魏思瑤，郭嗣琮,2

（1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 阜新 123000；2.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 智能工程與數(shù)學(xué)研究院，遼寧 阜新 123000）

0 引言

在模糊多屬性決策問題中，模糊數(shù)的比較與排序是一個重要的問題.由于模糊數(shù)具有不確定性，模糊數(shù)的排序問題也變得比較繁雜，至今人們已經(jīng)提出很多種排序的原則與方法.JAIN R[1]首次在解決模糊決策問題時遇到模糊量的排序問題并提出一種排序方法.BASS S M[2]等定義了模糊優(yōu)先關(guān)系，峰值最大的模糊集為最佳選擇，但其最大的缺陷為分辨力不夠，有時會導(dǎo)致與直覺相反的結(jié)論.YAGER R R[3-4]分別定義了F1、F3模糊集效用函數(shù)，但這兩個指標只考慮了模糊集的中心趨向，而沒有考慮模糊集的擴散程度.LI R J[5]等把模糊集的排序方法劃分為可能性密度型和可能性質(zhì)量型兩個部分，并借助于模糊事件概率測度的概念定義了模糊集的均值和標準偏差，在此基礎(chǔ)上提出模糊集綜合排序指標.BUCKLEY J[6]提出基于α-截集的排序方法，但此方法只適用于模糊集之間互不重疊的情況.SAADE J J[7]等將模糊極大集分解為左極大集和右極大集兩部分，與傳統(tǒng)的決策模式相對應(yīng)，該方法考慮了三種不同的決策判據(jù)：樂觀型、悲觀型和綜合型，但決策判據(jù)也是由人類主觀決定的.CHENG C H[8]提出一種基于質(zhì)心指標的模糊數(shù)排序方法，而對稱中心相同的兩個對稱模糊數(shù)不能作出合理判斷.

上述研究中的排序方法或多或少存在著不足，因為模糊數(shù)具有不確定性，通常任何一種排序的結(jié)論都會伴隨著錯誤的風(fēng)險.因而，本文提出一種基于風(fēng)險最小化的模糊數(shù)排序方法，該方法有效利用模糊數(shù)的分布特征信息，不僅僅給出模糊數(shù)組的排序，同時也指出了該排序結(jié)論的風(fēng)險度與可信度.

1 模糊數(shù)排序的風(fēng)險問題

對于圖1（a）形式有a2

圖1 三種模糊數(shù)分布形式Fig.1 three distribution forms of fuzzy numbers

從上述的分析可以看出，在模糊數(shù)比較與排序中，如果兩個模糊數(shù)、的承集不相交，則命題>和>必有一個恒為真；當(dāng)兩個模糊數(shù)的承集相交時，在區(qū)間∩上，無論是命題>或者>都存在著風(fēng)險.

在模糊多屬性決策中，經(jīng)常會面臨結(jié)論為模糊數(shù)的排序問題，如果多個模糊數(shù)兩兩不相交，則排序結(jié)果很容易得出.但是，當(dāng)模糊數(shù)相交時，任何一種排序結(jié)果都存在著誤判的風(fēng)險.因此，引出以下問題：一是如何模糊數(shù)排序風(fēng)險計算，二是如何基于風(fēng)險對模糊數(shù)進行排序并使之風(fēng)險達到最小.

因此，本文針對模糊數(shù)排序中的不確定性，首先定義基于模糊分布的排序風(fēng)險，并給出了排序風(fēng)險的計算方法，在此基礎(chǔ)上給出了基于風(fēng)險最小化的模糊數(shù)排序法，該方法可運用于解決模糊多屬性決策的方案排序問題.

2 兩個模糊數(shù)的排序風(fēng)險

定義 1設(shè)隸屬函數(shù)分別為可以生成2R上的二維模糊集定義其隸屬函數(shù)為

用實數(shù)x和y分別表示模糊數(shù)的可能取值，因此，模糊數(shù)所有可能取值(x,y)為圖2中的矩形域的區(qū)域

圖2 模糊數(shù)所有可能取值區(qū)域Fig.2 all possible values of fuzzy numbers

其面積為M= (a2?a1) ?(b2?b1).

直線y=x將矩形域分成 2個部分.若模糊數(shù)和的實際取值(x,y)落于區(qū)域D1中，命題為真（或命題為假）；若取值(x,y)落于區(qū)域D2中，命題為假（或命題為真）.因此，在模糊數(shù)具有交集的情況下，無論給定模糊數(shù)的哪一種排序，都會有誤判的可能性存在.

顯然，如果模糊數(shù)在中以及在中取值都是等可能的，則命題“”會產(chǎn)生錯誤的風(fēng)險取決于區(qū)域D1的面積占區(qū)域[a1,a2]×[b1,b2]的面積比例；命題“”會產(chǎn)生錯誤的風(fēng)險取決于區(qū)域D2的面積占區(qū)域[a1,a2]×[b1,b2]的面積比例.如果用M(D)表示平面上區(qū)域D的面積（測度），α為一個序關(guān)系命題，用ρ(α)表示誤判命題α的可能性，對于上述情況，有

定義 2設(shè)模糊數(shù)的隸屬函數(shù)為μA~(x)，D為任意的實數(shù)區(qū)間，稱

為模糊數(shù)在區(qū)域D上的可能性測度.

由定義2易看出，模糊數(shù)在區(qū)域D上的可能性測度就是概率測度.

定 義 3設(shè)和分別為模糊數(shù)的所有可能取值，對于給定的排序命題“”，其產(chǎn)生錯誤的風(fēng)險

由式（10）和式（11）亦可看出

容易證明，模糊數(shù)排序風(fēng)險度具有如下基本性質(zhì)：

（1）ρ∈ [ 0,1]；

基于上述的討論，可以提出基于風(fēng)險度最小化的兩個模糊數(shù)排序原則：

定 義 4稱為 排 序的可信度.

3 多個模糊數(shù)的風(fēng)險排序

定義5設(shè)j= 1 ,2,… ,n)表示兩兩模糊數(shù)排序命題的風(fēng)險度，稱矩陣P=[ρij]n×n為模糊數(shù)組的風(fēng)險排序矩陣.

4 算例

圖3 三角模糊數(shù)的隸屬函數(shù)Fig.3 membership function of triangular fuzzy numbers

按照本文提出的方法，首先聯(lián)合模糊測度構(gòu)建

模糊風(fēng)險定序判定矩陣為

計算風(fēng)險序值，得Q1=0.5+0.530 9+0.747 6=1.778 5，Q2=1.679 4，Q3=1.042 1，則有Q3

所以，根據(jù)風(fēng)險最小原則得到模糊數(shù)的排序為

由式（15），其排序的綜合風(fēng)險度為

為說明本文的方法得出了合理的排序，在本節(jié)中，使用不同的方法對模糊數(shù)進行排序.

盡管有許多排序方法，但在任何情況下都沒有人能夠憑直覺對模糊數(shù)進行一致的排序.在表1中，省略計算過程直接給出了獲得的結(jié)果.從表1可知，因為表格中方法的一些局限性，文獻[15]方法的排序結(jié)果為以及文獻[12]方法的排序結(jié)果為與本文的方法不用，其他的方法與本文方法的排序結(jié)果都相同，排序結(jié)果均為在算例中獲得的結(jié)果證明了本文方法的有效性.正如在算例中所看到的，所提出的方法的主要優(yōu)點是它可以提供正確的模糊數(shù)的排序風(fēng)險，并且很容易計算.

表1 多種排序方法比較結(jié)果Tab.1 compare results by multiple sorting methods

5 結(jié)論

（1）本文方法重要意義在于對排序結(jié)論客觀存在的風(fēng)險進行了度量，這對于不確定性決策問題有著較大的實用價值和應(yīng)用價值.

（2）基于風(fēng)險的模糊數(shù)排序方法同時也適用于各種其他形式模糊數(shù)的排序，例如，梯形模糊數(shù)、二型模糊數(shù)等，為研究模糊決策中模糊數(shù)排序問題應(yīng)用領(lǐng)域開拓了新思路.