鐘旭英，張朝暉，唐東升

(1.湖南師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410081; 2.北京大學(xué) 物理學(xué)院,北京 100871)

單擺運動是生活中常見的運動，也是物理學(xué)研究中的重要模型，在理論及實驗教學(xué)中都有著重要的地位[1-2]. 中學(xué)階段考慮的單擺運動是抽象成簡諧振動的理想模型，但是隨擺動時間逐漸積累單擺實際上是振幅隨時間不斷衰減的阻尼振動. 生活中可以利用阻尼解釋很多物理現(xiàn)象，如各類機器的防震器中采用一系列的阻尼裝置，通過改變阻尼的方法控制系統(tǒng)的振動情況；一些精密的儀器，如物理天平、靈敏電流計中也裝有阻尼裝置，并通過調(diào)整阻尼狀態(tài)，可以使測量快捷、準(zhǔn)確. 相關(guān)文獻(xiàn)對空氣阻尼進(jìn)行了研究報道，例如通過單擺測量空氣的阻尼系數(shù)[3-4]和黏度[5]等.

電導(dǎo)率是表征金屬材料性能的重要物理量之一，可用于分選材質(zhì)、確定金屬材料的硬度和熱處理狀態(tài). 目前金屬電導(dǎo)率的測量方法有很多[6-7]，一般是通過直接測量金屬絲的直徑、長度和電阻，代入電導(dǎo)率的公式計算金屬的電導(dǎo)率. 因此通過在單擺實驗加入梯度磁場，讓2個大小相同、電導(dǎo)率不同的金屬球在梯度磁場中做小角度擺動，然后對空氣阻尼和電磁阻尼展開定量的研究，采用對比法測量金屬球的電導(dǎo)率.

1 基本原理

1.1 單擺系統(tǒng)線性阻尼振動方程的解

忽略阻尼情況下，單擺可以抽象成簡諧振動的理想模型. 弱阻尼情況下，空氣阻力對單擺振幅的影響隨擺動時間逐漸積累，從而使得擺幅隨時間逐漸衰減. 如圖1所示，當(dāng)小球擺動的速度很小時，空氣阻力近似與擺球速度成線性關(guān)系，此時小球的運動稱為線性弱阻尼振動. 根據(jù)牛頓運動定律可以得到單擺系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

圖1 單擺在空氣中的線性阻尼振動

(1)

式中：m為擺球的質(zhì)量，l為擺線長度，γ為阻力系數(shù)，θ為擺球的擺幅，g為當(dāng)?shù)刂亓铀?

(2)

該方程的解與阻尼系數(shù)有關(guān).

當(dāng)β<ω0時，系統(tǒng)處于弱阻尼狀態(tài)，其解為

θ=θ0e-β tcos (ωt+φ0),

(3)

當(dāng)β=ω0時，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)，其解為

θ=(C1+C2t)e-β t,

(4)

此時系統(tǒng)不做往復(fù)運動，而是較快地回到平衡位置并停下來.

當(dāng)β>ω0時，系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)，其解為

(5)

此時系統(tǒng)不做往復(fù)運動，而是非常緩慢地回到平衡位置.

1.2 運動金屬球在梯度磁場中受到的電磁阻尼力

梯度磁場指的是空間變化率不為零的磁場. 金屬球在這樣的磁場中運動時會在其內(nèi)部產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，從而產(chǎn)生渦旋電流. 在本文的實驗中，擺球位于以平衡位置為中心向左右兩側(cè)線性減弱的梯度磁場，兩側(cè)的磁場梯度為大小相等、方向相反的常量. 當(dāng)擺球從中心向右擺動，其產(chǎn)生的感應(yīng)電流如圖2(a)所示. 在渦流和外磁場的作用下，金屬球受到4個方向的等效作用力如圖2(b)所示，這些作用力的合力總是與金屬球的運動方向相反，故稱之為電磁阻尼.

(a) 垂直磁場方向觀測到的感應(yīng)電流(紫色虛線表示磁感應(yīng)強度)

Adom Giffin[8]等人對金屬球在梯度磁場中做低速運動時受到的電磁阻尼與金屬球的電導(dǎo)率的關(guān)系展開研究，在忽略磁場擾動對電磁阻尼影響的情況下，得出金屬球在梯度磁場中做低速運動時，其線性弱電磁阻力表達(dá)式為

(6)

其中，r是金屬球的半徑，v為金屬球的運動速度，σ為金屬球的電導(dǎo)率，Bmax為最大磁感應(yīng)強度，L為梯度磁場的寬度.

1.3 求解金屬球的電導(dǎo)率

空氣阻尼為：

(7)

擺球在磁場中振動受到的阻力為

F阻=F空+F磁，

(8)

聯(lián)立(7)(8)兩式得：

F磁=F阻-F空=(γ阻-γ空)v，

(9)

由于阻尼系數(shù)γ=2mβ，代入(9)式，與(6)式聯(lián)立解得電導(dǎo)率為

(10)

因此在有無磁場阻尼作用下，通過測定大小相同，電導(dǎo)率不同的2個金屬球的阻尼系數(shù)，再采用對比法即可得出待測金屬球的電導(dǎo)率為

(11)

2 實驗儀器及步驟

2.1 實驗儀器

1) 單擺裝置：包括半徑為90 cm的測角儀，量程為-5.5°～+5.5°，分度值為0.1°(見圖3)；

2) 帶擺線的鋁球(質(zhì)量m=11.346 g、半徑r=10.000 mm、電導(dǎo)率σ=3.767×107S/m)；帶擺線的待測金屬球(質(zhì)量m=35.112 g、半徑r=10.000 mm)；

3) 螺旋測微器、卷尺、多通道計時秒表(精度為0.01 s)；

4) 釹鐵硼永磁鐵(20 mm×20 mm×10 mm).

2.2 實驗步驟

1) 按照圖3所示，將鋁球作為單擺的擺球，調(diào)節(jié)鋁球的擺線長度為95.00 cm.

圖3 單擺在磁場中的阻尼振蕩

2) 讓鋁球做小角度(θ≤5°)擺動，當(dāng)擺球擺到最低點時，用多通道計時秒表記錄擺球擺動n次的時間，并記錄擺幅隨時間變化的實驗數(shù)據(jù).

3) 不改變擺球及其擺線長度的情況下，將釹鐵硼永磁鐵放置于鋁球平衡位置正下方大約x=2 cm處. 讓鋁球做小角度擺動，記錄擺幅隨時間變化的實驗數(shù)據(jù).

4) 用待測金屬球替換鋁球，保持磁鐵的位置不變，調(diào)整擺線的長度使其與原鋁球擺線長度一致.

5) 讓待測金屬球做小角度擺動，記錄擺幅隨時間變化的實驗數(shù)據(jù).

6) 移開磁鐵，讓待測金屬球做小角度擺動，記錄擺幅隨時間變化的實驗數(shù)據(jù).

3 實驗結(jié)果

3.1 磁鐵位置分析

本文使用的2個金屬球質(zhì)量和電導(dǎo)率存在較大的差異. 與待測金屬球相比鋁球較輕，則鋁球擺動過程中，空氣阻尼和電磁阻尼對其振幅的影響較大，而對待測金屬球的影響較小. 要想在有限的時間內(nèi)縮短測量時間的同時得出更準(zhǔn)確的測量數(shù)據(jù)，則磁鐵的位置至關(guān)重要.

3.1.1 磁鐵位于擺球平衡位置正下方的分析

本文的釹鐵硼方形磁鐵放置于擺球平衡位置正下方，其目的是在擺球平衡位置形成對稱分布的梯度磁場. 為此本實驗使用特斯拉計測定擺球振動軌跡對應(yīng)的磁場變化情況，如圖4所示. 測量結(jié)果表明磁感應(yīng)強度(B)隨擺幅(θ)的增大而減小，從圖4中可以發(fā)現(xiàn)釹鐵硼磁鐵形成的實際磁場是理論要求“等腰三角形”分布的近似，滿足電磁阻尼力磁場理論的要求.

3.1.2 磁鐵與擺球質(zhì)心距離的分析

本文選擇擺長為96 cm，對應(yīng)的周期T約為1.97 s. 磁鐵距離擺球越遠(yuǎn)，單擺在磁場中運動的振幅衰減越慢，可采集到擺幅的數(shù)據(jù)點就越多，擬合的阻尼系數(shù)越準(zhǔn)確. 并非是磁鐵距離擺球越遠(yuǎn)越好，磁鐵太遠(yuǎn)會增加測量時間，太近則較輕的擺球擺幅衰減太快，不利于實驗數(shù)據(jù)點的采集. 況且本文并非僅考慮單個擺球振幅的衰減規(guī)律，而是需要綜合考慮2個擺球的質(zhì)量和電導(dǎo)率對擺幅衰減快慢和測量數(shù)據(jù)點數(shù)量的影響，這就需要找到合適的位置，所以磁鐵在平衡位置與擺球質(zhì)心的距離也是完成本實驗的關(guān)鍵因素之一.

實驗發(fā)現(xiàn)記錄1個擺幅數(shù)據(jù)點至少需要2個周期的時間即3.94 s，因此擺幅從5°衰減到2°，采集獲得11個數(shù)據(jù)點，則在平衡位置磁鐵距離擺球的質(zhì)心至少應(yīng)為2.5 cm. 實驗發(fā)現(xiàn)每隔5個周期記錄1個擺幅時，時間相對充裕，能更準(zhǔn)確捕捉到擺球擺到最高位置的角度，測量更準(zhǔn)確. 根據(jù)實驗結(jié)果每隔5個周期記錄1個數(shù)據(jù)需要9.84 s，讓幅度從5°衰減到2°采集11個數(shù)據(jù)點，在平衡位置磁鐵距離擺球質(zhì)心則約為3 cm. 綜上本文所使用的平衡位置磁鐵距擺球質(zhì)心位置為3 cm.

3.2 阻尼作用對振動周期的影響

表1 擺球在有無磁阻作用下周期-時間表

3.3 實驗數(shù)據(jù)處理

由于單擺在有無電磁阻尼作用下的阻尼系數(shù)遠(yuǎn)小于單擺的固有周期，所以無法通過測量周期計算出單擺的阻尼系數(shù). 根據(jù)弱阻尼振動微分方程的解[見式(3)]，可知單擺的振幅隨時間呈指數(shù)衰減，本文通過提高擺幅測量的精度(見圖3中測角儀的放大圖)，測定單擺擺幅隨時間的衰減規(guī)律，利用θ=θ0e-β t進(jìn)行擬合得到擺球在有無磁場作用下單擺振蕩的阻尼系數(shù)β，如圖5所示. 結(jié)果表明單擺在擺動過程中擺幅隨時間呈指數(shù)衰減，實測數(shù)據(jù)與擬合結(jié)果吻合得很好. 實驗結(jié)果證實2種金屬擺球在有無電磁阻尼作用下，阻尼系數(shù)β(詳見圖5)都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于單擺的固有頻率ω0=3.19 s-1，故阻尼對單擺振動周期的影響可以忽略不計. 單擺的阻尼系數(shù)可以通過測量單擺擺幅隨時間的衰減規(guī)律來求解.

(a)鋁球作為擺球

3.4 對比法求解金屬球的電導(dǎo)率

根據(jù)圖5曲線擬合的結(jié)果和已知條件，待測金屬球：m1=35.112 g，β1阻=1.557×10-3s-1，β1空=1.506×10-3s-1；鋁球：σ2=3.767×107S/m，m2=11.314 g，β2阻=6.165×10-3s-1；β2空=4.070×10-3s-1.

將所有的已知條件代入式(11)求得待測金屬球的電導(dǎo)率σ1=2.86×106S/m. 其中r1=r2.

實驗結(jié)果表明待測金屬球的電導(dǎo)率與相關(guān)資料提供的錳銅電導(dǎo)率的數(shù)據(jù)(σ=2.78×106～3.23×106S/m)相匹配. 本文使用的待測金屬球的密度ρ為8.38 g/cm3和錳銅的密度相近. 同時本實驗累計測量n次擺幅隨時間的衰減規(guī)律，得到n個阻尼系數(shù)，電導(dǎo)率的不確定度為uσ1=0.14×10-6S/m

4 結(jié)束語

本文利用簡單的力學(xué)單擺實驗，采用對比法測量電磁學(xué)的物理量，定量研究了空氣阻尼和電磁阻尼. 通過觀測2個大小相同、電阻率不同的金屬球在有無電磁阻尼作用下擺幅隨時間的變化規(guī)律，擬合實驗數(shù)據(jù)得到空氣阻尼系數(shù)和電磁阻尼系數(shù)，采用對比法可得出待測金屬球的電導(dǎo)率. 實驗結(jié)果表明，利用單擺小角度的弱阻尼振蕩，結(jié)合金屬球在梯度磁場中運動時受到的磁阻尼力求解金屬球電導(dǎo)率，方法可行. 該實驗可加深學(xué)生對單擺作為簡諧振動理想模型的理解，另一方面也為研究梯度磁場中金屬小球的電磁感應(yīng)現(xiàn)象提供了新思路.