黃明輝，劉 君

（廣州城建職業(yè)學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室，廣東 廣州 510925）

自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)中眾多學(xué)科提出了大量有關(guān)時(shí)滯微分系統(tǒng)的問(wèn)題，如種群生態(tài)學(xué)[1]、傳染病學(xué)[2]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[3]等.其中，Lyapunov是研究微分系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題最常用的方法.但是Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造是相對(duì)困難的，尤其在高維系統(tǒng)[4]中.此外，在研究具有時(shí)滯的微分系統(tǒng)時(shí)，Lyapunov方法也會(huì)遇到很多困難，比如要求時(shí)滯有界[5]等.

近年來(lái)，許多學(xué)者應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)研究微分系統(tǒng)穩(wěn)定性.經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的探索研究，發(fā)現(xiàn)采用不動(dòng)點(diǎn)定理是處理穩(wěn)定性問(wèn)題的有效方法之一.作為不動(dòng)點(diǎn)定理的推廣，文獻(xiàn)[8-12]采用不動(dòng)點(diǎn)研究了Volterra積分微分系統(tǒng)、隨機(jī)積分微分系統(tǒng)和中立型時(shí)滯積分微分系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性.

受文獻(xiàn)[8-12]的啟發(fā)，本文繼續(xù)利用Banach不動(dòng)點(diǎn)定理研究一類(lèi)具有雙時(shí)滯的Volterra微分系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性.

1 一類(lèi)具有雙時(shí)滯的Volterra微分系統(tǒng)

考慮以下具有雙時(shí)滯的非線性中立型微分系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性

2 主要結(jié)果

定義1如果K(t)的任意一列都構(gòu)成系統(tǒng)的一組基本解，則稱(chēng)K(t)為該系統(tǒng)的基本解矩陣.且滿足K(0)=I，其中I是n階單位矩陣.

定義2若K(t)是系統(tǒng)的基本解矩陣，則稱(chēng)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣.同時(shí)，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣K(t,r)滿足Chapman-Kolmogorov等式：

引理1設(shè)K(t)是系統(tǒng)的基本解矩陣，則x是系統(tǒng)（1）的解當(dāng)且僅當(dāng)

證明設(shè)x是系統(tǒng)（1）的一個(gè)解，且Φ(t)是系統(tǒng)的基本解矩陣.系統(tǒng)（1）等價(jià)于

由式（3）、（4），得

式（5）兩邊同時(shí)對(duì)t從t0到t積分，可得

為了得出系統(tǒng)（1）零解穩(wěn)定的充分條件，假設(shè)如下條件成立：

（H1）設(shè)t∈R，x,y,z,w∈Rn，Q(t,x)、F(x)是關(guān)于x的全局Lipschitz連續(xù)函數(shù)，G(t,x,y)是關(guān)于x、y的全局Lipschitz連續(xù)函數(shù)，即存在正常數(shù)，使得

（H2）存在正常數(shù)k5，使得

（H3）t→∞，有Φ(t)→0且

（H4）存在常數(shù) 0α＞，使得

定理1假設(shè)條件（H1）至（H4）成立，則系統(tǒng)（1）的任意一個(gè)解x(t,t0,ψ)是有界的且漸近穩(wěn)定，其中ψ為足夠小的連續(xù)函數(shù).此外，零解在0t是穩(wěn)定的.

證 明令且，則Sψ是一個(gè)范數(shù)為的完備度量空間.

根據(jù)引理1定義映射H：

顯然H是連續(xù)的.對(duì)給定足夠小的連續(xù)函數(shù)ψ，且.由于，則存在正常數(shù)L，滿足.選擇適當(dāng)?shù)摩?，根?jù)條件（H1）、（H2）、（H4），可得

故Hφ有界.

下面證明當(dāng)t→∞時(shí)，(Hφ) (t)→0.由條件(H1）至（H4），易證明當(dāng)t→∞時(shí)，式（7）的前3項(xiàng)均趨于0，即和

對(duì)給定的ε＞0，存在t1＞t0，使得當(dāng)t≥t1時(shí)，有由條件（H3）可得：存在t2＞t1，使得當(dāng)t≥t2時(shí)，有.因此，當(dāng)t≥t2時(shí)，式（7）的最后一項(xiàng)

因此，當(dāng)t→∞時(shí)，.設(shè)任意，有

因此，H是一個(gè)壓縮系數(shù)為α的壓縮映射.由Banach不動(dòng)點(diǎn)定理得，H在空間Sψ上存在滿足系統(tǒng)（1）的唯一不動(dòng)點(diǎn)，此不動(dòng)點(diǎn)是有界、漸近穩(wěn)定的.此外，用ε代替L，即可得出系統(tǒng)（1）的零解是穩(wěn)定的.

證畢.