鄭中強， 姚志鵬， 常宗瑜，2

(1. 中國海洋大學工程學院， 山東 青島 266100； 2. 山東省海洋工程重點實驗室， 山東 青島 266100)

工作在復雜海洋環(huán)境下的海洋平臺受到風、浪、流、地震等載荷的作用，會產生持續(xù)的水平振動，影響海洋平臺的使用壽命和平臺上工作人員的安全。隨著對海上能源需求的增加，海洋平臺越來越多的被應用于海上油氣資源的開發(fā)，減小平臺的振動日趨重要。

通過線性動力吸振器被動吸收平臺的振動已經得到廣泛的研究，其中調諧質量阻尼器(Tuned Mass Damper，TMD)應用較多。Li等[1]針對海洋平臺在隨機波浪載荷下的振動，通過控制位移標準差的最大減小量，得到了TMD的優(yōu)化設計方法，并分析了不同波浪參數對TMD最優(yōu)參數的影響。Wang等[2]研究了海洋平臺在沖擊載荷作用下的振動控制問題，從能量傳遞與耗散的角度對TMD的參數進行了優(yōu)化設計。Yue等[3]研究了海洋平臺在受冰激載荷時的振動響應，分析了最優(yōu)參數的TMD并應用到海洋平臺上，結果表明TMD可有效控制冰激激勵下海洋平臺產生的振動。嵇春艷[4]通過模態(tài)分析的方法，研究了TMD對海洋平臺不同模態(tài)的減振效果，結果表明TMD只對單一模態(tài)的振動有較好的控制效果。然而，TMD的頻率魯棒性較差，一旦TMD的固有頻率與主系統(tǒng)的固有頻率發(fā)生偏離，其振動控制效果會顯著降低[5]。所處惡劣環(huán)境中的海洋平臺等結構很容易發(fā)生破損、腐蝕，在平臺上安裝各種設備導致質量增加，這些影響可能使結構的固有頻率發(fā)生變化。因此，必須尋找新的方法以克服TMD減振頻帶窄的缺點。

非線性能量阱(Nonlinear Energy Sink，NES)作為一種新型被動非線性動力吸振器，其在傳統(tǒng)的線性動力吸振器中引入非線性剛度，使得NES沒有固定的頻率，能夠保證NES在較寬的頻帶上與主結構發(fā)生共振，到達較好的振動抑制效率。通過適當的參數設計，使主結構與NES之間發(fā)生靶能量傳遞將主結構中的振動能量傳遞到NES中，并由NES中的阻尼耗散。Vakakis[6]研究了附加有NES的線性振子在脈沖激勵下系統(tǒng)能量傳遞的問題，發(fā)現了NES能量定向傳遞的特性，經過適當的設計NES可作為被動減振器使用。Gourdon等[7]通過實驗驗證了NES的能量定向傳遞，并表明NES在結構固有頻率發(fā)生變化后依然有效。Lu等[8]提出一種軌道型NES與鋼框架相結合，建立了其數學模型，通過分析不同激勵下鋼框架的位移響應，驗證了NES寬頻帶的振動控制特性，并研究了不同阻尼對振動控制效果的影響。Georgiades等[9]研究了線性簡支梁附著NES后的振動抑制和能量傳遞的問題，并通過數值模擬的方法優(yōu)化了NES的參數和安裝位置。Ahmadabadi等[10]和Fang等[11]分別將NES與壓電材料和磁致伸縮材料相結合，減小主結構振動的同時收集傳遞到NES中的振動能量，并且從能量收集的角度對NES的參數進行了優(yōu)化。Dai等[12]研究了NES對圓柱渦激振動抑制效果，通過對系統(tǒng)數學模型進行無量綱化后，分析了NES的無量綱阻尼、剛度和質量對渦激振動抑制效果的影響，并優(yōu)化了NES的參數。李爽等[13]研究了不同的沖擊激勵下NES對主結構的振動抑制效果，結果表明當沖擊能量超過一定臨界閾值時，會激發(fā)靶能量傳遞達到較好的振動抑制效果。陳勇等[14]研究了NES對高聳結構的振動抑制效果，將高聳結構簡化為懸臂梁，通過數值分析表明 NES 可有效吸收結構振動，并給出了NES參數的選擇方法。Kremer等[15]提出一種帶有永磁體的NES，實現振動控制和能量獲取，建立了系統(tǒng)的數學模型，對裝置在瞬態(tài)響應下的吸振和能量采集性能進行了仿真研究，結果表明該系統(tǒng)具有良好的能量定位能力和寬頻帶的減振能力。Wang等[16]研究了軌道NES對建筑物的振動控制效果，主要針對建筑結構物受到外部因素導致自身剛度發(fā)生變化時，對比研究了軌道NES、立方剛度NES和TMD之間減振效果的差異，結果表明NES對結構剛度變化更具有魯棒性。Wierschem等[17]對在地震載荷下NES和TMD的減振性能進行了對比，研究結果表明，在建筑結構固有頻率不變的情況下，TMD的性能較好，當固有頻率發(fā)生變化時，NES系統(tǒng)在控制結構響應方面表現出較好的性能。

本文通過建立海洋平臺耦合NES系統(tǒng)動力學模型，根據譜分析法模擬隨機波浪載荷，從降低平臺位移響應均方差的角度對隨機波浪載荷作用下NES進行了優(yōu)化設計，對比分析了NES與TMD的振動控制性能，通過瞬時能量傳遞和位移響應小波變化分析了NES的振動控制機理。

1 系統(tǒng)動力學模型

海洋平臺的結構和所處環(huán)境較為復雜，本文僅取海洋平臺的第一模態(tài)，將系統(tǒng)看作為單自由度系統(tǒng)(SDOF)，這是因為系統(tǒng)第一模態(tài)的響應對結構來說最為主要，振動危害主要發(fā)生在第一模態(tài)上。本文以一導管架平臺[18]為例，通過數值計算分析NES對海洋平臺的振動控制效果，平臺具體參數見表1。建立NES—海洋平臺簡化模型,見圖1。

表1 海洋平臺主要參數

圖1 NES—海洋平臺系統(tǒng)結構模型

系統(tǒng)的動力學方程可表示為：

(1)

式中：m1、c1、k1分別表示海洋平臺的質量、阻尼和剛度；m2、c2、k2分別表示NES的質量、阻尼和剛度；x1、x2分別表示海洋平臺與NES的位移；F(t)表示作用于海洋平臺上的隨機波浪載荷。

2 隨機波浪載荷

本文通過譜分析法模擬隨機波浪載荷。選用改進后的JONSWAP譜描述不規(guī)則波：

Sη(ω)=

(2)

式中：

Hs為有效波高(m)；T為峰值周期(s)；γ為譜峰升高因子(均值為3.3)；σ為峰形系數，其取值為：

ω≤ωm,σ=0.07；

ω≥ωm,σ=0.09。

海浪的波面可以看作一個平穩(wěn)隨機過程，它是由多個不同周期不同隨機初相位的余弦波疊加而成，即得海浪的波面：

(3)

作用在張力腿上的隨機波浪載荷F(t)可由Morison方程計算得到：

(4)

式中：cD為Morison方程拖曳力系數，cD=1.4；ρ為海水的密度，取ρ=1 025 kg/m3；D為張力腿直徑；cM為Morison方程慣性力系數，cM=2。

(5)

式中：g為重力加速度；k為波數；d為平臺工作水深。

取波浪參數Hs=8 m，T=10 s。計算得到圖2 所示的JONSWAP波浪譜, 圖3作用于平臺上的隨機波浪載荷F(t)。

圖2 JONSWAP波浪譜

圖3 隨機波浪載荷

3 導管架平臺的振動控制系統(tǒng)

3.1 基于NES的振動控制

由于海洋平臺所受到的載荷為隨機波浪載荷，其響應也是一個零均值的平穩(wěn)隨機過程，所以本文通過平臺第一模態(tài)位移響應的均方差來衡量海洋平臺產生振動的劇烈程度。通過式(6)表示海洋平臺位移響應的均方差：

(6)

式中μ表示位移響應的平均值。

本文以海洋平臺有無NES時位移均方差的變化量作為反應NES對海洋平臺振動控制效果的標準，其可表示為：

(7)

式中：δ0表示平臺未安裝NES時的位移響應均方差；δn表示平臺安裝NES后的位移響應均方差。

在對NES參數進行優(yōu)化時，首先確定其質量大小為平臺質量的5%。確定質量后，NES需要優(yōu)化的參數為非線性剛度和線性阻尼。通過龍格-庫塔法計算海洋平臺在隨機波浪載荷下的位移響應，得到海洋平臺位移響應的均方差，以最大均方差減小量J=max(φ)為目標函數,在非線性剛度k2=3.283 2×106～1.969 9×108N·m-3，線性阻尼c2=6.411 5×102～1.282 3×106N·s·m-1范圍內進行尋優(yōu)求解，得到均方差減小量最大值max(φ)所對應的k2和c2的值即為最優(yōu)非線性剛度和最優(yōu)線性阻尼。參數變化對應的減振效果如圖4可見，根據優(yōu)化結果選取NES的非線性剛度為k2=2.955×107N·m-3，線性阻尼為c2=4.424×105N·s·m-1，質量為m2=391 270 kg。

圖4 不同NES參數下平臺的振動控制效果

3.2 基于TMD的振動控制

TMD選取與NES相同的質量，仍為平臺質量的5%，TMD的剛度和阻尼通過動力減振器的經驗公式來確定最優(yōu)值。具體設計公式為：

(8)

根據經驗公式計算可得TMD的線性剛度為kTMD=1.489×106N·m-3，線性阻尼為cTMD=2.04×105N·s·m-1，質量為mTMD=391 270 kg。

4 NES的振動控制分析

4.1 NES振動控制性能分析

首先對附加質量鎖定的鎖定系統(tǒng)、NES系統(tǒng)和TMD系統(tǒng)在隨機波浪載荷作用下的平臺位移進行分析?？紤]平臺工作環(huán)境惡劣，長期工作受到腐蝕、強震、強風等作用可能導致結構剛度、頻率等特性發(fā)生變化，分別分析了平臺結構剛度不變即為100%時和結構剛度下降為理論設計值的45%時不同控制系統(tǒng)下平臺的位移響應。

由圖5可知，當平臺結構剛度為100%時NES系統(tǒng)的振動控制性能雖然差于TMD系統(tǒng)的控制效果，但NES系統(tǒng)也能保持良好的減振效果，位移峰值始終低于鎖定系統(tǒng)。由圖6可知，當平臺結構剛度退化為原剛度的45%后，TMD系統(tǒng)的振動控制性能明顯下降，部分時間的位移峰值甚至超過鎖定系統(tǒng)，這是因為平臺結構剛度變化后導致自身頻率發(fā)生變化導致TMD與平臺失去調諧，使TMD的減振效果大幅下降。而NES系統(tǒng)依舊可以保持原有的振動控制性能，減振效果并未發(fā)生明顯的退化。

((a)平臺的位移響應;(b)位移響應局部放大圖。(a) Displacement response of the platform; (b) Locally enlarged view of displacement response.)

((a)平臺的位移響應;(b)位移響應局部放大圖。(a) Displacement response of the platform; (b) Locally enlarged view of displacement response.)

針對以上現象，繼續(xù)探討平臺結構剛度在原設計剛度的30%～130%變化時不同系統(tǒng)的振動控制效果，用以分析不同控制系統(tǒng)剛度的魯棒性。圖7給出了平臺結構剛度變化時NES系統(tǒng)和TMD系統(tǒng)與鎖定系統(tǒng)的平臺位移均方差比值，比值越小說明振動控制效果越優(yōu)，可以看出NES系統(tǒng)與鎖定系統(tǒng)的均方差比值在整個剛度變化范圍內處于0.89～0.75之間這說明在平臺結構剛度發(fā)生變化時NES始終保持一定的振動控制效果，其振動控制性能受平臺結構剛度變化影響不大。TMD系統(tǒng)在平臺結構剛度變化不大的共振區(qū)域內可達到優(yōu)于NES的振動控制效果，但隨著平臺結構剛度的變化TMD逐漸失諧振動控制效果下降明顯，均方差比值達到0.96以上，部分時刻甚至出現放大平臺位移的現象。與TMD系統(tǒng)相比，NES雖然在TMD的共振頻率附近振動控制效果弱于TMD，但NES系統(tǒng)的振動控制性能對剛度變化的敏感程度較小，NES系統(tǒng)對結構剛度的變化的魯棒性更強。

圖7 平臺結構剛度變化對位移均方差比值的影響

4.2 NES振動控制機理分析

在系統(tǒng)參數確定后，建立系統(tǒng)內部瞬時能量傳遞的數學模型，通過系統(tǒng)內部瞬時能量傳遞的情況，來分析NES的瞬態(tài)響應和靶能量傳遞現象。首先根據系統(tǒng)動力學方程確定系統(tǒng)中的瞬時能量表達式：

NES中的瞬時能量

(9)

平臺中的瞬時能量

(10)

NES內部瞬時能量占比

(11)

通過內部瞬時能量傳遞的數學模型，對隨機波浪載荷作用下的平臺與NES之間的瞬時能量進行分析，圖8(a)、(b)給出了平臺結構剛度為100%時NES系統(tǒng)和TMD系統(tǒng)中的瞬時能量傳遞情況?？梢钥闯?，在TMD系統(tǒng)中，TMD內部瞬時能量占比在100%～1%之間持續(xù)振蕩，此現象說明系統(tǒng)中的能量在平臺與TMD之間的傳遞是一個可逆的過程，并且這個可逆過程持續(xù)不斷的發(fā)生，能量在平臺與TMD交換的過程中，阻尼會消耗較多能量。而從NES系統(tǒng)曲線中可以得到，NES內部瞬時能量占比始終保持在90%以上并且曲線振蕩的幅度和頻率較小，說明在外載荷激勵下，平臺中的能量傳遞到NES后，除阻尼耗散外大多數能量儲存在NES中，系統(tǒng)發(fā)生了靶能量傳遞，能量傳遞到NES中后幾乎不會再發(fā)生逆向傳遞到平臺。

分析圖9(a)、(b)平臺結構剛度下降為原剛度的45%時NES系統(tǒng)和TMD系統(tǒng)中的瞬時能量傳遞情況可知，TMD系統(tǒng)中，TMD內部瞬時能量占比依然在100%～1%之間保持較大的振蕩頻率，而NES系統(tǒng)中雖然瞬時能量占比的振蕩幅值在某幾個時刻有較大的增加，但總體上振蕩的幅度保持在80%以上，而且曲線振蕩的頻率也明顯小于TMD系統(tǒng)。這說明NES系統(tǒng)中能量逆向傳遞的發(fā)生頻率依然小于TMD系統(tǒng)，NES系統(tǒng)中平臺與NES之間依然存在靶能量傳遞。

((a)NES內部瞬時能量占比;(b) TMD內部瞬時能量占比。(a) Instantaneous energy ratio within NES; (b) Instantaneous energy ratio within TMD.)

((a)NES內部瞬時能量占比;(b) TMD內部瞬時能量占比。(a) Instantaneous energy ratio within NES; (b) Instantaneous energy ratio within TMD.)

為進一步分析NES產生靶能量傳遞的內在原因，利用小波變換對NES和TMD系統(tǒng)中平臺和減振器的相對位移(x2-x1)進行時頻特性分析。圖10(a)、(b)給出NES和TMD系統(tǒng)平臺結構剛度100%時系統(tǒng)小波變換時頻譜，可以看出，平臺剛度為100%時，TMD系統(tǒng)的相對位移響應能量大都集中在與平臺固有頻率0.326 Hz相同的頻率，說明平臺與TMD多數時間以相同的頻率做同步運動。而NES系統(tǒng)的小波變化圖像中可以看出系統(tǒng)響應量頻率在0～0.5 Hz之間都有分布，這說明系統(tǒng)被激發(fā)出更多的頻率分量，平臺與NES振子在更寬頻范圍內出現瞬態(tài)共振俘獲，使平臺與NES之間產生靶能量傳遞。

((a)NES系統(tǒng)；(b) TMD系統(tǒng)。(a)System of NES; (b)System of TMD.)

從圖11(a)、(b)描繪的NES和TMD系統(tǒng)在平臺結構剛度退化到原剛度45%時系統(tǒng)小波變換時頻譜可以看出，由于剛度退化使平臺本身固有頻率變?yōu)?.219 Hz，TMD系統(tǒng)的相對位移響應能量依然集中在與平臺固有頻率0.219 Hz相同的頻率，但響應能量相較于100%剛度時變小。而NES系統(tǒng)雖然相較于平臺剛度100%時的頻率分布變窄，但在某些時刻依然有高頻分量存在，產生寬頻范圍內出現瞬態(tài)共振俘獲。這也是剛度變化后NES系統(tǒng)振動控制效果優(yōu)于TMD系統(tǒng)的原因。

((a)NES系統(tǒng)；(b) TMD系統(tǒng)。(a) System of NES; (b) System of TMD.)

5 結語

本文針對NES對受隨機波浪載荷下導管架海洋平臺第一模態(tài)的振動控制進行了參數優(yōu)化和數值分析，比較了NES和TMD振動控制效果，計算表明：在平臺的頻率調諧區(qū)域內NES的振動控制效果比TMD的略差，但在其余遠離共振區(qū)域內，NES的振動控制效果顯著優(yōu)于TMD，顯示出NES可在更寬的頻帶范圍內保持良好的振動控制性能，NES具有更好的剛度魯棒性。基于系統(tǒng)內部瞬時能量傳遞的分析，得到NES系統(tǒng)中能夠激發(fā)由平臺到NES的靶能量傳遞，通過小波變換分析可知靶能量傳遞主要是由系統(tǒng)中的瞬態(tài)共振俘獲激發(fā)的。