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        利用等價(jià)無窮小替換求極限時(shí)應(yīng)注意的問題

        2021-07-22 11:28:18張倩瑤
        黑龍江科學(xué) 2021年13期
        關(guān)鍵詞:洛必達(dá)乘積加減法

        黃 星,張倩瑤

        (南陽職業(yè)學(xué)院,河南 南陽474500)

        1 等價(jià)無窮小替換基本知識

        知識1:無窮小的定義。如果當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí),函數(shù)f(x)的極限為零,則函數(shù)f(x)稱為當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)的無窮小量,簡稱為無窮小。

        上述定理表明,當(dāng)極限式為兩個(gè)無窮小之比或無窮小是極限式中的乘積因子且替換后極限存在,則可使用等價(jià)無窮小替換求極限。

        解法一(重要極限公式):

        解法二(洛必達(dá)法則):

        解法三(等價(jià)無窮小替換):

        解法一(洛必達(dá)法則):

        解法二(等價(jià)無窮小替換):

        2 利用等價(jià)無窮小替換求極限應(yīng)注意的幾個(gè)問題

        例3:指出下列解法的錯誤之處。

        由例3可以看出,被替換的量在取極限時(shí)其極限必須為零,否則不能用等價(jià)無窮小替換。

        例4:指出下列解法的錯誤之處。

        解: ∵x→0時(shí),sinx~x,tanx~x,

        正確解法是:

        由例4可以看出,被替換的量作為乘除因子時(shí)可以用等價(jià)無窮小替換,而作為加減因子時(shí)就會出錯。事實(shí)上,等價(jià)無窮小替換在一定條件下對加減法也是成立的。等價(jià)無窮小替換對加減法成立的條件如下:

        由等價(jià)無窮小替換對加減法成立的條件可知,不能直接用tanx-sinx去替換分子(etanx-1)-(esinx-1),對于此題來說,等價(jià)無窮小替換對分子里的加減運(yùn)算不適用,只能先將函數(shù)的分子恒等轉(zhuǎn)化為乘除運(yùn)算,然后再用等價(jià)無窮小替換。

        3 結(jié)語

        在利用等價(jià)無窮小替換求極限時(shí),要注意以下兩點(diǎn):①被替換的量在取極限時(shí)其極限必須為零。②對于分子分母中的乘積因子,可以放心使用等價(jià)無窮小替換。若分子或分母是兩個(gè)等價(jià)無窮小之和或差,應(yīng)慎用此種方法。

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