俞 綱 (云南省昆明市第三中學(xué) 650599)

“學(xué)習(xí)起于思考，思考源于問(wèn)題”，教學(xué)中常有一些“特別”的學(xué)生提出一些“不合情境”的問(wèn)題，當(dāng)這些問(wèn)題比較偏或者完全不是平時(shí)的“教學(xué)套路”時(shí)，不少教師常以“考試絕對(duì)不會(huì)這樣考查”為由告誡學(xué)生放棄歪想．這可能會(huì)挫傷學(xué)生提問(wèn)思考的積極性，同時(shí)可能會(huì)固化學(xué)生思維，不利于其探究能力的提升．因此，對(duì)于學(xué)生的奇思異想，教師應(yīng)該認(rèn)真對(duì)待，仔細(xì)挖掘其中價(jià)值，對(duì)于有利于學(xué)生素質(zhì)培養(yǎng)的問(wèn)題，可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究．恰當(dāng)借助GeoGebra軟件強(qiáng)大的代數(shù)計(jì)算與幾何圖形處理能力，讓學(xué)生的探究活動(dòng)有效開(kāi)展，有利于促進(jìn)其核心素養(yǎng)的發(fā)展與綜合能力的提高．本文從學(xué)生對(duì)一個(gè)問(wèn)題的“歪想”出發(fā)，指導(dǎo)學(xué)生借助GeoGebra進(jìn)行了一次完整探究，從中收獲了一些感悟，與大家交流．

1 學(xué)生的“歪想”

在一個(gè)底面半徑為1、高為2的圓錐模具內(nèi)平放一個(gè)圓柱體，則能放下的圓柱的最大體積為多少？

分析 本題是作業(yè)中出現(xiàn)的一個(gè)中等難度的應(yīng)用題，考查立體幾何知識(shí)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用．通過(guò)作出軸截面，學(xué)生得出如下求解思路．

圖1

課后有幾位思維靈活的學(xué)生對(duì)題意提出了不同看法，若圓柱橫放在圓錐內(nèi)，該體積是否會(huì)更大？題設(shè)這樣一變，難度陡然增加，顯然這并不是出題者的本意，是對(duì)題目的誤解與“歪想”.用高中知識(shí)能否解決？筆者也猶豫了一番，考慮到應(yīng)該保護(hù)學(xué)生的積極性，同時(shí)這也許正是鍛煉學(xué)生自主探究能力的好契機(jī)，即使該問(wèn)題可能“超綱”，筆者也決定指導(dǎo)學(xué)生對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行探究．由于該問(wèn)題相對(duì)復(fù)雜，筆者建議學(xué)生使用GeoGebra助力探究．

2 探究的過(guò)程

首先通過(guò)GeoGebra制作一個(gè)動(dòng)態(tài)3D圖形(圖2).通過(guò)觀察思考，大家決定將此問(wèn)題分化為三個(gè)小問(wèn)題逐一研究解決．

圖2

問(wèn)題1設(shè)圓錐內(nèi)接圓柱的高為2m，表示出圓柱上下底所在的平面截圓錐所得的圖形并寫出方程．

問(wèn)題2在問(wèn)題1所表示的平面區(qū)域中放置一個(gè)面積最大的圓．

問(wèn)題3以m為自變量，寫出圓柱體積V關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求其最值．

2.1 問(wèn)題1的研究

圖3

2.2 問(wèn)題2的研究

在問(wèn)題1所得到的區(qū)域中如何放置面積最大的圓？學(xué)生以前沒(méi)有處理類似問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn).筆者指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)GeoGebra作示意圖觀察，通過(guò)把該圖形投影到xOy面內(nèi)研究，學(xué)生總結(jié)出該圓的性質(zhì)：與雙曲線相切，同時(shí)與直線x=2也相切，由圖形的對(duì)稱性可得該圓圓心必定在對(duì)稱軸x軸上．如何理解圓與雙曲線的相切呢？高中教材并沒(méi)有相應(yīng)的定義，學(xué)生通過(guò)討論提出類比曲線公切線的思想，即以雙曲線與圓在同一點(diǎn)處有公共切線的方法來(lái)研究，先用代數(shù)方法表示出結(jié)果，再用GeoGebra來(lái)驗(yàn)證這個(gè)方法是否正確．

(1)計(jì)算圓的半徑

圖4

(2)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

(3)完善方法

圖5

2.3 問(wèn)題3的研究

基于以上研究，設(shè)圓錐內(nèi)接圓柱的高為2m，其底面圓的半徑為r．

得到計(jì)算結(jié)果后，學(xué)生再次運(yùn)用GeoGebra繪制出圖形，并計(jì)算出圓柱體積，發(fā)現(xiàn)與所算答案是一致的．

3 探究的優(yōu)化

重新審視探究過(guò)程，筆者提出兩點(diǎn)建議讓學(xué)生再思考．建議一是對(duì)于問(wèn)題2的探究，即雙曲線與圓相切的計(jì)算，可以不用分類研究，直接運(yùn)用雙曲線上一點(diǎn)到圓心的距離最小值作為該圓半徑即可．學(xué)生按此思路，對(duì)問(wèn)題2的探究作了如下修改：

建議二是能否對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行一般性的研究．由于該問(wèn)題的一般性研究的代數(shù)計(jì)算過(guò)于復(fù)雜，學(xué)生最終沒(méi)能完成，但有了此題探究的鋪墊，筆者最終帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)該問(wèn)題的一般情況進(jìn)行了完整探究，由于篇幅原因，這里不再敘述．

4 總結(jié)與反思

此次探究使學(xué)生經(jīng)歷了質(zhì)疑問(wèn)題，提出并分析問(wèn)題，計(jì)算、檢驗(yàn)、改進(jìn)，最終解決問(wèn)題的完整過(guò)程，同時(shí)拓展研究出一般性的結(jié)論．雖然這個(gè)問(wèn)題本身不是自然建模形成的問(wèn)題，但學(xué)生解決它的過(guò)程與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》所提到數(shù)學(xué)建模的表現(xiàn)(發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，建立和求解模型，檢驗(yàn)和完善模型，分析和解決問(wèn)題)是一致的．若一開(kāi)始筆者受慣性思維左右，讓學(xué)生用現(xiàn)有知識(shí)理解題意并放棄“歪想”，將錯(cuò)失此次良機(jī)；若沒(méi)有GeoGebra幾何圖形繪制功能與代數(shù)計(jì)算功能的幫助，學(xué)生也難以深入探究與檢驗(yàn)．通過(guò)軟件的輔助，學(xué)生基本在所學(xué)知識(shí)范疇內(nèi)解決了這個(gè)問(wèn)題，這極大地激發(fā)了其自主探究的興趣，提升了實(shí)踐能力，增強(qiáng)了類比猜想意識(shí)和科學(xué)精神，對(duì)他們而言確實(shí)是一次完整且有益的探究體驗(yàn)．在著力培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的背景下，作為一線教師，我們一方面應(yīng)該增強(qiáng)自身的數(shù)學(xué)知識(shí)與信息技術(shù)處理能力，另一方面要睜開(kāi)“慧眼”，重視學(xué)生的各種問(wèn)題，并擅于從中尋找適合學(xué)情的探究問(wèn)題以引導(dǎo)學(xué)生探究，促進(jìn)其探究能力的提升與核心素養(yǎng)的發(fā)展．