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        一類非線性高階退化擬拋物方程的有限差分方法

        2021-07-28 00:57:48李清純張繼紅梁波
        關(guān)鍵詞:差分法四階拋物

        李清純,張繼紅,梁波

        (大連交通大學(xué) 理學(xué)院,遼寧 大連 116028) *

        對(duì)于帶有p-雙調(diào)和算子的拋物方程的研究有很多,其中文獻(xiàn)[1]提出了當(dāng)p>2時(shí),如下的退化擬拋物方程:

        (1)

        本文基于文獻(xiàn)[1]所給出的方程考慮下述退化擬拋物方程問題

        (2)

        其中p≥2為常數(shù),k>0為粘性系數(shù),f(x,t)為關(guān)于x,t的二元函數(shù).

        在方程(2)中,當(dāng)p=2時(shí),方程為一個(gè)四階拋物型偏微分方程.近年來關(guān)于對(duì)四階拋物方程解的研究受到許多學(xué)者的關(guān)注:文獻(xiàn)[2]對(duì)一類四階拋物型方程構(gòu)造兩層含參數(shù)的差分格式,并分析其截?cái)嗾`差證明穩(wěn)定性;文獻(xiàn)[3]基于泛函的極小值原理,利用不動(dòng)點(diǎn)定理證明一類四階拋物型方程的定態(tài)解的存在性;文獻(xiàn)[4]利用有限差分法對(duì)帶有非線性項(xiàng)的晶體BCF模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,得到了較高的精確結(jié)果.

        當(dāng)p>2時(shí),方程為帶有p-Laplace算子的退化擬拋物方程.目前關(guān)于p-Laplace方程也有不少研究:文獻(xiàn)[5]對(duì)具有梯度項(xiàng)的p-Laplace方程對(duì)應(yīng)的逼近方程利用最大模估計(jì)以及能量估計(jì)等證明了其弱解的存在性;文獻(xiàn)[6]利用集中緊性原理以及相關(guān)不等式研究了含Sobolev臨界指數(shù)的p-Laplace方程解的存在性問題.

        本文將對(duì)退化擬拋物方程(2)分p=2和p=3兩種情況研究其數(shù)值結(jié)果.

        1 有限差分法

        在方程(2)中,不妨假設(shè)k=1.

        ut-uxxt+(|uxx|p-2uxx)xx=f(x,t)

        (3)

        接下來對(duì)方程(3)中各項(xiàng)方程進(jìn)行離散.

        考慮內(nèi)網(wǎng)點(diǎn)(xk,tn)處,ut|(xk,tn)-uxxt|(xk,tn)+(|uxx|p-2uxx)xx|(xk,tn)=f(xk,tn)

        對(duì)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)ut采用向前差分法:

        (4)

        對(duì)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)-uxxt采用中心差分法及向前差分法近似:

        (5)

        (6)

        將得到的方程各項(xiàng)代入方程(3)中合并,有

        (7)

        (8)

        k=2,3,…,N-2,n=0,1,…,M.

        本文取xa=a+h,xb=b-h,則初邊值條件為

        (9)

        那么式(8)、(9)就是式(2)當(dāng)k=1時(shí)的有限差分方程.

        2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

        下面給出數(shù)值實(shí)驗(yàn),a=0,b=π,h=π/30.在差分格式(8)中,分別考慮函數(shù)p=2和p=3兩種情況,并結(jié)合初邊值條件方程(9),就具體算例,給出相應(yīng)的數(shù)值結(jié)果.

        例1p=2,f(x,t)=2t+sinx,τ=h4,T=0.005,并與方程真實(shí)解u(x,t)=t2+sinx進(jìn)行比較,得到的圖像如圖1所示,其中實(shí)線表示真實(shí)解,圓圈表示數(shù)值解,圖2為相應(yīng)的絕對(duì)誤差圖.

        圖1 p=2數(shù)值解與真實(shí)解對(duì)比圖 圖2 p=2絕對(duì)誤差圖

        例2f(x,t)=2sinx-2t2·sign(sinx)·sign(t)+3t2·sign(sinx)·sign(t)sin2x+t|sinx|·|t|sinx,p=3,τ=h4,T=0.005,并與方程真實(shí)解u(x,t)=tsinx進(jìn)行比較,可以得到數(shù)值解與真實(shí)解對(duì)比圖以及絕對(duì)誤差結(jié)果,如圖3、4所示.

        圖3 p=3時(shí)數(shù)值解與真實(shí)解對(duì)比圖 圖4 p=3絕對(duì)誤差圖

        從圖中可以看出,利用有限差分法對(duì)含有粘性松弛因子和p-雙調(diào)和算子的退化擬拋物方程的數(shù)值求解是可行的.p=2時(shí)的計(jì)算結(jié)果非常理想,絕對(duì)誤差可以達(dá)到10-5,但是p=3時(shí),由于方程非線性項(xiàng)作用增強(qiáng),方程變得復(fù)雜,所得到的數(shù)值結(jié)果不太理想.同時(shí)兩種情況,當(dāng)時(shí)間T較大時(shí),數(shù)值計(jì)算效果都不太好.

        3 結(jié)論

        本文就有限差分法討論了一類非線性高階退化擬拋物方程的數(shù)值結(jié)果.首先對(duì)方程各項(xiàng)的時(shí)間和空間導(dǎo)數(shù)項(xiàng),尤其是非線性空間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)進(jìn)行了離散化處理,并通過適當(dāng)?shù)牟罘直平玫搅似湎鄳?yīng)的差分方程.其次選取適當(dāng)?shù)某踹呏禇l件,利用給出的差分格式,通過Matlab軟件進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn).由于本文所研究方程本身是一個(gè)極其復(fù)雜的,高階的非線性的偏微分方程,對(duì)其進(jìn)行數(shù)值求解,存在著較大的難度.本文也只是做了一個(gè)初步的嘗試,運(yùn)用最簡(jiǎn)便快捷的有限差分法對(duì)其進(jìn)行數(shù)值近似,數(shù)值結(jié)果表明了有限差分法的有效性.但是數(shù)值實(shí)驗(yàn)也發(fā)現(xiàn),當(dāng)時(shí)間延長(zhǎng)時(shí),由于所采用的向前差分格式的局限性,不一定能夠保證方法在長(zhǎng)時(shí)間行為的數(shù)值穩(wěn)定性,同時(shí)對(duì)時(shí)間步長(zhǎng)的要求也非常高.這一點(diǎn)需要在今后的研究中進(jìn)一步進(jìn)行完善,在保證數(shù)值穩(wěn)定性的前提下,使用盡量簡(jiǎn)潔快速的算法是下一步的研究目標(biāo).

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