李瀟飛,唐意東

(1.空軍工程大學(xué) 航空工程學(xué)院，陜西 西安 710038；2.中國(guó)人民解放軍95607部隊(duì)，四川 成都 610066)

0 引言

近年來(lái)，隨著窄帶濾光技術(shù)和成像光譜技術(shù)的快速發(fā)展[1-2]，光譜成像已經(jīng)成為發(fā)展天基預(yù)警衛(wèi)星新型探測(cè)手段的重要方向[3]。光譜圖像包含探測(cè)場(chǎng)景的空間信息和光譜信息，具有“圖譜合一”的特點(diǎn)[4]，能夠提供豐富詳細(xì)的物質(zhì)類(lèi)別信息，能有效提升天基預(yù)警衛(wèi)星的探測(cè)性能，但其龐大的數(shù)據(jù)量也往往給數(shù)據(jù)采集和實(shí)時(shí)處理帶來(lái)巨大挑戰(zhàn)[5]。

面對(duì)不斷提高的空間分辨率和光譜分辨率，基于壓縮感知理論[6-8]的光譜圖像壓縮采樣和解碼重構(gòu)，為更加高效地實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)采集提供了有效途徑。然而，在信號(hào)檢測(cè)、分類(lèi)、估計(jì)和濾波等統(tǒng)計(jì)推理任務(wù)中，數(shù)據(jù)采樣的最終目的是進(jìn)行檢測(cè)或分類(lèi)決策，信號(hào)的精確重構(gòu)有時(shí)十分困難且并非必要，因此可以考慮直接基于壓縮采樣數(shù)據(jù)開(kāi)展相關(guān)應(yīng)用[9-16]，以進(jìn)一步提高數(shù)據(jù)處理效率。此時(shí)，由于壓縮采樣矩陣滿足約束等距條件[17]，信號(hào)被投影到低維空間，不同樣本之間的距離減小，加性噪聲的干擾被放大，壓縮采樣數(shù)據(jù)的應(yīng)用精度將受到極大影響。

針對(duì)這一問(wèn)題，本文將壓縮信號(hào)處理(compressive signal processing，CSP)理論[18]引入光譜圖像目標(biāo)檢測(cè)，根據(jù)先驗(yàn)稀疏模型中待測(cè)信號(hào)能量分布較集中，噪聲能量分布較分散的特點(diǎn)，利用待測(cè)信號(hào)稀疏表示子空間構(gòu)造壓縮采樣矩陣，提出一種基于稀疏模型先驗(yàn)知識(shí)的壓縮采樣檢測(cè)方法，并對(duì)其檢測(cè)性能進(jìn)行了分析。

1 壓縮采樣目標(biāo)檢測(cè)模型

根據(jù)傳統(tǒng)Neyman-Pearson檢測(cè)模型[19]，基于壓縮采樣的目標(biāo)檢測(cè)模型為

(1)

(2)

虛警概率一定時(shí)，將式(2)代入檢測(cè)概率最大的似然比檢驗(yàn)并簡(jiǎn)化可得

(3)

定義基于壓縮采樣數(shù)據(jù)的最大似然檢測(cè)器為

t=yT(ΦΦT)-1Φs，

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

式中:c為較小的正數(shù)。結(jié)合式(8),(10)，可以得到檢測(cè)概率的理論邊界滿足：

(11)

引入信噪比定義，可以將式(11)寫(xiě)作

(12)

由于δ值通常較小，因此有

(13)

(14)

(15)

由式(15)可以看出，當(dāng)信號(hào)長(zhǎng)度L和信噪比SNR一定時(shí)，隨著測(cè)量數(shù)目K的增多，檢測(cè)概率呈指數(shù)增長(zhǎng)。

2 光譜維非重構(gòu)壓縮采樣目標(biāo)檢測(cè)

2.1 光譜維壓縮采樣目標(biāo)檢測(cè)模型

在光譜線性混合模型下，可以將基于光譜維壓縮采樣的目標(biāo)檢測(cè)模型描述為

(16)

為抑制背景光譜的影響，采用局部正交子空間投影法將壓縮采樣信號(hào)投影到干擾信號(hào)Bβ的正交子空間。令Ω=ΦB，構(gòu)造如下正交投影矩陣

(17)

式中:Ω#=(ΩTΩ)-1ΩT為矩陣Ω的廣義逆。假設(shè)Ω的奇異值分解為Ω=UΣVT，其中U為矩陣ΩTΩ的特征向量矩陣，即ΩΩT=UΣΣTUT，而V為矩陣ΩTΩ的特征向量矩陣，即ΩTΩ=VΣTΣVT。則背景正交投影矩陣為

I-UΣVT(VΣTΣVT)-1VΣTUT=

I-UUT,

(18)

背景抑制后，檢測(cè)模型(16)轉(zhuǎn)化為

(19)

(20)

將檢測(cè)模型寫(xiě)作

(21)

進(jìn)而可以得到恒虛警條件下的檢測(cè)概率為

(22)

式中:

ΦT(ΦΦT)-1Φ.

(23)

(24)

2.2 基于稀疏模型先驗(yàn)條件的壓縮采樣目標(biāo)檢測(cè)

模型(19)為光譜壓縮采樣目標(biāo)檢測(cè)提供了一般性方法，盡管利用正交投影矩陣對(duì)背景光譜進(jìn)行了抑制，但由于并未針對(duì)待測(cè)信號(hào)設(shè)計(jì)采樣矩陣，限制了有效信息的獲取，導(dǎo)致其檢測(cè)性能低于傳統(tǒng)采樣方式，且受目標(biāo)端元豐度影響較大。為此，本文在模型(19)的基礎(chǔ)上，利用待測(cè)信號(hào)的稀疏表示子空間改進(jìn)壓縮采樣矩陣，提出一種基于稀疏模型先驗(yàn)知識(shí)的壓縮采樣檢測(cè)方法，并對(duì)其檢測(cè)性能進(jìn)行分析。

假設(shè)光譜向量z是變換域Ψ∈RL×L內(nèi)的k稀疏信號(hào)，從Ψ中選取相應(yīng)的k列原子H∈RL×k,k

Φ=G(HTH)-1HT,

(25)

式中，G∈RK×k,K≤k為獨(dú)立同分布隨機(jī)矩陣，可以得到

(26)

當(dāng)Ψ為規(guī)范正交基時(shí)，有HTH=I和zTz=θTHTHθ=θTθ。由于隨機(jī)矩陣G滿足GTG≈KIk和GGT≈kIK，因此有

(27)

采用局部正交子空間投影法進(jìn)行背景抑制，將式(27)代入式(22)，可得檢測(cè)概率PD滿足:

(28)

對(duì)比式(24),(28)可以發(fā)現(xiàn)，檢測(cè)性能受到光譜混合模型中目標(biāo)豐度的影響，目標(biāo)豐度越大，檢測(cè)性能越好；由于k

3 實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)1

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為合成信號(hào)，給定一組信號(hào)x∈RL,L=1 030，其中20%為噪聲信號(hào)，即x=n，80%為加噪光譜信號(hào)x=s+n。實(shí)驗(yàn)中，采用隨機(jī)高斯矩陣作為采樣矩陣，以接收機(jī)操作特性(receive operating characteristic，ROC)曲線衡量檢測(cè)性能。為減小采樣矩陣的隨機(jī)性對(duì)檢測(cè)結(jié)果的影響，取100次重復(fù)實(shí)驗(yàn)的平均檢測(cè)概率作為最終結(jié)果。

圖1給出了不考慮光譜混合，信噪比SNR=20 dB，采樣率K/L=0.05時(shí)的實(shí)際檢測(cè)性能和根據(jù)式(13)得到的預(yù)測(cè)性能?？梢钥吹?，不考慮光譜混合時(shí)，實(shí)際檢測(cè)性能的上界、下界與預(yù)測(cè)性能存在較大差異，但其平均值與預(yù)測(cè)性能十分吻合，重復(fù)實(shí)驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)誤差在10-4～0.011范圍。

圖1 無(wú)光譜混合時(shí)實(shí)際ROC曲線與預(yù)測(cè)ROC曲線Fig.1 Actual ROC and predicted ROC curve without spectral mixing

考慮光譜混合時(shí)，給定雜波背景為單一背景光譜，即背景樣本B各列向量相同。給定目標(biāo)端元豐度ρ=0.5，信噪比SNR=20 dB，采樣率K/L=0.4，利用背景正交投影矩陣對(duì)采樣矩陣進(jìn)行投影，得到圖2所示的檢測(cè)性能和根據(jù)式(24)得到的預(yù)測(cè)性能。對(duì)比圖2和圖1可以看出，盡管采樣率從0.05增大到0.4，但由于存在光譜混合，目標(biāo)端元豐度減小，其檢測(cè)性能反而明顯下降；同時(shí)，雖然實(shí)際檢測(cè)性能與預(yù)測(cè)性能基本吻合，但重復(fù)實(shí)驗(yàn)誤差明顯增大，其標(biāo)準(zhǔn)誤差增大至0.002～0.097范圍。這說(shuō)明光譜混合對(duì)于壓縮采樣檢測(cè)影響較大，不僅會(huì)降低檢測(cè)性能，還會(huì)削弱壓縮采樣檢測(cè)算法的魯棒性。

圖2 有光譜混合時(shí)實(shí)際ROC曲線與預(yù)測(cè)ROC曲線Fig.2 Actual detection and prediction of ROC curves with spectral mixing

當(dāng)具備待測(cè)信號(hào)先驗(yàn)知識(shí)時(shí)，給定待測(cè)信號(hào)訓(xùn)練樣本s∈RL,L=1 030，基于離散余弦變換矩陣(discrete cosine transform，DCT)和OMP算法估計(jì)其稀疏性，得到如圖3所示的稀疏模型。其中，圖3a)為DCT變換矩陣；圖3c)為稀疏表示系數(shù)，稀疏度k=483，此時(shí)L/k=2；圖3b)為對(duì)應(yīng)的稀疏表示子空間；圖3d)為重構(gòu)結(jié)果，其均方根誤差為4.487×10-4。

圖3 稀疏模型Fig.3 Sparse model

利用稀疏表示子空間構(gòu)造壓縮采樣矩陣，得到稀疏模型先驗(yàn)條件下的壓縮采樣檢測(cè)結(jié)果，如圖4所示。對(duì)比圖2和圖4可以看出，改進(jìn)壓縮采樣矩陣后，檢測(cè)性能顯著提升，其標(biāo)準(zhǔn)誤差也減小至0.001～0.094范圍。這說(shuō)明，利用待測(cè)信號(hào)的稀疏模型先驗(yàn)知識(shí)構(gòu)造壓縮采樣矩陣，有助于提升壓縮采樣檢測(cè)性能，增強(qiáng)其魯棒性。

圖4 稀疏模型先驗(yàn)條件下的實(shí)際ROC曲線與 預(yù)測(cè)ROC曲線Fig.4 Actual detection and prediction of ROC curves with prior sparse model

為直觀比較不同情況的檢測(cè)性能，并分析采樣率對(duì)檢測(cè)性能的影響，以ROC曲線下面積(area under curve，AUC)為性能指標(biāo)，取目標(biāo)端元豐度為0.5，信噪比為20 dB，稀疏度為483，得到3種情況下壓縮采樣檢測(cè)性能隨采樣率變化的關(guān)系曲線，如圖5所示。

圖5 不同情況下的AUC值與采樣率的關(guān)系曲線Fig.5 Relation curve between AUC and sampling rate under different conditions

從圖5可以看出，不考慮光譜混合時(shí)，檢測(cè)性能隨著采樣率的增大而逐漸提升，在采樣率增大到0.15時(shí)達(dá)到峰值，而后保持穩(wěn)定；另2種情況下，檢測(cè)性能則始終隨著采樣率的增大而逐漸提升，但其增長(zhǎng)速度隨著采樣率的增大逐漸放緩，分別在K/L>0.5和K/L=0.4時(shí)，達(dá)到較高水平并保持穩(wěn)定。比較3種情況的檢測(cè)性能發(fā)現(xiàn)，考慮光譜混合時(shí)，受背景雜波的影響，傳統(tǒng)壓縮采樣檢測(cè)的性能明顯下降，特別是在采樣率較低時(shí)，其檢測(cè)性能遠(yuǎn)低于無(wú)光譜混合情況下的檢測(cè)性能。而利用待測(cè)信號(hào)的稀疏模型先驗(yàn)知識(shí)改進(jìn)壓縮采樣矩陣后，其檢測(cè)性能顯著提升。同時(shí)，隨著采樣率的增大，3種情況檢測(cè)性能之間的差距越來(lái)越小，特別是當(dāng)采樣率大于0.4后，稀疏模型先驗(yàn)條件下的壓縮采樣檢測(cè)性能十分接近無(wú)光譜混合時(shí)的檢測(cè)性能，光譜混合對(duì)壓縮采樣檢測(cè)的影響被極大削弱。由上述分析可知，在光譜圖像壓縮采樣目標(biāo)檢測(cè)中，進(jìn)行背景抑制和待測(cè)信號(hào)稀疏特性分析，能夠有效提升算法性能。

3.2 實(shí)驗(yàn)2

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為真實(shí)光譜圖像AVIRIS Indiana Pines[21]，將其中占比較少的無(wú)線電發(fā)射塔作為待檢測(cè)目標(biāo)像元，其真實(shí)分布如圖6所示。

圖6 真實(shí)光譜圖像Fig.6 Indiana Pines

隨機(jī)選擇訓(xùn)練樣本，利用DCT矩陣和OMP算法對(duì)其稀疏表示模型進(jìn)行估計(jì)，得到其稀疏度為136，光譜重構(gòu)均方根誤差為9.99×10-4。實(shí)驗(yàn)2中，分別采用單位采樣矩陣、傳統(tǒng)隨機(jī)壓縮采樣矩陣和經(jīng)稀疏表示子空間改進(jìn)后的壓縮采樣矩陣進(jìn)行匹配濾波目標(biāo)檢測(cè)，以AUC值為性能指標(biāo)，分析它們?cè)诓煌蓸勇蔏/L下的檢測(cè)性能，如圖7所示。

圖7 不同情況下的AUC值與采樣率的關(guān)系曲線Fig.7 Relation curve between AUC and sampling rate under different conditions

從圖7可以看出，由于進(jìn)行了完全采樣，單位采樣矩陣對(duì)應(yīng)的AUC值為0.997。而采用壓縮采樣矩陣時(shí)，其檢測(cè)性能隨著采樣率的增大而逐漸提升，并且改進(jìn)后的壓縮采樣矩陣總能獲得較傳統(tǒng)壓縮采樣矩陣更優(yōu)的檢測(cè)性能，當(dāng)采樣率為0.5時(shí)，前者的AUC達(dá)到0.989，其檢測(cè)性能與單位采樣矩陣相近，而此時(shí)傳統(tǒng)壓縮采樣矩陣的AUC值僅為0.914，這說(shuō)明，利用稀疏模型先驗(yàn)知識(shí)改進(jìn)壓縮采樣矩陣，能夠降低壓縮采樣檢測(cè)對(duì)采樣率的要求，有效提升其檢測(cè)性能。

當(dāng)采樣率K/L=0.4時(shí)，單位采樣矩陣、傳統(tǒng)隨機(jī)壓縮采樣矩陣和經(jīng)稀疏表示子空間改進(jìn)后的壓縮采樣矩陣對(duì)應(yīng)的ROC曲線如圖8所示，其中誤差棒曲線為100次重復(fù)實(shí)驗(yàn)檢測(cè)概率的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

圖8 采樣率為0.4時(shí)各種采樣矩陣對(duì)應(yīng)的ROC曲線Fig.8 ROC curves corresponding to different sampling matrix at sampling rate of 0.4

從圖8可以看出，傳統(tǒng)隨機(jī)壓縮采樣矩陣的檢測(cè)性能較差，而利用待測(cè)信號(hào)稀疏模型改進(jìn)壓縮采樣矩陣后，其檢測(cè)性能明顯提升，在相同的虛警概率下，其檢測(cè)概率總是高于傳統(tǒng)隨機(jī)壓縮采樣矩陣，且檢測(cè)概率的標(biāo)準(zhǔn)差也明顯減小，從0.002～0.174 降至0.001～0.081范圍，說(shuō)明利用稀疏模型先驗(yàn)知識(shí)改進(jìn)壓縮采樣矩陣不僅能夠提升壓縮采樣檢測(cè)性能，還能夠削弱采樣矩陣的隨機(jī)性對(duì)于檢測(cè)性能的影響，增強(qiáng)壓縮采樣檢測(cè)算法的魯棒性。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文將壓縮信號(hào)處理理論引入光譜圖像目標(biāo)檢測(cè)，研究了待測(cè)信號(hào)稀疏模型先驗(yàn)條件下，基于非重構(gòu)壓縮采樣的光譜圖像目標(biāo)檢測(cè)方法。首先討論了傳統(tǒng)壓縮采樣檢測(cè)的邊界性能；然后利用待測(cè)信號(hào)的稀疏表示子空間構(gòu)造壓縮采樣矩陣，采用正交子空間投影法將壓縮采樣信號(hào)投影到干擾信號(hào)的局部正交子空間，抑制背景光譜的影響；最后對(duì)其檢測(cè)性能進(jìn)行了對(duì)比分析。實(shí)驗(yàn)和分析結(jié)果表明，該方法能夠有效提升壓縮采樣檢測(cè)算法的性能，削弱壓縮采樣矩陣隨機(jī)性對(duì)于檢測(cè)性能的影響，增強(qiáng)壓縮采樣檢測(cè)算法的魯棒性。