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        一類非線性四階偏微分方程的精確解研究

        2021-07-28 00:57:42趙欣李秀梅汪穎張繼紅梁波
        大連交通大學(xué)學(xué)報 2021年4期
        關(guān)鍵詞:波形圖四階常數(shù)

        趙欣,李秀梅,汪穎 ,張繼紅,梁波

        (大連交通大學(xué) 理學(xué)院,遼寧 大連 116028) *

        非線性偏微分方程的精確解研究在實際中十分重要.研究方法上包括李群對稱分析方法、級數(shù)展開法等.文獻[1-2]利用Backlund變換并結(jié)合李對稱分析方法和冪級數(shù)展開法對一類非線性偏微分方程給出了精確解分析.文獻[3-4]則研究了一類非線性四階偏微分方程的精確解.文獻[5]對一類非線性四階偏微分方程求出數(shù)值結(jié)果.本文是結(jié)合經(jīng)典方法,對四階非線性偏微分方程進行計算和研究得出求精確解的一種方法.

        本文研究一類非線性四階偏微分方程:

        (1)

        的精確解,其中k,λ,μ,c,f,g,h均為常數(shù).

        1 精確解分析

        1.1 方程處理

        令u(x,t)=φ(x,t)+R,代入到式(1)中有

        (2)

        對式(2)進行約化有

        (3)

        令Φ=φ-φx,為了使式(3)中的每一項依賴于Φ或Φ的微分,要求其系數(shù)滿足條件:

        解得

        于是式(3)轉(zhuǎn)化為

        (4)

        1.2 求解過程

        這里考慮兩種情況:

        情況一:當λ≠0時,考慮方程Φ=0,即

        φ-φx=0.

        基本解組為φ(x,t)=A(t)ex

        其中A(t)是任意函數(shù).

        情況二:當λ=0,k≠0時,則式(4)化為

        -kΦxx-Φtt+kΦxxx=0

        (5)

        此時介紹三種研究方案:

        方案一:若

        Φ=φ-φx,φ-φx=cx+dt

        其中c,d為任意常數(shù).可求得基本解組為

        φ(x,t)=A(t)ex+cx+dt

        其中,A(t)是任意函數(shù).

        方案二:若

        Φ=φ-φx,φ-φx=x2-kt2,

        故基本解組為:

        φ(x,t)=A(t)ex+x2-kt2,

        其中A(t)是任意函數(shù).

        方案三:若Φ=φ-φx,

        φ-φx=x3-3k(x-1)t2

        基本解組為

        φ(x,t)=A(t)ex+x3-3k(x-1)t2

        其中A(t)是任意函數(shù).

        1.3 推廣

        (6)

        對式(6)求解得

        故式(3)轉(zhuǎn)化為

        (7)

        此時考慮兩種情況.

        情況一:λ≠0,考慮方程Φ=0.求得基礎(chǔ)解組為

        φ(x,t)=A(t)eαx

        其中A(t)是任意函數(shù).

        情況二:當λ=0,k≠0時,則式(7)轉(zhuǎn)化為

        (8)

        此時有如下方案給出精確解.

        方案一:若

        Φ=φ-φx,φ-φx=cx+dt+e

        其中c,d,e為任意常數(shù). 基本解組為

        φ(x,t)=A(t)eαx+cx+dt+e

        其中A(t)是任意函數(shù).

        方案二:若Φ=φ-φx,

        其中b,e,c為任意常數(shù). 基本解組為

        其中A(t)是任意函數(shù).

        由方案一和方案二,可得廣義形式

        這里假設(shè)函數(shù)f(x)和g(t)分別關(guān)于x和t足夠光滑,且f?(x)=0.若滿足條件

        kfxx+αgtt=0.

        此時基本解組為

        φ(x,t)=A(t)eαx+f(x)+g(t)

        其中A(t)是任意函數(shù).

        方案三:若Φ=φ-φx,

        其中a,b,c為任意常數(shù).

        它的基本解組為

        其中A(t)是任意函數(shù).

        方案四:若Φ=φ-φx,

        其中a,b,c為任意常數(shù).

        它的基本解組為

        其中A(t)是任意函數(shù).

        由方案三和方案四,可得廣義形式:

        這里假設(shè)函數(shù)g(t),f(x)及h(x)足夠光滑.

        若g″(t)=0,及

        或者,若g″(t)=c(c≠0),只要滿足下面條件

        基本解組為

        φ(x,t)=A(t)eαx+f(x)+h(x)g(t)

        其中A(t)是任意函數(shù).

        2 一類三階方程的算法擴展

        考慮三階非線性偏微分方程,形式如下

        (9)

        其中f關(guān)于x至少具有一階導(dǎo)數(shù),μ,a,b,c,k,r,w均為常數(shù).

        令u(x,t)=φ(x,t)+R,將其代入式(9)得:

        (10)

        將式(10)進行約化得:

        (11)

        令Φ=φxx+αφx+βφ+f,其中β≠0,α為任意常數(shù). 為使式(11)的每一項均包含Φ或者Φ的n階導(dǎo)數(shù),則系數(shù)須滿足關(guān)系

        故將(11)化為

        -βΦt+βφxΦ+βφΦx=kΦ

        (12)

        此時只需求解方程Φ=0,同時注意到Φ=φxx+αφx+βφ+f=0是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,易得該方程一般形式的解. 為獲得式(9)一系列精確解,可進行變形,式(11)的每一項都依賴于Φ或者Φ的n階微分,那么當φ(x,t)是方程Φ=0的解時,則φ(x,t)是式(12)的解. 實際上,在式(12)中,當φ(x,t)是方程Φ=0的解時,φ(x,t)也是(9)的解. 通過改變常數(shù)的值,推廣了方程Φ=0的基礎(chǔ)解,從而得到了(9)一系列精確解.

        3 精確解波形圖分析

        根據(jù)所求得的精確解,繪圖時都取λ=1,k=-4,α=1;利用Matlab軟件將幾個典型的波形圖繪制如圖1~4所示.

        (1)A(t)=sin(t)+cos(t),x∈[-20,20],t∈[-10,10]時,其波形如圖1所示.

        圖1 x∈[-20,20],t∈[-10,10]時波形圖

        (2)A(t)=sin(t)+cos(t),x=-2,t∈[-10,10]時, 其波形如圖2所示.

        圖2 x=-2,t∈[-10,10] 時波形圖

        (3)A(t)=sh(t),x∈[-1,1],t∈[-50,50]時,其波形如圖3所示.

        圖3 x∈[-1,1],t∈[-50,50]時波形圖

        (4)A(t)=sh(t),x=-1,t∈[-50,50]時,其波形如圖4所示.

        圖4 x∈[-1,1],t=50時波形圖

        4 結(jié)論

        本文通過將非線性四階偏微分方程約化為常微分方程的方法,簡化了方程結(jié)構(gòu)及復(fù)雜的計算,從而獲得解的基本形式. 利用參數(shù)的變化取得一系列精確解. 遵循四階方程研究的研究思路,將精確解求法推廣到一類三階非線性偏微分方程上. 最后, 利用Matlab軟件繪制出了幾個典型情形下

        的波形圖. 本文的方法為簡化求解提供了參考.

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