郭瑩瑩
(燕山大學 理學院,河北 秦皇島066004)
控制圖的提出,最初目的是對過程均值是否發(fā)生變化進行監(jiān)控,之后逐漸用于過程方差的監(jiān)控,因為盡管產品質量與目標值相差不大,其方差也具有較小幅度的偏移。在產品生產過程中,由于系統(tǒng)因素,樣本在均值特性上可能沒有明顯變化,但在方差特性上會有很大偏移,如果方差的偏移量超出了規(guī)定要求,就必須對過程方差進行監(jiān)控,過程方差增加會導致產品質量降低。當前對過程方差監(jiān)控最普遍使用的控制圖是休哈特(Shewhart)R圖,S圖和S2圖。傳統(tǒng)的休哈特控制圖在過程發(fā)生比較大的偏移時敏感,在發(fā)生小偏移和中等偏移時不敏感。另外,當樣本容量很小時,監(jiān)控工藝效率低下。為了優(yōu)化這些問題,學者們研究了帶有運行規(guī)則的監(jiān)控過程方差的控制圖。
為了提高過程方差發(fā)生中、小偏移時監(jiān)控的靈敏度,Page E S[1]于1954年提出了累積和控制圖,一些數(shù)理統(tǒng)計學專家先后對累積和控制圖進行了深入研究。Guoyi Zhang[2]針對傳統(tǒng)休哈特S圖的不足,提出了修正的S圖,并介紹了改進的休哈特R圖和S圖;Rakitzis和Antzoulakos C等[3]提出了監(jiān)測過程方差的運行和控制圖;薛麗[4]對累積和控制圖的參數(shù)K和H進行了研究和分析,討論了基于三種不同原則的參數(shù)選取方法;胡靈雪和王志遠等[5]建立了同時監(jiān)控均值和方差的累積和控制圖,提出基于馬爾可夫鏈理論的新控制圖的平均運行鏈長計算方法;孫明超和宋向東等[6]提出基于累積和控制圖改進的累積得分控制圖,設置改進控制圖的初始響應值,改進了控制圖與傳統(tǒng)累積和控制圖比較方法;楊靜和宋向東等[7][8]對方差控制圖進行改進,檢測效率明顯提高。
對于方差發(fā)生小波動的生產過程,累積和控制圖相比休哈特控制圖的監(jiān)控效率更高。過程方差一旦發(fā)生小的偏移,累積和控制圖就能迅速檢測出來。在產品制造過程中,累積和控制圖是一種很有效的監(jiān)控工具。因此,對它的優(yōu)化尤為重要。傳統(tǒng)的休哈特控制圖是在3σ原則上建立的,而累積和控制圖是以序貫概率比檢驗為依據(jù)的。本文將累積和控制圖與常規(guī)控制限聯(lián)合使用,基于累積和方法,加入了常規(guī)控制限思想,根據(jù)總體服從正態(tài)分布時的方差特性設置了上控制限系數(shù),并討論了上單側聯(lián)合的常規(guī)-累積和S2圖的平均運行鏈長表現(xiàn),有效地提高了監(jiān)控方差向上偏移的靈敏度,這在監(jiān)控過程方差方面有一定的借鑒作用。
下面給出一個重要命題:
在使用時可近似取
其中α為犯第一類錯誤的概率即當H0為真時拒絕H0的概率;β為犯第二類錯誤的概率即當H0不真時接受H0的概率。
1.截頂V型模板法
截頂V型模板運用于實踐中,操作比較容易。決定截頂V型模板的形狀有兩個參數(shù):f和h,f稱為參考值,h稱為判定距。如圖1所示,f是截頂V型模板邊界的斜率,h是截頂V型模板中點O處垂直高度的一半。
圖1 截頂V型模板示意圖
判斷過程方差是否發(fā)生偏移時,把截頂V型模板放在累積和控制圖上,中心點O與最新得到的點重合,直線OA與樣本序號軸平行。若之前描的點均在透明模板的兩條斜線內,則判斷過程方差沒有發(fā)生異常偏移;若有一點恰好在截頂V型模板的下斜線上或超出下斜線則判斷過程方差異常增大;若有一點恰好在截頂V型模板的上斜線上或超出上斜線,則判斷過程方差異常減小。
2.列表法
監(jiān)控過程偏移的累積和控制圖可看作重復的序貫概率比檢驗,構造累積和控制圖的兩個參數(shù)為K和H,K稱為參考值,H稱為決策值。檢驗過程方差是否發(fā)生偏移是檢驗統(tǒng)計量是否落入原假設H0的拒絕域。
監(jiān)控過程方差向上偏移的累積和控制圖檢驗統(tǒng)計量表達式為:
D+m=max{0,D+m-1+sm2-K},初始值 D0+=0
當D+m>H時,說明過程發(fā)生了向上的偏移,拒絕原假設H0,控制圖發(fā)出警報,停止抽樣。
對于控制圖,通常稱從過程檢測開始到它發(fā)出失控的報警信號為止,抽取的平均樣本組數(shù)為平均運行鏈長(ARL)。
平均運行鏈長是評價累積和控制圖性能優(yōu)劣的一個重要指標,設計控制圖時一般都希望在過程受控時平均運行鏈長不低于預設值,在過程失控時平均運行鏈長越小越好。要比較不同控制圖的性能,通常是固定受控時的平均運行鏈長,失控時的平均運行鏈長較小的控制圖控制性能更加優(yōu)良。常用的計算平均運行鏈長的方法有馬氏鏈法、積分方程法和隨機模擬法,本文采用隨機模擬的方法計算平均運行鏈長。
在過程方差的監(jiān)控中,過程方差增大說明產品的合格率下降。在某些產品的生產過程中,原材料劣質、機器零件不合格或磨損、操作工人操作失誤等都會造成過程方差變大??梢允褂蒙蠁蝹嚷?lián)合的常規(guī)-累積和S2圖監(jiān)控過程方差向上的偏移,盡快發(fā)出警報,提高生產過程性能。
設過程質量特性X∶N(μ,σ2),樣本量大小為m。我們希望當過程方差σ2由σ02偏移到σ12(σ12=ρσ02,ρ>1為偏移倍數(shù))時,控制圖能盡快發(fā)出警報。為了檢驗過程方差向上的偏移,將常規(guī)控制圖上控制限(UCL)思想加入到累積和控制圖中,取當前的觀測值即樣本方差si2,檢驗si2是否大于Bσ02,其中σ02是已知的過程方差,B為上常規(guī)控制限系數(shù)。如果si2不大于Bσ02,就將其按慣例加入累積和,如果 si2大于 Bσ02,則發(fā)出狀態(tài)失控的信號。
上單側聯(lián)合的常規(guī)-累積和S2圖將0直限作為控制下界,0直限到控制限上界的距離為控制距H,0直限到警戒限的距離為警戒距K。橫軸表示樣本組序號m,縱軸表示樣本方差si2(i=1,2,3,…,m)與警戒距K的的累積和Cm(K)。設初始值為0,則有累積和:
下面計算上常規(guī)控制限系數(shù),計算過程中將系數(shù)記為B。
當過程上偏時,不發(fā)出失控信號的的隨機事件表示為S2 若用F(x)表示自由度為n-1的卡方分布的概率分布函數(shù),則發(fā)出失控信號的概率為: p=p(ρ)=1-F[(n-1)(B/ρ)] 平均運行鏈長即為L(ρ),對于錯誤報警率α=0.002,當ρ=1即過程方差處于受控狀態(tài)時,平均運行鏈長L(ρ)有 L(1)=500,計算 S2統(tǒng)計量的上常規(guī)控制限系數(shù)結果如表1: 表1 不同樣本容量的上常規(guī)控制限系數(shù)表 將上述求得的控制限系數(shù)作為上單側聯(lián)合的常規(guī)-累積和S2圖的上控制限系數(shù),即先檢驗每組的樣本的S2統(tǒng)計量是否大于Bσ02,若大于此值則發(fā)出報警信號,不大于此值則按上述標準計入累積和。 假定觀測值服從正態(tài)分布,且總體均值相同,即xi∶N(μ,σ2),i=1,2,3,…。用 f表示概率密度函數(shù),則兩個假設可表示為: H0:σ02~f(σ02),i=1,2,3,… H1:σi2~f(σ12),i=1,2,3,… 第m次抽樣,從而H1對H0的似然比為: 其中,K為上參考值,H為決策值。 可以定義上偏的聯(lián)合的常規(guī)-累積和s2圖的檢驗統(tǒng)計量為: zj=max{0,zj-1+sj2-K},j≥1 用下面的標準來判斷檢測過程是否正常: 1.檢驗 sj2是否大于 Bσ02,如果 sj2大于 Bσ02,則發(fā)出狀態(tài)失控的信號,如果sj2不大于Bσ02,就將其按慣例加入累積和; 2.當Cm(K)≤0時,認為過程方差波動正常,但此階段累積和計算中斷,接下一個階段的累積和計算; 3.當0 4.當Cm(K)≥h,認為過程方差向上偏移,發(fā)出報警信號。 采用隨機模擬方法計算平均運行鏈長,并繪制平均運行鏈長曲線與傳統(tǒng)的方差控制圖的比較: 從表2可以看出,當過程方差發(fā)生上偏時,上單側聯(lián)合的常規(guī)-累積和S2圖較傳統(tǒng)的方差控制圖有較短的平均鏈長,說明對于方差向上偏移的過程,上單側聯(lián)合的常規(guī)-累積和S2圖檢測效率優(yōu)于傳統(tǒng)的方差控制圖。 表2 n=10時過程上偏的聯(lián)合的常規(guī)-累積和S2圖平均鏈長表現(xiàn) 圖2 上單側常規(guī)-累積和S2圖與傳統(tǒng)的方差控制圖平均鏈長比較 圖中給出了n=10時偏移從1倍到3倍時上單側聯(lián)合的常規(guī)-累積和S2圖與傳統(tǒng)的方差控制圖平均鏈長比較,當方差偏移倍數(shù)在1.1倍到1.6倍間可以看出上單側聯(lián)合的常規(guī)-累積和S2圖具有優(yōu)越性,當方差偏移倍數(shù)大于2.5倍時,上單側常規(guī)-累積和S2圖幾乎立即報警,說明聯(lián)合的常規(guī)-累積和圖在檢測較小偏移時有較高靈敏性。 本文研究過程方差檢測的累積和方法,將累積和控制圖與常規(guī)控制限聯(lián)合使用,基于累積和方法,加入了常規(guī)控制限思想。利用隨機模擬方法計算聯(lián)合的常規(guī)-累積和S2圖的平均鏈長,并與傳統(tǒng)的方差控制圖的平均運行鏈長進行比較。結果發(fā)現(xiàn),聯(lián)合的常規(guī)-累積和S2圖在檢測向上偏移的方差過程具有更高靈敏性。因此,它的進一步研究是有實際價值的?!?/p>(三)上單側聯(lián)合的常規(guī)-累積和S2圖檢驗統(tǒng)計量
(四)平均運行鏈長表現(xiàn)
四、結論