王 歡，劉光欣

(1.天津大學(xué) 內(nèi)燃機(jī)研究所，天津 300072；2.天津市瑞能電氣有限公司，天津 300385)

0 引 言

永磁直線同步電動機(jī)(以下簡稱PMLSM)由于“零傳動”的自身結(jié)構(gòu)特性，具有低損耗、高精度、快響應(yīng)等優(yōu)點，在高速精密數(shù)控、精密儀器、半導(dǎo)體芯片制造等領(lǐng)域有很大的應(yīng)用潛力。一方面，PMLSM固有的周期性推力波動[1]會影響伺服系統(tǒng)的性能，特別是在高精度、高響應(yīng)速度的情況下尤為突出[2-3]；另一方面，當(dāng)PMLSM伺服系統(tǒng)跟蹤任意多周期(兩個輸入信號周期不成倍數(shù)關(guān)系)輸入信號時，控制精度較差。為此，有的學(xué)者采用了人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[4]、變結(jié)構(gòu)控制[5]、H∞滑模控制[6-7]等，但這些算法的高度復(fù)雜性會導(dǎo)致系統(tǒng)的調(diào)節(jié)響應(yīng)滯后，并且由于周期信號的時變性，并不能較好地抑制或跟蹤系統(tǒng)輸入的多周期信號。因此，需要設(shè)計出一種相對計算簡單又高效的控制算法來解決上述問題。

重復(fù)控制器在頻域內(nèi)首先由Inoue于1982年提出，控制器基于內(nèi)模原理對系統(tǒng)外部周期性輸入信號進(jìn)行調(diào)節(jié)[7-8]。Tomizuka于1989年首次提出離散重復(fù)控制器，離散重復(fù)控制器具有如下優(yōu)點：一是重復(fù)控制器數(shù)字實現(xiàn)比模擬實現(xiàn)要簡便，二是由于離散化時限制了不必要考慮的高頻分量，因此不切實際的輸入條件不需要考慮，簡化了求解控制器的過程。特別是Tomizuka提出的原型重復(fù)控制器，是以零相差跟蹤為基礎(chǔ)，采用零極點對消原理設(shè)計調(diào)節(jié)器，不需要求解復(fù)雜的Diophantine方程，縮短了計算機(jī)的執(zhí)行周期，但是一般的原型重復(fù)控制器還有很多不足，例如對多周期輸入信號的跟蹤就顯得束手無措[1,9]。

本文研究了一種快速調(diào)節(jié)(跟蹤/抑制)任意多周期信號的新方法，并從實際出發(fā)提出了一種適用于PMLSM的多周期重復(fù)控制系統(tǒng)。首先將重復(fù)控制器的周期發(fā)生器的死區(qū)長度縮短為所有周期信號的輸入之和。多周期重復(fù)控制器不僅可以比一般重復(fù)控制器少很多記憶單元來實現(xiàn)，而且可以使控制誤差更快地收斂到零。其次，多周期離散重復(fù)控制系統(tǒng)不僅可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且能將系統(tǒng)極點配置在以原點為圓心的給定半徑圓盤上，增加穩(wěn)定裕度。第三，所提出的控制器是顯式，設(shè)計方法不需要求解Diophantine方程，即使輸入信號的周期非常大，設(shè)計的工作量卻非常小，這一點和一般離散重復(fù)控制器相似。最后，通過MATLAB/Simulink，解決了PMLSM控制系統(tǒng)多周期輸入信號的跟蹤/抑制問題，仿真驗證了其有效性。

1 PMLSM傳遞函數(shù)

根據(jù)運動力學(xué)，對PMLSM的運動狀態(tài)建立數(shù)學(xué)方程：

KFiq(t)-Ff-FL-Fripple

(1)

式中：M表示PMSLM的動子和其帶動的負(fù)載總質(zhì)量；x(t)為動子的位移量；Fe表示PMLSM的電磁推力；FL表示施加的外力，在系統(tǒng)中作為負(fù)載；KF表示電磁推力的系數(shù)；iq表示電機(jī)動子的q軸電流。

Fripple表示推力波動，是由端部效應(yīng)產(chǎn)生的周期性波動函數(shù)。其與動子位移的函數(shù)關(guān)系[1]：

(2)

式中：Fripplem為端部效應(yīng)產(chǎn)生力的波動幅值；τ為電機(jī)的極距；φ0表示電機(jī)初始相位的電角度[7]。

Ff表示摩擦力，數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(3)

式中：fc表示庫侖摩擦力系數(shù)；fs表示靜摩擦力系數(shù)；v表示電機(jī)動子的運動速度；vs表示Stribeck影響速度；Bv表示粘滯摩擦系數(shù)。

建立狀態(tài)方程，狀態(tài)量分別為PMLSM的動子位移和動子移動速度，直線伺服系統(tǒng)狀態(tài)方程表示：

(4)

式中:u=iq作為控制輸入。

本文用d來表示將滯摩擦外的其他摩擦與干擾，即d=Ff+Fripple+FL?？梢缘玫絇MLSM的傳遞函數(shù)：

(5)

2 PMLSM伺服系統(tǒng)重復(fù)控制器設(shè)計

2.1 基于PMLSM的離散重復(fù)控制系統(tǒng)

圖1是單輸入單輸出離散重復(fù)控制的PMLSM伺服系統(tǒng)框圖。圖1中，xd[k]，x[k]，e[k]，u[k]，d[k]，分別表示輸入?yún)⒖夹盘枺敵鑫灰菩盘?，反饋控制誤差，控制信號，干擾輸入信號；C1(z-1)，C2(z-1)，P(z-1)則分別表示離散重復(fù)控制器，離散位置控制器和離散速度閉環(huán)傳遞函數(shù)，其中位置控制器使用的PD控制器，離散重復(fù)控制器是本文研究設(shè)計對象。

圖1 離散重復(fù)控制的PMLSM伺服系統(tǒng)框圖

假設(shè)圖1的離散重復(fù)控制系統(tǒng)的采樣間隔為Ts，d[k]的周期為L2，xd[k]的周期為L1，把xd[k]、d[k]分別離散化：

(6)

xd0(z-1)=xd0(0)+xd0(1)(z-1)+……+

(7)

(8)

d0(z-1)=d0(0)+d0(1)(z-1)+……+

(9)

式中：xd0(z-1)為xd(z-1)的第一個周期序列的z變換；z-1為延遲因子；d0(z-1)為d(z-1)的第一個周期序列的z變換[1]。

圖1中的P(z-1)為PMLSM速度閉環(huán)離散傳遞函數(shù)，速度閉環(huán)控制系統(tǒng)框圖如圖2所示，P0(s)是被控對象傳遞函數(shù)。vd是速度環(huán)的輸入信號，v是速度環(huán)的輸出，d是干擾信號，速度控制器采用偽微分前饋反饋控制器(PDFF)結(jié)構(gòu)，如圖2虛線框內(nèi)所示，控制器輸出：

圖2 PMLSM速度閉環(huán)控制系統(tǒng)框圖

式中:k1表示主調(diào)節(jié)器參數(shù)；k2表示反饋補償調(diào)節(jié)器參數(shù)；kf是PDFF調(diào)節(jié)器設(shè)計的關(guān)鍵參數(shù)，為調(diào)節(jié)器前饋比例增益。PDFF的引入加快了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，在誤差沒有經(jīng)過積分環(huán)節(jié)時，讓給定就提前加入了控制命令中。當(dāng)kf=1，調(diào)節(jié)器為偽微分反饋控制(PDF)，當(dāng)kf=0，為經(jīng)典PI控制。PDFF調(diào)節(jié)器集成了兩種控制器的優(yōu)點，是介于兩種控制方案之間的一種綜合控制方案，既可以增加系統(tǒng)的抗擾動能力、增強DC剛度，又可以提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度，這兩方面正是PI和PDF控制無法兼具的，本文采用的速度控制器為PDFF控制[7,11]。

對其求傳遞函數(shù)可得：

然后，對其離散化，可得P(z-1)。

2.2 離散原型重復(fù)控制系統(tǒng)

由于一般離散原型重復(fù)控制系統(tǒng)只能跟蹤單周期信號，為了具有普遍意義，假設(shè)圖1中的擾動信號d=0，PMLSM伺服系統(tǒng)可以用下式描述：

P(z-1)=z-dB(z-1)/A(z-1)

(10)

式中：B-(z-1)和A-(z-1)是互質(zhì)的；z-d表示由被控對象造成的d步延遲，且

A(z-1)=1+a1z-1+a2z-2+…+anz-n

B(z-1)=b0+b1z-1+b2z-2+…+bmz-m

式中：b00，n≥m。

B(z-1)=B+(z-1)B-(z-1)，其中B+(z-1)包含所有漸進(jìn)穩(wěn)定的零點，B-(z-1)包含其它的零點，如不穩(wěn)定零點。

根據(jù)圖1可得系統(tǒng)閉環(huán)特征方程：

D(z-1)=S(z-1)A(z-1)(1-z-L1)+

z-dB(z-1)R(z-1)=0

(11)

式(11)即是Diophantine方程,選擇合適的S(z-1)和R(z-1)使D(z-1)漸進(jìn)穩(wěn)定，即可完成重復(fù)控制器的設(shè)計，當(dāng)L1數(shù)值非常大時，求解控制器的階次會很高，尤其是在線求解方程時，復(fù)雜性變得不可容忍。取而代之提出下面的原型重復(fù)控制器：

(12)

式中：B-(z)是用z代替B-(z-1)中的z-1，由于B-(z-1)中包含不穩(wěn)定的零點，所以不能直接對消，采用零相位對消法，即B-(z-1)B-(z)引入相位為零。h表示B-(z)的最高階次，f是重復(fù)控制增益。最優(yōu)重復(fù)控制增益fopt的求取方法如下：

(13)

2.3 多周期離散重復(fù)控制器

當(dāng)PMLSM控制系統(tǒng)需要跟蹤多周期參考信號，或抑制任意周期干擾，即當(dāng)d0時，上述一般離散重復(fù)控制器并不能實現(xiàn)零穩(wěn)態(tài)誤差跟蹤參考信號，本文提出的多周期離散重復(fù)控制器既可以跟蹤任意周期參考信號，還可以實現(xiàn)抑制周期性擾動，如固有的周期性推力波動等。

圖1的控制框圖同樣也可以應(yīng)用到多周期給定控制系統(tǒng)，xd[k]為多周期輸入信號，設(shè)Li(i=1，…，l)，為了不失去一般討論性，假設(shè)L1>L2>Ll是多周期參考輸入信號的周期，d0的情況和多周期信號給定的推導(dǎo)過程相同，本文不贅述，以下推導(dǎo)過程都按照多周期給定信號進(jìn)行。如果按照以往設(shè)計重復(fù)控制系統(tǒng)的經(jīng)驗，需要在控制器C(z-1)內(nèi)部引入一個信號發(fā)生器1/(1-z-L),其中：

L=LCM{Li，i=1，…，l}

顯然，這個L值會非常大，從控制器的計算角度和元素存儲單元的大小來看都是不可取的。為了解決這一問題，簡化控制器設(shè)計和減少存儲單元，采用如下離散重復(fù)控制器的設(shè)計形式：

(14)

(15)

式中:h代表B-(z)表達(dá)式z的最高階次，為了提高系統(tǒng)的魯棒性,重復(fù)控制增益用Fk(z)零相位低通濾波器代替，是需要被設(shè)計的；hFk代表Fk(z)表達(dá)式z的最高階次；α(z,Fi)=1-Fi(z)B-(z)B-(z-1),當(dāng)l=2時，根據(jù)式(14)可得：

(16)

(17)

則當(dāng)l=2時，多周期離散重復(fù)控制器表達(dá)式為下式:

(18)

控制框圖如圖3所示，零相位低通濾波器F1(z)、F2(z)可以根據(jù)下列公式設(shè)計：

(19)

圖3 基于多周期重復(fù)控制系統(tǒng)框圖

2.4 多周期離散重復(fù)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性

穩(wěn)定性定理：假設(shè)圖3的離散重復(fù)系統(tǒng)是逐漸穩(wěn)定的，且系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為0，則存在零相位低通濾波器Fi(z)滿足如下不等式：

(20)

且Li+d+hFi+h≥0，i=1，2，…，l，其中ωT∈[0,π]。

證明：多周期重復(fù)系統(tǒng)閉環(huán)極點特征方程：

(21)

(22)

由于系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，很明顯存在z使z-Li=1，所以|Ge(z-1)|=0，則系統(tǒng)的誤差也為0，可以看出，式(20)是設(shè)計低通濾波器的限制條件。

3 仿真結(jié)果及分析

為了驗證本文理論的正確性，仿真采用的PMLSM具體參數(shù)以及位置、速度控制器參數(shù)如表1所示。直線電機(jī)標(biāo)稱模型為P0(s)=1/(12s+8)。

表1 仿真使用參數(shù)

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù):

F1(z)=F2(z)=fopt[1+1-B-(z)B-(z-1)]=

427.18-125.81z+125.81z-1

下面從兩個方面仿真驗證式(18)的控制器性能。

驗證一：給定多周期信號，無擾動信號。

參考輸入信號：xd10(t)=0.03sin(2πt)，xd20(t)=0.01sin(3πt)，xd(t)=0.03sin(2πt)+0.01sin(3πt)，如圖4所示，兩個輸入信號不是諧波關(guān)系，采樣間隔Ts=1/250 s。

圖4 多周期信號給定波形

為了證明本文所設(shè)計的控制器的優(yōu)越調(diào)節(jié)性能，采用上述離散原型重復(fù)控制器系統(tǒng)仿真做對比，控制器離散傳函：

式中：L1=250，f=fopt，其余參數(shù)與多周期重復(fù)控制器參數(shù)相同。采用MATLAB/Simulink反復(fù)調(diào)試，得到如圖5～圖7的仿真結(jié)果，比較圖5和圖6，離散重復(fù)控制器跟蹤多周期給定信號誤差較大且不能收斂，而本文的控制器跟蹤誤差明顯減小，幾乎在0附近波動；從圖7的位移輸出波形也可以看出，多周期重復(fù)控制器無穩(wěn)態(tài)誤差跟蹤多周期給定信號。

圖5 離散原型重復(fù)控制系統(tǒng)給定與反饋誤差波形

圖6 多周期重復(fù)控制系統(tǒng)給定與反饋誤差

圖7 多周期離散重復(fù)控制系統(tǒng)輸出位移

驗證二：給定是單周期信號，有擾動。

xd(t)=0.03sin(2πt)，端部效應(yīng)引起的周期性干擾信號：Fripple=25cos(125πt)，可得L={L1,L2}={250,4}，經(jīng)過反復(fù)調(diào)試得到如圖8～圖11所示的結(jié)果。從圖9和圖10中可以明顯看出，本文的控制器誤差收斂能力和優(yōu)越性。圖11是本文設(shè)計的多周期離散重復(fù)控制系統(tǒng)的輸出，可實現(xiàn)零誤差跟蹤輸入。

圖8 參考輸入位移波形和推力波動波形

圖9 離散原型重復(fù)控制系統(tǒng)給定與反饋誤差波形

圖10 多周期離散重復(fù)控制系統(tǒng)給定與反饋誤差波形

圖11 多周期離散重復(fù)控制系統(tǒng)位移輸出

圖12為N1,N2不同取值時的系統(tǒng)誤差收斂能力，其中N1,N2的取值如表2所示?？梢钥闯觯琋的取值越大，誤差幅值越小，系統(tǒng)的極點越接近原點。

圖12 多周期離散重復(fù)控制系統(tǒng)不同極點設(shè)計系統(tǒng)誤差

表2 低通濾波器參數(shù)設(shè)計和極點配置

4 結(jié) 語

PMLSM在跟蹤任意周期輸入信號時，伺服系統(tǒng)的位移跟蹤精度下降，在任意周期性擾動存在的情況下也面臨同樣問題。為此，本文設(shè)計了一款新型控制器，使用兩個改進(jìn)原型重復(fù)控制器特殊的并聯(lián)方式，加上通過設(shè)置控制器內(nèi)部的零相位低通濾波器來改變整個系統(tǒng)的極點分布，在零誤差跟蹤/抑制多周期信號的同時，提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度。理論推導(dǎo)與仿真結(jié)果表明該方案的有效性。