黃 星，張倩瑤

(南陽(yáng)職業(yè)學(xué)院，河南 南陽(yáng)474500)

1 等價(jià)無(wú)窮小替換基本知識(shí)

知識(shí)1：無(wú)窮小的定義。如果當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)，函數(shù)f(x)的極限為零，則函數(shù)f(x)稱(chēng)為當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)的無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱(chēng)為無(wú)窮小。

上述定理表明，當(dāng)極限式為兩個(gè)無(wú)窮小之比或無(wú)窮小是極限式中的乘積因子且替換后極限存在，則可使用等價(jià)無(wú)窮小替換求極限。

解法一(重要極限公式)：

解法二(洛必達(dá)法則)：

解法三(等價(jià)無(wú)窮小替換)：

解法一(洛必達(dá)法則)：

解法二(等價(jià)無(wú)窮小替換)：

2 利用等價(jià)無(wú)窮小替換求極限應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題

例3：指出下列解法的錯(cuò)誤之處。

由例3可以看出，被替換的量在取極限時(shí)其極限必須為零，否則不能用等價(jià)無(wú)窮小替換。

例4：指出下列解法的錯(cuò)誤之處。

解： ∵x→0時(shí)，sinx～x，tanx～x，

正確解法是：

由例4可以看出，被替換的量作為乘除因子時(shí)可以用等價(jià)無(wú)窮小替換，而作為加減因子時(shí)就會(huì)出錯(cuò)。事實(shí)上，等價(jià)無(wú)窮小替換在一定條件下對(duì)加減法也是成立的。等價(jià)無(wú)窮小替換對(duì)加減法成立的條件如下：

由等價(jià)無(wú)窮小替換對(duì)加減法成立的條件可知，不能直接用tanx-sinx去替換分子(etanx-1)-(esinx-1)，對(duì)于此題來(lái)說(shuō)，等價(jià)無(wú)窮小替換對(duì)分子里的加減運(yùn)算不適用，只能先將函數(shù)的分子恒等轉(zhuǎn)化為乘除運(yùn)算，然后再用等價(jià)無(wú)窮小替換。

3 結(jié)語(yǔ)

在利用等價(jià)無(wú)窮小替換求極限時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)：①被替換的量在取極限時(shí)其極限必須為零。②對(duì)于分子分母中的乘積因子，可以放心使用等價(jià)無(wú)窮小替換。若分子或分母是兩個(gè)等價(jià)無(wú)窮小之和或差，應(yīng)慎用此種方法。