韓治國， 許 錦， 陳能祥

（1.西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安710072；2.深圳前海格致科技有限公司，廣東深圳518052）

0 引 言

倒立擺實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)簡單、成本低等諸多優(yōu)點(diǎn)，是進(jìn)行經(jīng)典控制理論與現(xiàn)代控制理論教學(xué)及開展各種控制實(shí)驗(yàn)的理想實(shí)驗(yàn)教學(xué)與科研平臺(tái)［1-2］。倒立擺實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)具有非線性、強(qiáng)耦合等工程中十分普遍的特性，因模型本身具有右半平面極點(diǎn)，是一個(gè)天然不穩(wěn)定系統(tǒng)，控制難度較大。在控制領(lǐng)域中，為了解決許多典型問題而提出的控制策略均可通過倒立擺實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)進(jìn)行驗(yàn)證，并且其控制效果可以通過擺桿和小車的穩(wěn)定性很直觀地體現(xiàn)出來。因此，對(duì)該實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的深入研究具有重要的理論及實(shí)際意義［3］。

針對(duì)倒立擺系統(tǒng)，目前已有較多成熟控制方法實(shí)現(xiàn)了對(duì)倒立擺的良好控制，如PD控制［4］、線性二次型最優(yōu)控制［5-7］、輸出反饋控制［8］等，這些方法均在實(shí)驗(yàn)條件下得到了較好的實(shí)驗(yàn)效果。但是，這些方法在進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)時(shí)均假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)全部可測(cè)，或通過微分環(huán)節(jié)、高通濾波器獲取系統(tǒng)不可測(cè)狀態(tài)信息，這些方法要么不符合工程實(shí)際，要么會(huì)對(duì)噪聲進(jìn)行放大，影響控制效果。針對(duì)該問題，文獻(xiàn)［7］中通過Kalman濾波降低噪聲對(duì)控制器設(shè)計(jì)帶來的影響。

本文在上述研究的基礎(chǔ)上，根據(jù)建立的直線一級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型，基于連續(xù)時(shí)間Kalman濾波方程，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)全部狀態(tài)的有效估計(jì)，并降低噪聲對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的影響。在此基礎(chǔ)上，基于滑模變結(jié)構(gòu)控制理論進(jìn)行了控制器設(shè)計(jì)。利用Matlab工具進(jìn)行了仿真分析，并利用倒立擺實(shí)驗(yàn)裝置成功驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)的控制器。

1 直線一級(jí)倒立擺模型建立

直線一級(jí)倒立擺模型如圖1所示，在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)。圖中，l為擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到擺桿質(zhì)心的長度；F為加在小車上的力；x為小車位置；φ為擺桿與垂直向上方向的夾角。

圖1 直線一級(jí)倒立擺模型

本文采用深圳前海格致科技有限公司（原深圳市元?jiǎng)?chuàng)興科技有限公司）的倒立擺實(shí)驗(yàn)裝置進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，該倒立擺的控制模式為采用電動(dòng)機(jī)加速度作為控制輸入。因此，根據(jù)公開文獻(xiàn)，可建立如下式所示的以電動(dòng)機(jī)加速度為輸入，小車位置、速度、擺桿角度和角速度為系統(tǒng)狀態(tài)、小車位置和擺桿角度為輸出的狀態(tài)空間模型：

式中：

u（t）為電動(dòng)機(jī)加速度，也即本文的設(shè)計(jì)變量，m/s2；g＝9.81 m/s2為重力加速度，l＝0.152 5 m。

注釋1 本文未給出詳細(xì)建模過程，詳細(xì)過程讀者可查閱文獻(xiàn)［1-7］以及相關(guān)公開文獻(xiàn)。

式（1）所示系統(tǒng)模型是一個(gè)確定性的線性方程。但是，現(xiàn)實(shí)世界總是存在各種不確定性，如采集小車位置以及擺桿角度的編碼器，總是存在測(cè)量噪聲等。因此，需要在上述模型中考慮噪聲影響，因此，完整的數(shù)學(xué)模型如下式所示：

式中：G＝I4×4；w（t）、v（t）分別為過程噪聲和測(cè)量噪聲，并且滿足：

式中：q（t）是非負(fù)定對(duì)稱陣；r（t）是正定對(duì)稱陣。

從式（1）或（2）可以看出，該實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)能夠采集的信息為小車位置和擺桿角度，對(duì)于小車速度與擺桿角速度是不可測(cè)量的。因此，在進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)時(shí)，能夠利用的測(cè)量信息只有小車位置和擺桿角度。

2 連續(xù)時(shí)間Kalman濾波方程

由式（2）可知，實(shí)際系統(tǒng)模型包含過程噪聲和測(cè)量噪聲，因此，為了降低噪聲對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的影響，采用Kalman濾波理論對(duì)系統(tǒng)模型式（2）進(jìn)行濾波。對(duì)于倒立擺系統(tǒng)，基于現(xiàn)代控制理論進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)時(shí)，需要利用系統(tǒng)的所有狀態(tài)信息進(jìn)行控制律設(shè)計(jì)。但是，對(duì)于本文采用的倒立擺實(shí)驗(yàn)裝置，只能測(cè)量小車的位移與擺桿的角度，采用現(xiàn)代控制理論進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)存在困難。因此，針對(duì)上述問題，本文采用連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)Kalman濾波方法（系統(tǒng)模型為連續(xù)模型）降低噪聲對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的影響，同時(shí)獲取系統(tǒng)的全部狀態(tài)信息，方便控制器設(shè)計(jì)。連續(xù)時(shí)間Kalman濾波算法如下［9］：

式中：K（t）為Kalman濾波增益矩陣；P（t）為協(xié)方差矩陣。連續(xù)時(shí)間Kalman濾波狀態(tài)估計(jì)框圖如圖2所示［9］。

圖2 連續(xù)時(shí)間Kalman濾波狀態(tài)估計(jì)框圖

根據(jù)連續(xù)Kalman濾波原理及狀態(tài)估計(jì)框圖可以看出，通過Kalman濾波不僅可以降低噪聲對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的影響，而且可以對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)。因此，通過Kalman濾波為后續(xù)基于現(xiàn)代控制理論進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)提供了便利。

3 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

3.1 控制器設(shè)計(jì)

滑模變結(jié)構(gòu)控制的運(yùn)動(dòng)過程可由兩個(gè)階段組成：第1階段是趨近階段，它完全位于滑模面之外，或者有限次地穿過滑模面；第2階段是滑動(dòng)模態(tài)階段，完全位于滑模面上的滑動(dòng)模態(tài)區(qū)［10-12］。因此，可將滑模變結(jié)構(gòu)控制分為切換控制與等效控制：即

本文針對(duì)模型式（5），采用線性滑模面［13-14］：

為使系統(tǒng)能快速接近切換面，并且改善其抖振現(xiàn)象，采用如下新型趨近律［15-16］：

式中，

式中：arsh為反雙曲正弦函數(shù)；0＜δ＜1，η＞0，ε＞0；δ為fal（s，η，δ）在原點(diǎn)附近正負(fù)對(duì)稱線性段的區(qū)間長度，并且fal（s，η，δ）為非連續(xù)函數(shù)。

針對(duì)本文設(shè)計(jì)的滑模面（7）與趨近律（8），設(shè)計(jì)的控制律如下式所示：

3.2 穩(wěn)定性證明

證明 選擇如下的Lyapunov函數(shù)：

求導(dǎo)可得：

將設(shè)計(jì)的控制律式（10）～（12）代入式（14），可得：

因此，本文設(shè)計(jì)的控制律漸進(jìn)穩(wěn)定。

4 仿真分析

4.1 計(jì)算機(jī)仿真

本文針對(duì)系統(tǒng)模型式（2），采用本文設(shè)計(jì)的控制律式（10）進(jìn)行仿真驗(yàn)證?；Ｃ鎱?shù)：δ＝0.02，k＝6，η＝0.5，ε＝0.01。設(shè)定小車跟蹤位置x＝0 m，擺桿角度φ＝0°。噪聲方差：

根據(jù)上述仿真參數(shù)，仿真結(jié)果如圖3～7所示。

圖3 小車位移隨時(shí)間的變化曲線

圖4 小車速度隨時(shí)間的變化曲線

圖3 ～6（圖中，紅色曲線為實(shí)際值，綠色曲線為理論值，藍(lán)色曲線為濾波值）分別為小車位移、速度、擺桿角度、角速度曲線。從圖中可以看出，在系統(tǒng)含有噪聲情況下，通過Kalman濾波，能夠獲得對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的高精度估計(jì)（藍(lán)色曲線幾乎與綠色曲線重合，只是小車位移略有偏差，但是偏差在5 mm范圍內(nèi)）。同時(shí)，能夠降低噪聲對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的影響（見圖5和圖6中藍(lán)色曲線低于紅色曲線）。

圖5 擺桿角度隨時(shí)間的變化曲線

圖6 擺桿角速度隨時(shí)間的變化曲線

圖7 為系統(tǒng)控制量曲線，可以看出，在系統(tǒng)穩(wěn)定過程中，系統(tǒng)控制量均很小，最大約2.3 m/s2。另外，從圖中可以看出，3 s后，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，但是受噪聲影響，系統(tǒng)控制量在微小范圍內(nèi)存在波動(dòng)現(xiàn)象。

圖8 為系統(tǒng)理論控制量變化曲線。對(duì)比圖7和圖8可以看出，采用Kalman濾波估計(jì)的系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)所得結(jié)果與采用理論狀態(tài)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)所得結(jié)果幾乎完全相同，只是在系統(tǒng)穩(wěn)定后，系統(tǒng)噪聲依然對(duì)控制性能具有一定的影響。

圖7 控制量隨時(shí)間的變化曲線

圖8 系統(tǒng)理論控制量變化曲線

圖9 采用微分方式獲取系統(tǒng)狀態(tài)仿真結(jié)果

作為對(duì)比，本文給出部分文獻(xiàn)采用du/dt方式獲取小車速度與擺桿角速度后進(jìn)行控制實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果如圖8所示。從圖中可以看出，利用微分方式獲取的系統(tǒng)狀態(tài)，采用同樣的控制方法，無法實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺系統(tǒng)的有效控制。

4.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

根據(jù)本文設(shè)計(jì)的控制器，采用倒立擺實(shí)驗(yàn)裝置進(jìn)一步驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的控制器的有效性，實(shí)驗(yàn)控制程序界面如圖10所示（目前已實(shí)現(xiàn)的算法有10余種），實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖11～13所示（設(shè)定小車跟蹤位置為0.1 m，擺桿跟蹤角度為0°）。圖11為實(shí)驗(yàn)效果圖，可以看出，利用本文設(shè)計(jì)的控制器，倒立擺擺桿穩(wěn)定性很好。圖12為倒立擺實(shí)驗(yàn)小車位移曲線，可以看出，在實(shí)際實(shí)驗(yàn)時(shí)，小車不可能完全靜止，會(huì)在較小的范圍（0.02 m）內(nèi)來回波動(dòng)。圖13為倒立擺實(shí)驗(yàn)擺桿角度曲線，可以看出，擺桿控制精度非常高。

圖10 實(shí)驗(yàn)控制程序界面

圖11 運(yùn)行中的倒立擺實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

圖12 倒立擺實(shí)驗(yàn)小車位移曲線

圖13 倒立擺實(shí)驗(yàn)擺桿角度曲線

注釋2 因本文沒有給出倒立擺起擺過程，實(shí)驗(yàn)時(shí)用手旋轉(zhuǎn)倒立擺至豎直狀態(tài)，故實(shí)驗(yàn)開始時(shí)，輸出曲線不是期望值，采集幀數(shù)約為1 000次后，系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定狀態(tài)。

5 結(jié) 語

本文針對(duì)倒立擺控制器設(shè)計(jì)中存在的測(cè)量噪聲與系統(tǒng)狀態(tài)不完全可測(cè)的問題，基于Kalman濾波與滑模變結(jié)構(gòu)控制理論進(jìn)行了控制器設(shè)計(jì)?；贙alman濾波理論，降低噪聲對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的影響，同時(shí)能夠獲取系統(tǒng)所有狀態(tài)信息。根據(jù)獲取的系統(tǒng)全部狀態(tài)信息，基于滑模變結(jié)構(gòu)控制理論進(jìn)行了控制器設(shè)計(jì)。通過理論分析、計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)的控制器的有效性，解決了工程應(yīng)用中噪聲的影響以及系統(tǒng)狀態(tài)不完全可測(cè)的應(yīng)用難題。