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        Birkhoff系統(tǒng)穩(wěn)定性的動(dòng)力學(xué)控制1)

        2020-08-11 02:32:12郭永新劉世興梅鳳翔
        力學(xué)學(xué)報(bào) 2020年4期
        關(guān)鍵詞:控制參數(shù)鄰域廣義

        陳 菊 郭永新 劉世興 梅鳳翔

        (北京理工大學(xué)宇航學(xué)院,北京 100081)

        (遼寧大學(xué)物理學(xué)院,沈陽(yáng) 110000)

        引言

        Birkhoff系統(tǒng)是一類應(yīng)用廣泛的約束力學(xué)系統(tǒng).Birkhoff力學(xué)的研究已取得重要進(jìn)展,如專著[1-4].在該力學(xué)系統(tǒng)下,關(guān)于穩(wěn)定性的研究通常采用的方法是Lyapunov 函數(shù)法和一次近似法.特別對(duì)于自治和半自治Birkhoff系統(tǒng)而言,Birkhoff函數(shù)即為系統(tǒng)的積分.因此,如果Birkhoff函數(shù)在平衡鄰域內(nèi)是正定的,則平衡位置是穩(wěn)定的.

        力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)依賴于作用力以及所受的約束,因此既可以借助力來(lái)控制運(yùn)動(dòng),也可以借助于約束來(lái)控制運(yùn)動(dòng).前者稱為動(dòng)力學(xué)控制,后者稱為運(yùn)動(dòng)學(xué)控制.本文討論用動(dòng)力學(xué)控制的方法研究Birkhoff系統(tǒng)和廣義Birkhoff系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性.雖然對(duì)于Birkhoff系統(tǒng)來(lái)說(shuō),其“作用力”并不明顯,但是Birkhoff函數(shù)一般來(lái)說(shuō)是具有能量意義的.因此,對(duì)Birkhoff系統(tǒng)和廣義Birkhoff系統(tǒng),均可借助Birkhoff函數(shù)中包含控制參數(shù)的方法來(lái)控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng).進(jìn)一步地,Birkhoff系統(tǒng)亦可借助其附加項(xiàng)中所包含控制參數(shù)來(lái)控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng).這種用動(dòng)力學(xué)函數(shù)來(lái)控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng),也可稱為動(dòng)力學(xué)控制.

        針對(duì)以上構(gòu)想,我們提出如下兩個(gè)問(wèn)題:(1)對(duì)于Birkhoff系統(tǒng)而言,Birkhoff函數(shù)B可依賴控制參數(shù),若已知Birkhoff函數(shù)組Rμ(μ=1,2,···,2n),如何選取合適的控制參數(shù)使得零解穩(wěn)定?(2)對(duì)廣義Birkhoff系統(tǒng),Birkhoff函數(shù)B或附加項(xiàng)Λν(ν=1,2,···,2n)可依賴控制參數(shù),若已知Birkhoff函數(shù)組Rμ(μ=1,2,···,2n),如何選取合適的控制參數(shù)使得零解穩(wěn)定?

        1 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

        Birkhoff方程為[1-3]

        其中

        當(dāng)det (?μν)≠0,可由方程(1)解出所有,有

        其中

        設(shè)方程(3)有零解

        則平衡方程為

        廣義Birkhoff方程有形式[4-5]

        其中

        為附加項(xiàng).設(shè)方程(7)有解

        則平衡方程為

        2 Birkhoff系統(tǒng)平衡穩(wěn)定的控制

        定理1假設(shè)給定Birkhoff函數(shù)B與Birkhoff函數(shù)組Rμ(μ=1,2,···,2n),其中B可含控制參數(shù)uρ(ρ=1,2,···r),則通過(guò)選取適當(dāng)?shù)目刂茀?shù)可使系統(tǒng)的平衡是穩(wěn)定的.

        證明首先,選取B使之正定.其次,按方程求使之為負(fù).由方程(3),求,有

        特別地,如果

        則有

        如果適當(dāng)控制參數(shù)uρ(ρ=1,2,···r)的選取使得<0,則平衡是穩(wěn)定的.

        3 廣義Birkhoff系統(tǒng)平衡穩(wěn)定的控制

        定理2對(duì)廣義Birkhoff系統(tǒng)平衡穩(wěn)定的控制,可提出兩類問(wèn)題:

        (1)對(duì)給定的Birkhoff函數(shù)B,Birkhoff函數(shù)組Rμ(μ=1,2,···,2n)和附加項(xiàng)Λν(ν=1,2,···,2n),如果B含控制參數(shù)uρ(ρ=1,2,···,r),則可選適當(dāng)?shù)目刂茀?shù)使平衡是穩(wěn)定的.

        (2)對(duì)給定的Birkhoff函數(shù),Birkhoff函數(shù)組和附加項(xiàng),如Λν含控制參數(shù),則可選適當(dāng)?shù)目刂茀?shù)使平衡是穩(wěn)定的.

        證明首先選B為正定的.其次,求其導(dǎo)數(shù).如果B含控制參數(shù),則有

        如果僅Λν(ν=1,2,···,2n)含有控制參數(shù),則

        由Lyapunov 定理可知,若適當(dāng)控制參數(shù)uρ(ρ=1,2,···,r)的選取滿足<0 時(shí),系統(tǒng)在平衡位置是穩(wěn)定的.

        4 算例

        例1已知四階Birkhoff系統(tǒng)為

        其中u=u(t)為控制參數(shù).選取適當(dāng)?shù)膗使得系統(tǒng)在零解aμ=0 (μ=1,2,3,4)附近是穩(wěn)定的.

        由式(16)可計(jì)算出

        根據(jù)上述所論的方法,欲使B在aμ=0 (μ=1,2,3,4)鄰域內(nèi)正定,應(yīng)有

        根據(jù)式(13)可直接得到

        例2已知廣義Birkhoff系統(tǒng)的Birkhoff函數(shù)組,Birkhoff函數(shù)以及附加項(xiàng)如下

        試求u=u(t)使系統(tǒng)的零解aμ=0 (μ=1,2,3,4)是穩(wěn)定的.

        由式(15)直接得到

        很顯然,若取u>0,則B在aμ=0 (μ=1,2,3,4)鄰域內(nèi)是正定的.若取

        這時(shí)系統(tǒng)的平衡是穩(wěn)定的.

        例3廣義Birkhoff系統(tǒng)為

        試求ui=ui(t)使系統(tǒng)的零解是穩(wěn)定的.

        同樣的由式(15),我們有

        因此,當(dāng)控制參數(shù)選取為

        例4已知四階Birkhoff系統(tǒng)為

        其中u=u(t)為控制參數(shù).選取適當(dāng)?shù)膗使得系統(tǒng)在零解aμ=0 (μ=1,2,3,4)附近是穩(wěn)定的.

        首先,由Lyapunov 穩(wěn)定性可知,若選定B使其正定,則

        因此,有u<0,a1lnt>0 或u>0,a1lnt<0.

        其次,由式(11)可知

        當(dāng)控制參數(shù)滿足條件

        5 結(jié)論

        有關(guān)Birkhoff系統(tǒng)和廣義Birkhoff系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究已有一些結(jié)果,如文獻(xiàn)[6,8-14].大多結(jié)果是在給定的Birkhoff函數(shù)和Birkhoff函數(shù)組下進(jìn)行研究的.本文在此基礎(chǔ)上考慮了包含參數(shù)時(shí)的情形,研究了當(dāng)系統(tǒng)的Birkhoff函數(shù)或附加項(xiàng)出現(xiàn)控制參數(shù)時(shí),通過(guò)選取控制參數(shù)使得Birkhoff函數(shù)B成為定號(hào)函數(shù),而其時(shí)間導(dǎo)數(shù)為與B反號(hào)的常號(hào)函數(shù),來(lái)實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性.通過(guò)例題討論并得到了Birkhoff函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化的幾種可能情形.由于完整力學(xué)系統(tǒng)和非完整力學(xué)系統(tǒng)均可納入Birkhoff力學(xué)系統(tǒng),因此Birkhoff力學(xué)具有一定的普遍性.故本文的思想和方法可以進(jìn)一步用來(lái)研究Hamilton 力學(xué)系統(tǒng),非完整力學(xué)系統(tǒng)以及變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)等的平衡穩(wěn)定性.

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