張曉堯，王 濤，王 波，朱愛東

(北京理工大學(xué)自動化學(xué)院，北京 100081)

引言

并聯(lián)平移機(jī)械手由多條運(yùn)動鏈組成，具有高剛性、高精度和高承載力的優(yōu)點[1-3]，因其結(jié)構(gòu)復(fù)雜，非線性較強(qiáng)，相關(guān)控制策略研究也較為復(fù)雜。SUN等[4]使用交叉耦合控制來改善并聯(lián)機(jī)械手運(yùn)動的同步。SHAN Xianlei等[5]研究了基于機(jī)械誤差和摩擦補(bǔ)償?shù)目刂撇呗?，與增廣PD控制相比，運(yùn)動控制精度得到了提升。 YANG Xu等[6]研究了一種用于并聯(lián)機(jī)器人軌跡跟蹤控制的連續(xù)摩擦前饋滑模控制器，該控制器具有比滑?？刂破鞲玫乃矐B(tài)和穩(wěn)態(tài)跟蹤性能。自抗擾控制器可對外部擾動進(jìn)行估計，對非線性系統(tǒng)的控制具有一定的魯棒性及抗擾動能力，在液壓控制和氣動控制領(lǐng)域受到廣泛關(guān)注[7-9]。

氣動三自由度并聯(lián)平移機(jī)械手的末端動平臺在輔助臂約束下，僅可沿x,y,z方向進(jìn)行平移運(yùn)動,不具有旋轉(zhuǎn)自由度。本研究針對動平臺的三維空間位置控制，提出一種線性自抗擾協(xié)調(diào)控制方法。線性自抗擾控制器用于改善驅(qū)動臂的跟蹤性能，協(xié)調(diào)控制器用于增加氣動并聯(lián)平移機(jī)械手3個驅(qū)動臂的運(yùn)動協(xié)調(diào)性，并進(jìn)一步減少定位誤差。

1 氣動并聯(lián)平移機(jī)械手

1.1 機(jī)械結(jié)構(gòu)

三自由度氣動并聯(lián)平移機(jī)械手的結(jié)構(gòu)如圖1所示，該機(jī)械手由動平臺、固定基座和3組相同的輔助臂和驅(qū)動臂組成。每條驅(qū)動臂由上球形鉸鏈、驅(qū)動缸(SMC CE1B12-150Z)和下球形鉸鏈組成，負(fù)責(zé)驅(qū)動機(jī)械手運(yùn)動；每條輔助臂由直線導(dǎo)軌、花鍵軸和2個軸承組成，負(fù)責(zé)限制機(jī)械手的冗余自由度。 結(jié)構(gòu)滿足以下幾何條件：

(1) 第i個輔助臂的R副(ri)和C副 (ci)必須平行于同一矢量si,i=1,2,3；

(2) 輔助臂的方向應(yīng)滿足當(dāng)i≠j時，si≠sj,i,j=1,2,3。

1.直線導(dǎo)軌 2.上軸承 3.花鍵軸 4.下軸承 5.動平臺6.固定平臺 7.上球鉸 8.氣缸 9.下球鉸 10.工作臺圖1 氣動并聯(lián)平移機(jī)械手組成結(jié)構(gòu)

1.2 運(yùn)動學(xué)分析

圖2 驅(qū)動臂坐標(biāo)系幾何圖

bi=p+O′bi

(1)

1) 運(yùn)動學(xué)雅可比矩陣

根據(jù)如圖2所示，可將第i條驅(qū)動臂的矢量環(huán)等式表示如下：

(2)

將式(2)對時間求導(dǎo)，可得下式：

(3)

(4)

式(4)對3個驅(qū)動臂均成立, 將3個方程寫為矩陣形式：

(5)

其中：

(6)

Jq=I3×3

(7)

(8)

雅可比矩陣中各元素可易由下式推出，根據(jù)機(jī)械手的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和式(1),ai,bi可表示如下：

ai=[acφiasφi0]T

(9)

bi=[x+bcφiy+bsφiz]T

(10)

式中，c —— 余弦

s —— 正弦

(11)

故雅可比矩陣中元素jij表示如下:

(12)

(13)

(14)

其中，e=a-b。

看到這樣尷尬的處境后，楚艷便主動擔(dān)起了讓傳統(tǒng)之美重新綻放光彩的重?fù)?dān)。讀研究生時，她師從著名設(shè)計師李克瑜，“老師經(jīng)常耳提面命，要從中國傳統(tǒng)文化中尋找靈感，去學(xué)習(xí)積淀，把傳統(tǒng)文化中最美的精髓用現(xiàn)代審美做創(chuàng)新，讓更多人感受中國文化的美！”畢業(yè)時，楚艷提交的《東方風(fēng)格服飾設(shè)計再創(chuàng)造》碩士論文，也是如今她主推新中式服裝的源頭。

2) 運(yùn)動學(xué)位置逆解

給定動平臺位置和方向得出驅(qū)動器位移變量即為運(yùn)動學(xué)位置逆解。參考式(1)和式(2),可得下式：

(15)

將式(15)與自身做點乘再將式(9)和式(10)帶入結(jié)果可得：

(li0+li)2=(x-ecφi)2+(y-esφi)2+z2

(16)

求解式(16)可得到運(yùn)動學(xué)位置逆解，表示如下：

(17)

3) 運(yùn)動學(xué)位置正解

給定一組驅(qū)動器輸入計算動平臺的位置和方向，即為運(yùn)動學(xué)位置正解。根據(jù)式(16)寫出另外2組方程, 得出關(guān)于未知變量x,y,z方程組。分別將i=2,3時的式(16)減去i=1時的式(16)可得下式：

(l20+l2)2-(l10+l1)2

=(x-ecφ2)2+(y-esφ2)2-

(x-ecφ1)2-(y-esφ1)2

(18)

(l30+l3)2-(l10+l1)2

=(x-ecφ3)2+(y-esφ3)2-

(x-ecφ1)2-(y-esφ1)2

(19)

化簡式(18)、式(19)可得：

2e(cφ1-cφ2)x+2e(sφ1-sφ2)y-

(l20+l2)2+(l10+l1)2=0

(20)

2e(cφ1-cφ3)x+2e(sφ1-sφ3)y-

(l30+l3)2+(l10+l1)2=0

(21)

由于cφ2=cφ3,式(21)減去式(20)可得：

(22)

將式(22)帶入式(20),可得x的解：

由于x,y均已求解,z可由以下方程確定：

(24)

依據(jù)固定平臺上的Oxyz坐標(biāo)系,選擇z解中的負(fù)值。

2 機(jī)械手控制器設(shè)計

設(shè)計線性自抗擾協(xié)調(diào)控制器(LADRCC)對氣動并聯(lián)平移機(jī)械手進(jìn)行控制，其由兩部分組成：一個是線性自抗擾控制器(LADRC)，用于改善單個驅(qū)動臂的跟蹤效果；另一個是協(xié)調(diào)控制器，用于增加3個驅(qū)動臂的運(yùn)動協(xié)調(diào)性，以減少動平臺的空間定位誤差。 控制器的結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。

2.1 線性自抗擾控制器

針對氣動并聯(lián)平移機(jī)器人每個驅(qū)動臂都包含的單個氣缸，設(shè)計線性自抗擾控制器進(jìn)行控制，其由線性微分跟蹤器(LTD)、線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(LESO) 和線性狀態(tài)誤差反饋控制律組成。線性自抗擾控制器的方框圖如圖4所示。

圖3 氣動并聯(lián)平移機(jī)械手控制方框圖

圖4 線性自抗擾控制器方框圖

根據(jù)文獻(xiàn)[10],氣缸模型可被簡化如下：

(25)

(26)

1) 線性跟蹤微分器

根據(jù)文獻(xiàn)[11]，線性跟蹤微分器設(shè)計如下：

(27)

式中，v0—— 給定信號

v1——v0跟蹤信號

v2——v1近似微分信號

r—— 可調(diào)參數(shù)

2) 線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器

在氣缸系統(tǒng)的狀態(tài)方程中，未知的非線性部分是有界且可微的，可視為擴(kuò)張狀態(tài)x3，即f(x1,x2)=x3，因此系統(tǒng)的狀態(tài)方程表示如下：

(28)

線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的構(gòu)造如下[12]：

(29)

式中，β1,β2,β3為3個可調(diào)參數(shù)，按照線性系統(tǒng)狀態(tài)反饋理論，采用極點配置的方法整定其為:β1=3ω,β2=3ω2,β3=ω3；z1和z2實時跟蹤系統(tǒng)狀態(tài)x1和x2，z3實時跟蹤系統(tǒng)總擾動。

3) 線性狀態(tài)誤差反饋控制

通過狀態(tài)變量的線性組合可以生成以下控制量:

(30)

式中，e1=v1-z1，e2=v2-z2；k1和k2為2個可調(diào)參數(shù)；u1為生成的控制量。

2.2 協(xié)調(diào)控制器

氣動并聯(lián)平移機(jī)械手的3個驅(qū)動臂由氣缸組成。根據(jù)線性驅(qū)動的結(jié)構(gòu)特點，第i個驅(qū)動臂的同步誤差定義如下：

(31)

對每個驅(qū)動臂的同步誤差進(jìn)行控制，即可增加氣動機(jī)器人空間運(yùn)動的協(xié)調(diào)性。同步誤差定義的示意圖如圖5所示。

圖5 同步誤差示意圖

采用如下所示PI控制器作為協(xié)調(diào)控制器:

(32)

3 實驗結(jié)果

氣動并聯(lián)平移機(jī)械手的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 機(jī)械手主要結(jié)構(gòu)參數(shù) mm

在實驗中，將氣動并聯(lián)平移機(jī)械手動平臺的軌跡設(shè)置為空間螺旋軌跡，軌跡方程如下式：

(33)

氣源壓力ps設(shè)為0.5 MPa,2個控制器參數(shù)設(shè)置為:r1=200,ω=150,k1=118,k2=13,b0=1600,kp=33,ki=0.06。

圖6～圖8為使用自抗擾協(xié)調(diào)控制策略與PID控制策略下3個驅(qū)動臂的跟蹤效果,縱坐標(biāo)為驅(qū)動臂位移s。為進(jìn)一步比較跟蹤精度，以3個驅(qū)動臂跟蹤誤差的均方根為測量指標(biāo)，定義如下:

(34)

圖6 驅(qū)動臂1跟蹤效果

圖7 驅(qū)動臂2跟蹤效果

圖8 驅(qū)動臂3跟蹤效果

如圖9所示,PID控制器誤差約為2.1 mm，自抗擾協(xié)調(diào)控制器跟蹤誤差約為1.2 mm，有效地提高了氣動并聯(lián)平移機(jī)械手的軌跡跟蹤精度。

4 結(jié)論

本研究針對氣動并聯(lián)平移機(jī)械手，提出一種線性自抗擾協(xié)調(diào)控制方法。 將線性自抗擾控制應(yīng)用于氣動并聯(lián)平移機(jī)械手的單個驅(qū)動臂，并根據(jù)機(jī)械手的結(jié)構(gòu)特點，設(shè)計基于驅(qū)動臂跟蹤誤差分解的協(xié)調(diào)控制器，以增加運(yùn)動的協(xié)調(diào)性。 基于所設(shè)計的控制策略，對氣動并聯(lián)平移機(jī)械手進(jìn)行了空間軌跡跟蹤實驗，與PID控制相比，提出的線性自抗擾協(xié)調(diào)控制有效地提高了氣動并聯(lián)平移機(jī)械手的軌跡跟蹤精度。

圖9 PID控制和LADRCC控制均方根誤差對比