張若軍， 張 壘

(中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山東 青島 266100)

20世紀(jì)80年代，美國加州理工學(xué)院的生物物理學(xué)家Hopfield提出的Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[1-2]是人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究中具有里程碑意義的工作。因?yàn)槿斯ど窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)是人腦智能活動(dòng)或部分功能的模擬，所以廣泛應(yīng)用于并行計(jì)算、模式識(shí)別、信號(hào)處理、聯(lián)想記憶等領(lǐng)域，特別是在人工智能領(lǐng)域存在巨大潛力。尤其近三十年來，隨著高性能計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及新概念的不斷引入，人們對(duì)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究熱情高漲，并得到了大量有價(jià)值的研究成果[3-7]。

(1)

式中：τi為正常數(shù)；n表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元的個(gè)數(shù)；wij表示神經(jīng)元j到i的連接權(quán)重；gi(·)表示神經(jīng)元i的激活函數(shù)；Ii表示神經(jīng)元i的外部輸入。

以神經(jīng)元的外部狀態(tài)y(t)=(y1(t),y2(t),…,yn(t))T作為變量的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)稱為靜態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，其基本形式為

(2)

模型(2)中出現(xiàn)的符號(hào)意義與模型(1)相同。

相比于局域遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(1)，靜態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(2)的研究成果較少，而靜態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型包含了ReBp網(wǎng)、BCOp網(wǎng)、BSB網(wǎng)等重要人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[9]。同時(shí)，因?yàn)樯窠?jīng)元之間的信息傳輸速度有限，以及電路系統(tǒng)中放大器的開關(guān)速度有限，不可避免地產(chǎn)生時(shí)滯，時(shí)滯的存在會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)的振動(dòng)、不穩(wěn)定甚至出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，因此，時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究尤為重要，而S分布時(shí)滯包含了離散時(shí)滯與連續(xù)分布時(shí)滯兩種情形[10]，故具有更一般的意義。

1990年代，美國數(shù)學(xué)家Pecora和Carroll[11-12]首次提出驅(qū)動(dòng)—響應(yīng)概念并實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)混沌系統(tǒng)的同步。此后，混沌同步控制在保密通訊、優(yōu)化組合、人工智能等方向得到了廣泛應(yīng)用。在時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步性研究方面雖然也有大量研究成果[13-19]，但就作者所知，有關(guān)靜態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步性的研究鮮見報(bào)道。

本文將考慮S分布時(shí)滯靜態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近同步問題，以S分布時(shí)滯靜態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)，在一定條件限制下，設(shè)計(jì)響應(yīng)系統(tǒng)控制器，應(yīng)用Lyapunov泛函方法和某些不等式技巧，得到所考慮的驅(qū)動(dòng)—響應(yīng)系統(tǒng)的全局漸近同步性的充分性條件，該條件簡單且易于應(yīng)用。并且，本文最后給出了一個(gè)實(shí)例驗(yàn)證了所得結(jié)論的有效性。

1 主要結(jié)果

考慮如下一類S分布時(shí)滯靜態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

(3)

模型(3)的向量形式為

(4)

式中：

C=diag(c1,c2,…,cn)，ci>0，i∈I，B=(bij)n×n;

f(Bx(t)+I)=

以模型(4)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，并設(shè)相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為

(5)

設(shè)系統(tǒng)(4)與系統(tǒng)(5)的初始條件分別為:

xi(s)=φi(s)，s∈[-r,0]，φi(s)∈C([-r,0],R)

(6)

和

yi(s)=Ψi(s)，s∈[-r,0]，Ψi(s)∈C([-r,0],R)。

(7)

為證明方便，這里給出以下假設(shè)。

(H1) 輸出函數(shù)gi(·)滿足全局Lipschitz條件，即存在常數(shù)lig>0,使對(duì)?u,v∈R,有

|gi(u)-gi(v)|≤lig|u-v|,i∈I。

(H2)DLg為對(duì)稱正定矩陣，且存在矩陣K，使得K+E為對(duì)稱正定矩陣，這里L(fēng)g=diag(l1g,l2g,…,lng)。

定義1若對(duì)任意的初始條件，系統(tǒng)(4)中的狀態(tài)向量x(t)和系統(tǒng)(5)中的狀態(tài)向量y(t)，滿足

則稱系統(tǒng)(4)和(5)是全局漸近同步的。

引理2若f(x)為[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，g(x)為[a,b]上不減有界變差函數(shù)，則

證明 分兩部分證明。

第一部分證明：對(duì)?ai∈R，bi∈R，bi>0,i∈I，有

(8)

利用數(shù)學(xué)歸納法，n=1時(shí)，(8)式顯然成立。

假設(shè)n=k時(shí)，(8)式成立，即有

(9)

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

第二部分證明：

(10)

對(duì)[a,b]的某一分法Δ:a=x0

有

由第一部分證明的結(jié)論，顯然有

在上式中令λ→0，故(10)式成立。

引理3[20]對(duì)?x∈Rn,y∈Rn，有

2xTy≤xTx+yTy。

定義同步誤差信號(hào)e(t)=y(t)-x(t)，由驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(4)和響應(yīng)系統(tǒng)(5)，可以得到如下的誤差系統(tǒng)：

-Ce(t)+f(By(t)+I)-f(Bx(t)+I)+

(11)

定理1假設(shè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(4)和響應(yīng)系統(tǒng)(5)滿足條件(H1)和(H2)，設(shè)計(jì)反饋控制器

U(t)=f(Bx(t)+I)-f(By(t)+I)+

其中G為滿足以下條件的矩陣

(12)

證明 在定理設(shè)計(jì)的反饋控制器下，誤差系統(tǒng)(11)的零解顯然存在，因此，可將證明系統(tǒng)(4)與(5)是全局漸近同步的轉(zhuǎn)化為證明系統(tǒng)(11)的零解是全局漸近穩(wěn)定的。

定義Lyapunov泛函

(13)

沿系統(tǒng)(11)的解軌道，計(jì)算V(e(t))的導(dǎo)數(shù)，利用引理1，有

其中

eT(t)[(G-C)e(t)+

(14)

(15)

利用引理2，有

(16)

再利用條件(H1)、(H2)及引理3，有

(17)

綜合(14)～(17)式，有

(18)

2 實(shí)例

例1考慮如下S分布時(shí)滯二維靜態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

(19)

從而，

Q=

3 結(jié)語

本文討論了一類S分布時(shí)滯靜態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近同步性。在一定的條件下，設(shè)計(jì)了相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)的控制器，應(yīng)用Lyapunov泛函方法及某些不等式技巧，得到驅(qū)動(dòng)—響應(yīng)系統(tǒng)全局漸近同步性的充分性條件，該條件簡單且易于應(yīng)用。并且，通過給出具體實(shí)例說明了所得結(jié)論的有效性。