王玉杰　李武軍　李恩琪

摘 要：根據(jù)方形鏡對(duì)稱共焦球面鏡腔自再現(xiàn)模的表達(dá)形式，本文運(yùn)用數(shù)值計(jì)算方法，計(jì)算了不同階次的自再現(xiàn)模的振幅分布和強(qiáng)度分布。研究表明，計(jì)算結(jié)果清晰明了，展示了自再現(xiàn)模振幅和強(qiáng)度的空間分布;圖樣直觀、形象，有助于分析激光振蕩模式的場(chǎng)振幅分布和強(qiáng)度分布的特征。

關(guān)鍵詞：激光原理;對(duì)稱共焦腔;自再現(xiàn)模;數(shù)值計(jì)算

中圖分類號(hào)：O432.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-5168（2021）06-0042-05

Numerical Simulation Research on Laser Mode of Square

Mirror Symmetrical Confocal Cavity

WANG Yujie LI Wujun LI Enqi

（School of Basic Science， Xi'an Technological University，Xi'an Shaanxi 710021）

Abstract： According to the expression form of the self-reproducing mode of the symmetrical confocal spherical mirror cavity of the square mirror， this paper uses the numerical calculation method to calculate the amplitude distribution and intensity distribution of the free present mode of different orders. And the calculation results clearly shows the spatial distribution of the amplitude and intensity of the self-reproducing mode; the pattern is intuitive and vivid， which is helpful for analyzing the characteristics of the field amplitude distribution and intensity distribution of the laser oscillation mode.

Keywords： laser principle;symmetrical confocal cavity;self-reproducing mode;numerical calculation

光學(xué)諧振腔理論是研究腔的模式特征、模式與諧振腔結(jié)構(gòu)的依賴關(guān)系的基本理論。按照波動(dòng)光學(xué)的標(biāo)量積分理論，人們已經(jīng)在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明了本征方程解的存在性，但迄今為止，在腔鏡尺寸有限的情況下，只能求出對(duì)稱共焦腔的解析解。根據(jù)該解析解，方形鏡對(duì)稱共焦球面鏡腔在鏡面上的場(chǎng)分布可以用厄米-高斯函數(shù)描述。腔內(nèi)空間中的場(chǎng)可以用厄米-高斯光束的形式表示[1-3]。根據(jù)等價(jià)共焦腔理論，一般的激光器光學(xué)諧振腔大多數(shù)是穩(wěn)定的球面腔，而任意一個(gè)穩(wěn)定的球面腔都可等價(jià)為一個(gè)共焦腔，人們可以建立一般穩(wěn)定腔與共焦腔之間的關(guān)系。因此，研究共焦腔的不同模式十分重要[4-5]。本文根據(jù)對(duì)稱共焦球面鏡腔的解析解，使用Matlab數(shù)值模擬計(jì)算不同階次的自再現(xiàn)模的振幅分布和強(qiáng)度分布。

1 共焦腔自再現(xiàn)模

1.1 方形鏡共焦腔自再現(xiàn)模

在直角坐標(biāo)系中，對(duì)稱方形鏡共焦球面腔產(chǎn)生的光場(chǎng)在共焦反射鏡面中心附近，自再現(xiàn)模的振幅分布可以近似表示為厄米多項(xiàng)式和高斯分布函數(shù)的乘積，即

[υmn（x，y）=CmnHm（2ω0sx）Hn（2ω0sy）e-x2+y2ω0s2]? ? ? ? ?（1）

式中，[Cmn]為常系數(shù);[Hm（X）]、[Hn（X）]分別為[m]和[n]階厄米多項(xiàng)式;[ω0s]為共焦腔基模在鏡面上的光斑半徑，[ω0s=λL/π]。

根據(jù)發(fā)光強(qiáng)度與振幅的關(guān)系，相應(yīng)的強(qiáng)度分布為：

[Imn（x，y）=I0H2m（2ω0sx）H2n（2ω0sy）e-2x2+y2ω0s2]? ? ? ? ? ? ? （2）

式中，I0為初始光強(qiáng)。

1.2 方形鏡共焦腔鏡面上的光斑形狀

試驗(yàn)期間，經(jīng)觀察和測(cè)量，本研究得到方形鏡對(duì)稱共焦腔的各不同階次的高階橫模的光斑圖樣，如圖1所示。

由光斑圖樣可見，基模高斯光束為一典型的高斯分布的圓形光斑，不同高階橫模的強(qiáng)度分布由多個(gè)小光斑按照一定的對(duì)稱性組成。

2 共焦腔自再現(xiàn)模振幅和強(qiáng)度分布的數(shù)值仿真

取諧振腔參數(shù)[L]=250 mm，[λ]=632.8 nm，則[ω0s]≈0.224 mm。針對(duì)式（1）和式（6）所描述方形鏡自再現(xiàn)模的振幅分布和強(qiáng)度分布，取不同的階次[m]、[n]，通過Matlab數(shù)值模擬計(jì)算出相應(yīng)階次模的振幅分布和強(qiáng)度分布，所得結(jié)果如下。

2.1 方形鏡TEM00模的振幅和強(qiáng)度分布

TEM00模振幅分布如圖2所示，TEM00模強(qiáng)度分布如圖3所示。由計(jì)算結(jié)果可見，TEM00模的振幅和強(qiáng)度分布為典型的高斯分布，強(qiáng)度分布表明光斑為最簡(jiǎn)單的圓形光斑。

2.2 方形鏡TEM10模的振幅和強(qiáng)度分布

TEM10模振幅分布如圖4所示，TEM10模強(qiáng)度分布如圖5所示。由計(jì)算結(jié)果可見，TEM10模的振幅和強(qiáng)度分布沿[x]方向有一條節(jié)線，節(jié)線兩側(cè)的光場(chǎng)振幅相位反向，強(qiáng)度分布表明光斑為分立的兩個(gè)光斑。

2.3 方形鏡TEM11模振幅分布

TEM11模振幅分布如圖6所示，TEM11模強(qiáng)度分布如圖7所示。由計(jì)算結(jié)果可見，TEM11模的振幅和強(qiáng)度分布沿[x]和[y]方向各有一條節(jié)線，節(jié)線兩側(cè)相鄰的光場(chǎng)振幅相位均反向，強(qiáng)度分布表明光斑為分立的四個(gè)光斑。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

本研究采用大恒新紀(jì)元科技股份有限公司的半開放式He-Ne激光器進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。其間取平凹腔結(jié)構(gòu)，腔長[L]=420 mm，凹面鏡曲率半徑[R]=500 mm，調(diào)節(jié)腔鏡角度，可得不同TEM10模和TEM11模的輸出光斑，如圖10所示。

測(cè)試所用諧振腔鏡為圓形腔鏡，輸出光斑與數(shù)值模擬的方形鏡高階模式光斑形狀完全相同。結(jié)果表明，在鏡面橫向尺度遠(yuǎn)大于光斑直徑的情況下，圓形腔鏡與方形腔鏡輸出的光斑形狀完全相同，進(jìn)而也證明了建立的數(shù)學(xué)計(jì)算模型是正確的。

4 結(jié)論

本研究從方形鏡對(duì)稱共焦球面鏡腔自再現(xiàn)模的數(shù)學(xué)表達(dá)形式出發(fā)，采用數(shù)值計(jì)算方法描繪了不同階次模式的振幅分布圖樣和強(qiáng)度分布圖樣。計(jì)算結(jié)果清晰直觀地展現(xiàn)不同條件下自再現(xiàn)模的振幅和強(qiáng)度分布圖樣。根據(jù)圖樣，人們可以方便地認(rèn)識(shí)和分析高階模式的振幅和強(qiáng)度分布特征，推進(jìn)激光諧振腔的設(shè)計(jì)及激光器件研究。

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