)，經(jīng)整理可得簡化后的微步驅(qū)動永磁同步電機的動力學(xué)方程為：

(13)

(14)

1.2 SADA驅(qū)動柔性太陽翼模型

為了縮減柔性太陽翼有限元模型的自由度，提高控制仿真效率，采用動態(tài)子結(jié)構(gòu)方法，將永磁同步電機驅(qū)動柔性太陽翼的耦合系統(tǒng)分為2個子結(jié)構(gòu)：子結(jié)構(gòu)1為永磁同步電機，子結(jié)構(gòu)2為柔性太陽翼。如圖2所示，A點為太陽翼與永磁同步電機的連接點。它只有繞Y軸轉(zhuǎn)動的自由度θ，激勵只有繞Y軸的轉(zhuǎn)矩Tl。

圖2 柔性負(fù)載模型

(15)

根據(jù)固定界面模態(tài)綜合法，子結(jié)構(gòu)的假設(shè)模態(tài)集由主模態(tài)和約束模態(tài)構(gòu)成，子結(jié)構(gòu)2的主模態(tài)和約束模態(tài)的求解方法為：

(16)

(17)

定義p為柔性太陽翼的模態(tài)矩陣對應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)列向量，其與位移列向量的變換關(guān)系為：

(18)

根據(jù)第二行可知，最后一個模態(tài)坐標(biāo)pθ與物理坐標(biāo)θ相等，說明無論是在模態(tài)坐標(biāo)中還是物理坐標(biāo)中，兩者均代表了界面節(jié)點A繞Y軸的扭轉(zhuǎn)，具備相同的物理含義。所以，后續(xù)推導(dǎo)中均用θ表示此扭轉(zhuǎn)自由度。結(jié)合簡化后的永磁同步電機的動力學(xué)方程(13)，可得SADA驅(qū)動柔性太陽翼的動力學(xué)方程：

(19)

式中：pl的物理含義為柔性太陽翼保留的前l(fā)階模態(tài)坐標(biāo)，θ表示界面節(jié)點A繞Y軸的扭轉(zhuǎn)自由度，故經(jīng)變換后的耦合結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程僅有l(wèi)+1階，相比于有限元模型的上千階的物理坐標(biāo)自由度而言，大大降低了動力學(xué)方程的自由度，為后續(xù)控制仿真提供了基礎(chǔ)。

為了便于控制仿真，引入下述坐標(biāo)變換：

(20)

將SADA驅(qū)動柔性太陽翼的動力學(xué)方程改寫為狀態(tài)空間方程的形式：

(21)

式中：

(22)

為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，PMSM采用三環(huán)控制策略，根據(jù)永磁同步電機模型，可將三環(huán)控制方程表示為：

(23)

e1=θ0-θ

(24)

(25)

(26)

(27)

式中：KPP為位置環(huán)的比例控制參數(shù)；KVP和KVI分別為速度環(huán)的PI控制參數(shù)；KCP和KCI為電流環(huán)的PI控制參數(shù)。永磁同步電機安裝在剛性界面時，輸出力矩的反作用力即為耦合系統(tǒng)產(chǎn)生的微振動力矩。

2 控制器穩(wěn)定性分析

在引入PI調(diào)節(jié)器抵消電流環(huán)的大慣性環(huán)節(jié)后，電流環(huán)開環(huán)頻率特性的截止頻率將遠(yuǎn)高于速度環(huán)的截止頻率，即電流環(huán)對永磁同步電機驅(qū)動太陽翼的角位移、角速度穩(wěn)定性影響較小。因此，在分析角位移、角速度穩(wěn)定性時，將電流環(huán)做降階處理，即電流環(huán)的傳遞函數(shù)簡化為1。為了分析轉(zhuǎn)矩和角速度之間的傳遞關(guān)系，暫不考慮結(jié)構(gòu)阻尼和外部干擾的影響，即α=β=0和Fu=0,Tr=0，對式(19)按行展開，進行拉普拉斯變換，可得：

(28)

整理得到角速度和轉(zhuǎn)矩之間的開環(huán)傳遞函數(shù)GV：

(29)

(30)

由式(30)可知，在柔性負(fù)載的各階模態(tài)中，扭轉(zhuǎn)分量較大的模態(tài)(對應(yīng)耦合系數(shù)xi為較大值)對角速度控制穩(wěn)定性有影響，而無扭轉(zhuǎn)分量的模態(tài)(對應(yīng)耦合系數(shù)xi為0)對控制穩(wěn)定性影響不大。假設(shè)柔性負(fù)載具有m階具備扭轉(zhuǎn)分量的模態(tài)，則角速度和轉(zhuǎn)矩之間的開環(huán)傳遞函數(shù)GV有m對共軛零點，其對應(yīng)頻率為ωi；存在m+1對共軛極點，對應(yīng)的頻率為耦合系統(tǒng)的固有頻率，在這些耦合系統(tǒng)固有頻率下可能發(fā)生微振動。速度環(huán)使用PI控制器，如圖3所示。

圖3 速度環(huán)框圖模型

根據(jù)林納德-奇帕特判據(jù)，為保證系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，速度環(huán)的控制參數(shù)KVI應(yīng)滿足以下條件：

(31)

控制參數(shù)將改變耦合系統(tǒng)的自然振動頻率，因此需選取可抵消自然振動頻率的控制參數(shù)?？紤]魯棒性和響應(yīng)時間選取恰當(dāng)?shù)目刂茀?shù)，繪制了角速度與轉(zhuǎn)矩之間的傳遞函數(shù)和經(jīng)PI控制器校正后的速度環(huán)開環(huán)系統(tǒng)、閉環(huán)系統(tǒng)的伯德圖，如圖4 所示。

圖4 伯德圖：角速度與轉(zhuǎn)矩的傳遞函數(shù)、速度環(huán)開環(huán)、速度環(huán)閉環(huán)

開環(huán)傳遞函數(shù)在柔性負(fù)載與扭轉(zhuǎn)相關(guān)模態(tài)對應(yīng)頻率2.78Hz和7.29Hz處各存在一個零點，在2個頻率附近存在3個極點。以消除幅頻曲線的3個極點導(dǎo)致的振蕩頻率為目標(biāo)，選取合適的控制參數(shù)。校正后，閉環(huán)系統(tǒng)消除了自然振動頻率，相穩(wěn)定裕度大于60°。由閉環(huán)系統(tǒng)的幅頻曲線可知，轉(zhuǎn)矩仍可能在一階扭轉(zhuǎn)頻率附近的2.73Hz處產(chǎn)生微振動。若控制參數(shù)選取不滿足式(31)，則導(dǎo)致開環(huán)系統(tǒng)的幅頻曲線在一階扭轉(zhuǎn)頻率2.78Hz處穿越，此時系統(tǒng)出現(xiàn)相位失穩(wěn)。

3 仿真分析

通過數(shù)值仿真可以驗證上文提出的控制參數(shù)確定方法的有效性。為準(zhǔn)確模擬SADA驅(qū)動太陽翼的力學(xué)過程，為工程實踐提供依據(jù)，設(shè)計了一種與真實太陽翼具備相似力學(xué)特征的對稱結(jié)構(gòu)柔性模擬負(fù)載。使用商用軟件Abaqus建立了柔性負(fù)載的有限元模型，從柔性負(fù)載的有限元模型中提取了質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，并根據(jù)式(15)至式(22)所述縮聚過程，經(jīng)計算得到柔性負(fù)載的狀態(tài)空間方程。再根據(jù)式(23)至式(27)，使用商用軟件Matlab中的Simulink模塊，建立了永磁同步電動機驅(qū)動柔性負(fù)載的仿真模型，如圖5所示。表1給出了仿真參數(shù)。

表1 仿真參數(shù)

圖5 SADA驅(qū)動柔性負(fù)載模型

圖6給出了在2種不同速度環(huán)的控制參數(shù)下，永磁同步電機SADA驅(qū)動柔性負(fù)載的微振動仿真結(jié)果。根據(jù)仿真結(jié)果可以得到2個結(jié)論： 1)2種工況下耦合系統(tǒng)微振動均發(fā)生在2.688Hz，與圖4 中閉環(huán)系統(tǒng)bode圖預(yù)測的振動頻率2.73Hz僅相差1.48%，說明仿真模型與理論分析基本一致；2)比較2種工況下系統(tǒng)產(chǎn)生的微振動量級可知，當(dāng)控制參數(shù)選取不當(dāng)時，即不滿足式(31)給出判據(jù)時，耦合系統(tǒng)產(chǎn)生的微振動將提高一個數(shù)量級，這對衛(wèi)星而言是非常不利的。

圖6 SADA驅(qū)動柔性負(fù)載仿真頻域曲線

4 實驗驗證

設(shè)計了如圖7所示實驗，驗證永磁同步電機SADA驅(qū)動柔性太陽翼的模型，并驗證控制參數(shù)確定方法的有效性。使用微振動測力臺可獲取耦合結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的微振動[15]。

圖7 SADA驅(qū)動柔性負(fù)載實驗

圖8給出了在2種不同速度環(huán)的控制參數(shù)下，永磁同步電機SADA驅(qū)動柔性負(fù)載產(chǎn)生微振動的頻域?qū)嶒灲Y(jié)果。頻域曲線的結(jié)果表明，2種工況下耦合系統(tǒng)的微振動發(fā)生在2.688Hz，與圖6中給出的仿真結(jié)果一致，而實驗與仿真在2.688Hz的微振動峰值誤差小于9.7%。再結(jié)合圖9給出的微振動的仿真與實驗的時域結(jié)果對比可知，仿真與實驗的微振動時域結(jié)果基本吻合，所以仿真模型能準(zhǔn)確輸出耦合系統(tǒng)產(chǎn)生的微振動。比較2種工況下微振動量級可知，當(dāng)控制參數(shù)選取不當(dāng)時，耦合系統(tǒng)產(chǎn)生的微振動提高了一個數(shù)量級，驗證了式(31)給出的控制參數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)的準(zhǔn)確性，說明給出的控制參數(shù)確定方法是有效的。

圖8 SADA驅(qū)動柔性負(fù)載實驗頻域曲線

圖9 SADA驅(qū)動柔性負(fù)載時域曲線

5 結(jié)論

建立了SADA驅(qū)動柔性太陽翼的模型，給出了系統(tǒng)的三環(huán)微步驅(qū)動方法和控制參數(shù)的穩(wěn)定條件。仿真和實驗結(jié)果表明：所建模型能準(zhǔn)確模擬耦合結(jié)構(gòu)的微振動，控制參數(shù)的穩(wěn)定條件有效可行。以上結(jié)果可應(yīng)用于遙感衛(wèi)星太陽翼驅(qū)動機構(gòu)的在軌控制參數(shù)調(diào)節(jié)，為提高遙感衛(wèi)星圖像質(zhì)量和振動抑制提供了有力的支撐。