周 振 (安徽省蒙城縣第一中學(xué) 233504)

1 真題分析與解答

(2017年新課標(biāo)全國(guó)I卷)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

1.1 題目分析

本題是典型的函數(shù)題，函數(shù)部分是貫穿整個(gè)中學(xué)時(shí)代的重要知識(shí)點(diǎn)．函數(shù)知識(shí)具有非常強(qiáng)的抽象性，難度系數(shù)也是千變?nèi)f化，有時(shí)只要稍微變動(dòng)其中的常數(shù)，就能使難度系數(shù)頓時(shí)“過山車”．同時(shí)也正因函數(shù)知識(shí)的多變性，相應(yīng)題目既可以是簡(jiǎn)單的選擇題，也可以是高考數(shù)學(xué)的壓軸題．

上述題目以壓軸題的設(shè)計(jì)來(lái)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，題目的主干非常簡(jiǎn)練，很容易使學(xué)生產(chǎn)生本題非常簡(jiǎn)單的錯(cuò)覺，甚至?xí)醒鄹呤值偷膽B(tài)度，但實(shí)則不然．參數(shù)在函數(shù)表達(dá)式中的存在直接將這道題目的難度系數(shù)拉升到了一個(gè)新的高度，雖然函數(shù)單調(diào)性的判斷并不算困難，但是在第(2)題中關(guān)于參數(shù)的取值范圍討論，學(xué)生需要經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)念}目分析和大量的計(jì)算才能得到正確的范圍．

關(guān)于第(1)問函數(shù)單調(diào)性的解答，我們可以結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分的相關(guān)知識(shí)，先求f(x)的導(dǎo)函數(shù)，然后令導(dǎo)函數(shù)等于0并得到關(guān)于未知數(shù)x的具體函數(shù)值，那么函數(shù)的單調(diào)性就一目了然．第(2)題的解答過程相對(duì)復(fù)雜一些，函數(shù)的零點(diǎn)不僅與導(dǎo)函數(shù)有著密切關(guān)系，參數(shù)值的具體變化也會(huì)影響整個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)分布．而且經(jīng)過第(1)題的鋪墊性計(jì)算，整個(gè)函數(shù)的增減性是已知的，所以這一結(jié)論在第(2)題中也要被有效利用起來(lái)．

1.2 解題方法研究

對(duì)題目進(jìn)行初步的分析后，有了明確的解答思路．具體的解答步驟可以參考以下三種.

方法1 (1)由于f(x)=ae2x+(a-2)ex-x，所以f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1．

當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=-2ex-1<0，所以f(x)在定義域R上為減函數(shù)．

(2)根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果，可以得知：

當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞減，所以此時(shí)的函數(shù)圖象與x軸最多只有一個(gè)交點(diǎn)，與題目要求相矛盾，故a≤0不成立．

方法2 (1)同方法1．

(2)①若a≤0時(shí)，由(1)可知f(x)最多只有一個(gè)零點(diǎn)．

圖1

若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則說明y=a與y=g(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖1得a的取值范圍是(0,1)．

2 一題多解的研究思考

2.1 優(yōu)化讀題和解題二者的順序

對(duì)于上述題目的分析與解答，不僅讓我們準(zhǔn)確定位題目的考查重點(diǎn)，更重要的是通過這道題目可以折射出教師對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)工作的思考和啟示．

教師要將側(cè)重點(diǎn)放在讀題和解題的順序上，引導(dǎo)學(xué)生不斷優(yōu)化個(gè)人的讀題和解題順序．很多學(xué)生拿到題目便立即動(dòng)手計(jì)算，這不是好的習(xí)慣．看到題目之后，首先要把題目仔細(xì)閱讀一遍，并針對(duì)題干的條件進(jìn)行詳細(xì)的分析和解讀，準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)題干給出的每個(gè)條件所反饋的基本信息以及知識(shí)點(diǎn)內(nèi)在的聯(lián)系．例如，第(2)題給出的已知條件是函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，說明函數(shù)圖象和x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這是題中隱含的已知條件．教師要培養(yǎng)學(xué)生先讀題、后分析的好習(xí)慣，在每次測(cè)驗(yàn)或課后練習(xí)中，建議學(xué)生花一至兩分鐘的時(shí)間閱讀題目并分析已知條件，當(dāng)學(xué)生適應(yīng)這種學(xué)習(xí)習(xí)慣后，那么對(duì)其數(shù)學(xué)能力的提升將有事半功倍的效果．

2.2 教學(xué)要秉持靈活性原則

雖然高中數(shù)學(xué)試題的答案是唯一的，但許多題目的解題方法卻是多樣的．?dāng)?shù)學(xué)教師在開展日常教學(xué)活動(dòng)的過程中，要秉持靈活教學(xué)的基本原則，尤其對(duì)于重點(diǎn)和難點(diǎn)題型要積極引導(dǎo)學(xué)生嘗試應(yīng)用多種方法、探索多種解決問題的思路．一題多解不僅可以幫助學(xué)生系統(tǒng)化地梳理課本上的數(shù)學(xué)知識(shí)，更有助于學(xué)生養(yǎng)成靈活的解題方式.當(dāng)一種解題思路受阻時(shí)，可以調(diào)整思路另尋他法，而不是鉆牛角尖或者一條道走到黑．這不僅能夠使學(xué)生順利通過“考關(guān)”，也是STEAM類型的人才培養(yǎng)關(guān)鍵所在，并有效地促進(jìn)素質(zhì)教育的理念在一線教學(xué)中扎根發(fā)芽．

例題的第二種解法更偏向于證明法，由已知條件函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，緊緊圍繞這一命題進(jìn)行分析與論證，同時(shí)解答過程中，注重融合反證法，培養(yǎng)學(xué)生利用逆向思維解決問題的能力．假設(shè)不存在點(diǎn)m，當(dāng)?shù)贸鼋Y(jié)論與題目已知條件相矛盾時(shí)，就能得到相反的結(jié)論．教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中要重視對(duì)學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)，通過靈活的教學(xué)方法，積極引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生多思考、多討論、多交流，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)．

3 結(jié)語(yǔ)

不管未來(lái)高考如何改革，教育教學(xué)評(píng)價(jià)體系如何變化，數(shù)學(xué)終究是支撐物理、化學(xué)等現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的一門重要的基礎(chǔ)學(xué)科．在解決數(shù)學(xué)問題、不斷探索解題路徑時(shí)，不僅可促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的鞏固與提高，更能對(duì)高中物理、化學(xué)等知識(shí)的理解與掌握起到很大的助推作用．隨著信息技術(shù)學(xué)科在高中學(xué)段逐漸獲得重視，學(xué)生的編程等計(jì)算機(jī)水平逐步提升，適時(shí)將GeoGebra等軟件融入課堂，能使抽象、復(fù)雜的函數(shù)問題可視化和動(dòng)態(tài)化，這不僅促進(jìn)學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)的理解，也為一題多解提供新路徑．作為一線教師，唯有樹立終身學(xué)習(xí)的理念，才能將授道解惑詮釋好，才能更好地引導(dǎo)學(xué)生多渠道、全方位地探索一題多解的路徑．