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        利用定義證明函數(shù)極限的教學(xué)體會

        2021-07-14 07:58:30郭家勇
        中文信息 2021年5期
        關(guān)鍵詞:正數(shù)微積分常數(shù)

        郭家勇

        (江蘇連云港師范高等專科學(xué)校 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院,江蘇 連云港 222006)

        函數(shù)極限是微積分中一個重要的概念,它是微積分學(xué)的工具,微積分后面很多的概念都是通過函數(shù)極限來定義的,因此,掌握好函數(shù)極限這個工具在學(xué)習(xí)微積分中起到了至關(guān)重要的作用。而給出函數(shù)極限的定義也是經(jīng)過了長期漫長的工作,最終由魏爾斯特拉斯給出了ε-δ定義。由于大多數(shù)微積分的教材都是先從函數(shù)極限定義開始講起,而極限的ε-δ定義又比較抽象,很多初學(xué)者在剛開始學(xué)習(xí)時感到困難,對極限的定義理解不夠深入,從而導(dǎo)致影響下面的學(xué)習(xí)。

        這種情況一方面是由于大多數(shù)學(xué)生僅僅停留在中學(xué)數(shù)學(xué)的思維上,對極限這一新的概念沒有真正理解它的含義;另一方面,很多教材過多地強調(diào)了極限抽象理論而忽略了直觀認(rèn)識。由于對函數(shù)極限的定義理解不夠透徹,從而導(dǎo)致了用定義證明函數(shù)極限很多學(xué)生感到了困難,針對這種情況很多微積分教材也逐漸淡化這方面的內(nèi)容,對用定義證明函數(shù)極限不做過多的要求,其實利用極限的定義證明函數(shù)極限一方面是我們討論極限的一個重要的工具,很多重要的極限都是用極限的ε-δ定義證明給出的;另一方面,利用定義來證明函數(shù)極限也有助于學(xué)生加深對極限的ε-δ定義的理解。

        一、函數(shù)極限ε-δ定義的理解

        用定義證明函數(shù)極限首先要理解極限的定義,即若?ε>0,?δ>0,當(dāng)0<|x-x0|<δ時,總有|f(x)-A|<ε稱函數(shù)f(x)在x0處的極限為A,記為這個定義的直觀描述就是當(dāng)x無限趨近于x0時,f(x)無限的趨近于A,也就是當(dāng)x在x0某一個空心領(lǐng)域時,函數(shù)f(x)與A的距離比任意小的正數(shù)還要小。對于理解函數(shù)的ε-δ定義需要注意以下幾點

        1.x→x0指的是x無限趨近于x0而不等于x0,所以x接近于x0的領(lǐng)域是空心領(lǐng)域。

        2.?ε>0,指的是任意小的正數(shù),2ε,ε2,都可以表示任意小的正數(shù)。

        3.當(dāng)x無限趨近于x0時,x在x0的小空心領(lǐng)域內(nèi)接近于x0,因此可以假定x在x0的某個空心領(lǐng)域內(nèi),比如可假設(shè)0<|x-x0|<1,或者等。

        二、通過解不等式求出δ證明函數(shù)極限

        利用函數(shù)極限的ε-δ定義證明函數(shù)極限關(guān)鍵是找δ,而如何找δ主要是通過?ε>0,要使不等式|f(x)-A|<ε成立,解出需要|x-x0|<δ(ε),從而找出δ,這也是用定義證明函數(shù)極限的最基本方法。

        證明?ε>0,要使不等式|2x+4-6|=|2x-2|=2|x-1|<ε

        三、通過不等式將|f(x)-A|放大求出δ證明函數(shù)極限

        很多時候|f(x)-A|<ε直接解不等式難以直接求出|x-x0|<δ(ε),

        這時候我們往往可以先將|f(x)-A|用不等式放大,使得|f(x)-A|<g(x-x0)<ε,從而解出|x-x0|<δ(ε),在放大的時候要注意兩點

        2.g(x-x0)=0這個式子要比較簡單使得g(x-x0)=0<ε能夠比較容易的解出|x-x0|<δ(ε)。

        證明?ε>0,要使不等式

        四、假設(shè)|x-x0|<δ1(常數(shù))

        由于x→x0指的是x在x0的空心領(lǐng)域內(nèi)無限的趨近于x0,因此,在用定義證明函數(shù)極限時,可以先假設(shè)x在x0某個的空心領(lǐng)域內(nèi),即設(shè)0<|x-x0|<δ1(常數(shù)),其中常數(shù)δ1可以是任意的正的常數(shù)。從而利用這種方法便于將不等式放大。

        證明?ε>0,|x2-4x+4-1|=|(x-1)(x-3)|,設(shè)0<|x-3|<1,

        從而|x2-4x+4-1|=|x-3+2|(|x-3|)≤(|x-3|+2)|x-3|≤3|x-3|<ε

        五、設(shè)δ小于某個正數(shù)

        由于δ表示任意小的正數(shù),因此,在證明過程中我們可以假設(shè)δ小于某個正數(shù),從而便于我們證明。

        證明 ?ε>0,設(shè)x>0要使不等式

        成立,設(shè)0<ε<2,解得x>-1>0。從而取M=-1>0,則?ε>0,?M=-1>0,當(dāng)x>M時,總有<ε,所以

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