梁蓉蓉， 潘小東

（西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都611756）

1965年，美國(guó)控制論專家Zadeh［1］引入了模糊集合的概念.模糊集合是描述和處理模糊信息的一種重要數(shù)學(xué)工具，其基本思想是在絕對(duì)真（用1表示）和絕對(duì)假（用0表示）之間增加額外的真值，用以模擬事物之間差異的中介過(guò)渡過(guò)程，即利用一個(gè)從論域U到［0，1］的函數(shù)（隸屬函數(shù)）來(lái)模擬模糊概念（如青年、高個(gè)子等）的外延.經(jīng)過(guò)50多年的研究與發(fā)展，模糊集合在理論和應(yīng)用取得了長(zhǎng)足進(jìn)步，目前已成功應(yīng)用于諸如聚類分析、圖像識(shí)別、自動(dòng)控制、人工智能等研究領(lǐng)域［2-5］.對(duì)于模糊集合的理論和應(yīng)用至關(guān)重要的問(wèn)題是：如何確定隸屬函數(shù)和又如何判斷所確定隸屬函數(shù)的合理性.

研究者已提出各種確定模糊集合隸屬函數(shù)的方法，包括模糊統(tǒng)計(jì)法、二元對(duì)比排序法、插值法、模糊分布法、專家調(diào)查法等［6-7］.模糊統(tǒng)計(jì)法的思想是基于統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)，讓被調(diào)查者就某個(gè)模糊概念（記為A），各自給出自己認(rèn)為合適、清晰的外延集，通過(guò)計(jì)算這些外延集關(guān)于元素x的覆蓋頻率，獲得x關(guān)于模糊集合A的隸屬度，但此方法計(jì)算量巨大，且合理性有待進(jìn)一步驗(yàn)證.二元對(duì)比排序法根據(jù)對(duì)象間的對(duì)比關(guān)系來(lái)確定它們關(guān)于某個(gè)模糊概念的外延隸屬程度.模糊分布法借鑒概率論思想，事先給定若干類型模糊集合的隸屬函數(shù)，如矩形分布、梯形分布、正態(tài)分布、柯西分布、Z型分布等.對(duì)于某個(gè)具體的模糊概念，根據(jù)其內(nèi)涵和特點(diǎn)選擇合適的模糊分布函數(shù)，設(shè)定相應(yīng)參數(shù)從而確定隸屬函數(shù)，但這2種方法缺乏必要的理論依據(jù)，且具有較強(qiáng)主觀性.

針對(duì)上述確定隸屬函數(shù)方法存在的問(wèn)題，研究者開(kāi)始嘗試其他解決途徑，方法之一就是對(duì)Zadeh的模糊集合概念進(jìn)行擴(kuò)展.1975年，Zadeh［8］提出了二型模糊集合概念，采用語(yǔ)言值（如“非常真”“十分假”等）來(lái)表示元素關(guān)于模糊集合的隸屬度.1976年，Grattan-Guinness［9］將元素關(guān)于模糊集合的隸屬度從區(qū)間［0，1］上的一個(gè)實(shí)數(shù)擴(kuò)展為區(qū)間［0，1］的一個(gè)閉子區(qū)間，并由此建立了區(qū)間值模糊集理論.1986年，Atanassov［10］提出了直覺(jué)模糊集合概念，通過(guò)引入“非隸屬度”，直覺(jué)模糊集能從正反兩方面刻畫(huà)事物的模糊性.2002年，劉心等［11］提出了擾動(dòng)模糊集.2010年，Torra［12］提出了猶豫模糊集的概念.為便于人們能夠準(zhǔn)確理解二型模糊集合，2014年，莫紅等［13］通過(guò)引入多值映射來(lái)定義二型模糊集合的主隸屬度，運(yùn)用常規(guī)映射定義次隸屬度，給出了二型模糊集合新定義，提出了FOU劃分法來(lái)表述連續(xù)區(qū)間二型模糊集合.

將上述幾種模糊集進(jìn)行交叉、融合，還可以得到其他類型模糊集合.2012年，Zhu等［14］將猶豫模糊集與直覺(jué)模糊集進(jìn)行結(jié)合，首次提出了對(duì)偶猶豫模糊集.同年，趙濤等［15］在二型模糊集和直覺(jué)模糊集基礎(chǔ)上，給出了二型直覺(jué)模糊集概念，證明通過(guò)特定變形，二型直覺(jué)模糊集可成為一型模糊集、直覺(jué)模糊集、區(qū)間值模糊集、區(qū)間值直覺(jué)模糊集的廣義形式.2014年，吳婉瑩等［16］將對(duì)偶猶豫模糊集概念拓展到區(qū)間值，提出了區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊集.2017年，王飛躍等［17］采用集合論的方法給出了單位模糊集合和二型模糊集合及其在一點(diǎn)的限制等定義.根據(jù)論域、主隸屬度及隸屬函數(shù)的特性對(duì)二型模糊集合進(jìn)行分類，提出了一些與二型模糊集合相關(guān)的結(jié)論.周林濤［18］研究了復(fù)雜環(huán)境下基于二型模糊集的多因素決策方法.李麗穎等［19］提出了區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊集距離與相似性測(cè)度之間的關(guān)系，給出了區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊集的距離公式及熵公式，由此給出基于區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊熵的權(quán)重模型，應(yīng)用于權(quán)重未知的區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊多屬性決策問(wèn)題.這些模糊集合的擴(kuò)展研究極大拓廣了模糊集理論的研究思路，豐富了模糊集理論及應(yīng)用的研究?jī)?nèi)容，對(duì)其發(fā)展具有重要意義.然而，無(wú)論采用語(yǔ)言值、區(qū)間值，還是加入非隸屬度，這些拓展在隸屬函數(shù)的確定及其合理性驗(yàn)證依然存在問(wèn)題.如果無(wú)法弄清楚對(duì)象x隸屬于模糊集合A的隸屬度程度到底是0.7還是0.8，那么同樣無(wú)法弄清楚用哪個(gè)語(yǔ)言真值或者哪個(gè)區(qū)間來(lái)表示更合適.

近年來(lái)，不斷有學(xué)者提出各種模糊集合隸屬函數(shù)的確定方法.1995年，李德毅等［20］提出隸屬云的新思想，給出了用數(shù)字特征描述隸屬云的方法和正態(tài)隸屬云的數(shù)字模型.2004年，李德毅等［21］利用云模型把隨機(jī)性和模糊性結(jié)合起來(lái)，用數(shù)字特征熵揭示隨機(jī)性與模糊性的關(guān)聯(lián)，并以此表示一個(gè)定性概念的粒度.正態(tài)云模型通過(guò)期望、熵和超熵構(gòu)成的特定結(jié)構(gòu)發(fā)生器，生成定性概念的定量轉(zhuǎn)換值，描述概念的不確定性.2008年，袁杰等［22］提出了采用最小二乘法擬合離散數(shù)據(jù)來(lái)獲得隸屬函數(shù).2010年，于少偉［23］提出了利用區(qū)間數(shù)的方法確定隸屬函數(shù).2015年，王曉娟［24］提出利用改進(jìn)型BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立模糊集隸屬函數(shù)的設(shè)計(jì)方法，給出了設(shè)計(jì)步驟，并應(yīng)用于實(shí)例中，仿真結(jié)果表明此方法具有一定的有效性和可行性.2016年，馬萬(wàn)元等［25］從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度提出了一種基于概率統(tǒng)計(jì)的模糊隸屬函數(shù)計(jì)算方法.

然而，上述方法也未能真正解決模糊集合隸屬函數(shù)的確定問(wèn)題.因?yàn)榻⒁环N科學(xué)的確定模糊集合隸屬函數(shù)的方法，首先需要弄清模糊集合旨在刻畫(huà)的對(duì)象究竟是什么，需要深入分析模糊現(xiàn)象，并以模糊現(xiàn)象的本質(zhì)及其主要特征做為建立相應(yīng)數(shù)學(xué)理論和方法的出發(fā)點(diǎn)，否則我們的研究勢(shì)必成為無(wú)本之木，然而上述方法并未充分考慮這一點(diǎn).在文獻(xiàn)［26］中，對(duì)模糊現(xiàn)象的本質(zhì)及其主要特征進(jìn)行深入分析，提出了關(guān)于模糊現(xiàn)象本質(zhì)及其特征的新觀點(diǎn)；在此基礎(chǔ)上，Xu等［27-28］建立了隸屬度公理系統(tǒng)，并以此給出了模糊集合的公理化定義.

本文在模糊公理系統(tǒng)框架下，基于文獻(xiàn)［26］所提出的關(guān)于模糊現(xiàn)象本質(zhì)的新思想，通過(guò)設(shè)計(jì)統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)，深入分析影響模糊集合隸屬函數(shù)確定的關(guān)鍵因素，并在此基礎(chǔ)上，提出關(guān)于確定模糊集合隸屬函數(shù)的一般性原則.

1 模糊集合的公理化

1.1 模糊現(xiàn)象的本質(zhì)文獻(xiàn)［26］認(rèn)為模糊性產(chǎn)生于對(duì)對(duì)象進(jìn)行分類的過(guò)程中，是事物發(fā)展、演化過(guò)程中連續(xù)性、漸進(jìn)性的一種表現(xiàn)形式，同時(shí)是事物本身連續(xù)性、漸進(jìn)性和人類主觀認(rèn)知方式共同作用的結(jié)果.因此，模糊現(xiàn)象是模糊性的外在表現(xiàn)形式，它產(chǎn)生于模糊劃分，并將事物發(fā)展、演化的連續(xù)性過(guò)程“離散化”.

一種常見(jiàn)的將事物發(fā)展過(guò)程中連續(xù)性、漸進(jìn)性“離散化”的方法就是使用自然語(yǔ)言，即通過(guò)有限個(gè)模糊謂詞來(lái)描述事物所具有的某種屬性，或者說(shuō)是自然語(yǔ)言提供一種將事物發(fā)展過(guò)程中的連續(xù)性、漸進(jìn)性離散化的有效方法.因此，模糊現(xiàn)象經(jīng)常與自然語(yǔ)言的使用聯(lián)系在一起，模糊謂詞即是連接“連續(xù)”和“離散”之間的橋梁.

1.2 模糊劃分的定義基于對(duì)模糊現(xiàn)象本質(zhì)及其特征的認(rèn)識(shí)，文獻(xiàn)［27-28］給出了模糊劃分的定義.

定義1［27-28］設(shè)U＝ ［a，b］?R.定義在U上的一個(gè)模糊劃分是由定義在U上的n個(gè)函數(shù)所構(gòu)成的集合，即

其中，μAi：U→［0，1］（i＝1，2，…，n）定義了元素x∈U隸屬于模糊子類Ai的隸屬程度，并且滿足下列條件：

1）?x∈U，?i∈使得

5）?x∈U，有

若U上的一個(gè)模糊劃分~U滿足

由模糊性本質(zhì)和定義1可知，模糊集合產(chǎn)生于模糊劃分，其隸屬函數(shù)是對(duì)模糊劃分之下模糊子類的數(shù)學(xué)描述，因而模糊集合隸屬函數(shù)的確定會(huì)受到模糊劃分的影響.但以上僅為理論分析，模糊劃分對(duì)隸屬函數(shù)確立的影響還缺少必要的實(shí)驗(yàn)研究，此外還需探明確定模糊集合隸屬函數(shù)時(shí)的關(guān)鍵性因素.本文基于模糊現(xiàn)象本質(zhì)及其主要特征，通過(guò)設(shè)計(jì)統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)，深入分析影響模糊集合隸屬函數(shù)確立的關(guān)鍵性要素，特別是模糊劃分對(duì)隸屬函數(shù)的影響.

2 實(shí)驗(yàn)研究

2.1 實(shí)驗(yàn)方案統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)分為2組：第1組在無(wú)模糊劃分條件下進(jìn)行，第2組在模糊劃分條件下進(jìn)行.實(shí)驗(yàn)采用抽樣調(diào)查的方法，通過(guò)發(fā)放調(diào)查問(wèn)卷的方式收集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).實(shí)驗(yàn)的調(diào)查問(wèn)卷如下：

第1組實(shí)驗(yàn)調(diào)查問(wèn)卷包含以下問(wèn)題：

1）據(jù)資料記載，人的身高范圍在0.55～2.5 m.按照您的理解，您認(rèn)為“高個(gè)子男子”的身高范圍應(yīng)該是________（單位：m.例如：［1.8，2.5］）；

2）您認(rèn)為“中年人”所指的年齡區(qū)間應(yīng)該是________（單位：歲.例如：［50，70］）.

第2組實(shí)驗(yàn)調(diào)查問(wèn)卷包含以下問(wèn)題：

1）據(jù)資料記載，人的身高范圍在0.55～2.5 m.如果把男人按身高分為3類：矮個(gè)子、中等個(gè)子、高個(gè)子.請(qǐng)根據(jù)您自己的理解，分別寫(xiě)出這3類男人各自的身高范圍__________（單位：m.要求這3個(gè)區(qū)間互不相交且完全覆蓋區(qū)間［0.55，2.5］.例如：［0.55，1.5］、［1.51，1.79］、［1.8，2.5］）；

2）世界衛(wèi)生組織把人按年齡分為5類：未成年人、青年人、中年人、老年人、長(zhǎng)壽老人.請(qǐng)您根據(jù)自己的理解分別寫(xiě)出這5類人分別所對(duì)應(yīng)的年齡區(qū)間__________（單位：歲.要求這些區(qū)間互不相交且完全覆蓋區(qū)間［0，134］，134歲是目前吉尼斯記錄認(rèn)證的人的最高壽命）.

2.2 數(shù)據(jù)收集及處理調(diào)查問(wèn)卷在西南交通大學(xué)學(xué)生群體中采用隨機(jī)抽樣方式進(jìn)行發(fā)放，為避免被調(diào)查者填寫(xiě)問(wèn)卷時(shí)受慣性思維影響，2組問(wèn)卷分別發(fā)放給2組不同被調(diào)查對(duì)象.2組問(wèn)卷共計(jì)發(fā)放630份，收集到2組有效調(diào)查問(wèn)卷共計(jì)600份.對(duì)收集到的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行整理及預(yù)處理，主要審核數(shù)據(jù)完整性和準(zhǔn)確性，準(zhǔn)確性審核主要是檢查數(shù)據(jù)是否有誤，是否存在異常值等.經(jīng)預(yù)處理后的有效數(shù)據(jù)見(jiàn)表1.

表1 調(diào)查問(wèn)卷有效份數(shù)Tab.1 The valid number of questionnaires

2.3 關(guān)于實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析1）模糊集合隸屬度穩(wěn)定性、一致性分析.圖1（a）和（b）分別為無(wú)模糊劃分和有模糊劃分條件下，高個(gè)子隸屬度與實(shí)驗(yàn)次數(shù)的關(guān)系曲線圖.圖2與圖3為無(wú)模糊劃分和有模糊劃分條件下，“高個(gè)子”和“中年人”這2個(gè)模糊概念的隸屬函數(shù)圖像對(duì)比.

由圖1可知，對(duì)同一模糊概念，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)增加，有模糊劃分之下使用模糊統(tǒng)計(jì)法確定的隸屬度具有更好的穩(wěn)定性.由圖2可知，在模糊劃分下被調(diào)查者認(rèn)為1.95 m是高個(gè)子的程度是0.983 6，隨身高增加，是高個(gè)子的程度趨近于1，由此可認(rèn)為身高大于等于1.95 m的人都是“高個(gè)子”；而無(wú)模糊劃分下，“高個(gè)子”的隸屬函數(shù)圖像在身高為1.9 m時(shí)達(dá)到最大值0.932 2，之后隨身高增加，屬于高個(gè)子的程度逐漸降低，最終穩(wěn)定于0.63，但這與認(rèn)知不一致.通過(guò)分析問(wèn)卷1的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，被調(diào)查者在填寫(xiě)“高個(gè)子”所對(duì)應(yīng)的區(qū)間時(shí)，具有一定的“隨意性”，即被調(diào)查者在填寫(xiě)區(qū)間時(shí)寫(xiě)下自己認(rèn)為是“高個(gè)子”的區(qū)間，但是所給出的區(qū)間就會(huì)出現(xiàn)類似于區(qū)間［1.8，2.2］；而問(wèn)卷2是在給出模糊劃分的限制條件下，使得被調(diào)查者對(duì)“高個(gè)子”這一模糊概念更明確，給出的區(qū)間都類似于區(qū)間［1.8，2.5］.“隨意性”產(chǎn)生的原因是在收集數(shù)據(jù)時(shí)，對(duì)模糊概念的限制條件太少.由圖3可發(fā)現(xiàn)，“中年人”的隸屬函數(shù)圖像在模糊劃分下比未給出模糊劃分下要更符合認(rèn)知.通過(guò)上述分析，對(duì)于同一模糊概念，在已知模糊劃分條件下，采用模糊統(tǒng)計(jì)法確定的隸屬度具有更好的穩(wěn)定性和一致性.

圖1 高個(gè)子隸屬度與實(shí)驗(yàn)次數(shù)關(guān)系曲線Fig.1 Relation curve between the tall and test times

圖2 高個(gè)子隸屬函數(shù)對(duì)比曲線Fig.2 The contrast chart of membership function of the tall

圖3 中年人隸屬函數(shù)對(duì)比圖Fig.3 The contrast chart of membership functions of middle-aged people

2）模糊劃分下模糊集合隸屬函數(shù)對(duì)定義1符合程度分析.表2為問(wèn)卷2中關(guān)于模糊概念“矮個(gè)子”“中等個(gè)子”“高個(gè)子”數(shù)據(jù)，基于模糊統(tǒng)計(jì)法計(jì)算論域中任意一個(gè)元素x對(duì)這3種模糊概念的隸屬程度.圖4為表2所對(duì)應(yīng)的隸屬函數(shù)圖像.利用相同計(jì)算方法，圖5為“未成年人”“青年人”“中年人”“老年人”和“長(zhǎng)壽老人”的隸屬函數(shù)圖像.

由表2可知，論域U＝［0.55，2.50］中的每一個(gè)元素x，都對(duì)應(yīng)一個(gè)模糊子類Ai，使得 μAi（x）＞0.對(duì)于每一個(gè)模糊子類Ai都有一個(gè)元素x，使得μAi（x）＝1或趨近于1.在已知模糊劃分下，各模糊概念的隸屬函數(shù)在最大值左側(cè)不減，在最大值右側(cè)不增，如圖4所示.對(duì)于論域中任意一個(gè)元素x，有

圖4 矮個(gè)子、中等個(gè)子、高個(gè)子隸屬函數(shù)曲線Fig.4 The curve of membership function of the short，the medium and the tall

如表2中，1.7 m對(duì)矮個(gè)子的隸屬度是0.245 9，對(duì)中等個(gè)子的隸屬度是0.744 3，對(duì)高個(gè)子的隸屬度是0.009 8，而0.245 9＋0.744 3＋0.009 8＝1.上述性質(zhì)對(duì)屬性年齡的模糊子類隸屬函數(shù)仍符合，如圖5所示.

圖5 未成年人、青年人、中年人、老年人、長(zhǎng)壽老人隸屬函數(shù)曲線Fig.5 The curve of membership function of the young，the middle-aged，the elderly，and the long-lived elderly

3）模糊集合隸屬函數(shù)的波動(dòng)分析.圖6與圖7分別為模糊概念“高個(gè)子”與“中年人”各自論域中每一個(gè)元素在無(wú)模糊劃分和有模糊劃分下的隸屬度方差.可知，整體上隸屬函數(shù)在無(wú)模糊劃分條件下波動(dòng)振幅較大，而在有模糊劃分下較穩(wěn)定，波動(dòng)較小.這說(shuō)明被調(diào)查者在模糊劃分下對(duì)模糊概念的理解更清晰化，而在部分點(diǎn)（如圖6中的身高1.75 m）或部分區(qū)間（如圖7中的［51，60］），在模糊劃分下隸屬度的波動(dòng)振幅大于無(wú)模糊劃分下隸屬度的波動(dòng)振幅，這是因?yàn)閱?wèn)卷2在給出模糊劃分的條件下，讓被調(diào)查者分別給出同一屬性的各模糊子類所對(duì)應(yīng)的區(qū)間.這些波動(dòng)較大的元素或區(qū)間可看成是2個(gè)相鄰模糊子類的“分界點(diǎn)”，在“分界點(diǎn)”處的隸屬度波動(dòng)比較大的原因在4）中會(huì)進(jìn)行說(shuō)明.由圖2和圖3可明顯觀察出，未給出模糊劃分的隸屬函數(shù)的跨度比模糊劃分下隸屬函數(shù)的跨度要大.由上述分析可知，在未給出模糊劃分的條件下，隸屬函數(shù)呈現(xiàn)出較大波動(dòng)振幅和跨度，且在邊界處波動(dòng)更為明顯.

圖6 高個(gè)子隸屬度方差Fig.6 The variance of membership degree of the tall

圖7 中年人隸屬度方差Fig.7 The variance of membership degree of the middle-age

4）模糊集合隸屬函數(shù)的圖像分析.如圖2～5所示，屬性身高的每一個(gè)模糊子類的隸屬函數(shù)圖像都較光滑，而無(wú)論是否有模糊劃分，屬性年齡的每個(gè)模糊子類的隸屬函數(shù)圖像都存在間斷點(diǎn).問(wèn)卷1要求被調(diào)查者給出恰當(dāng)?shù)膮^(qū)間，即傳統(tǒng)模糊統(tǒng)計(jì)法，問(wèn)卷2在此基礎(chǔ)上加入了模糊劃分這一前提條件.由于不同被調(diào)查者受家庭背景、教育程度、人生閱歷、性格等影響，所以給出的區(qū)間端點(diǎn)存在一定差異，“分界點(diǎn)”的產(chǎn)生也源于此，從而出現(xiàn)間斷點(diǎn)，這也是模糊統(tǒng)計(jì)法確定隸屬函數(shù)所存在的缺陷.由圖2和圖3也可發(fā)現(xiàn)，對(duì)于同一模糊概念，在給出模糊劃分前提條件之下，隸屬函數(shù)圖像的間斷點(diǎn)要比無(wú)模糊劃分下更少.

3 基于模糊劃分確定模糊集合隸屬函數(shù)的一般原則

由統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)可知，在模糊劃分之下，每個(gè)模糊劃分子類所對(duì)應(yīng)的模糊集合隸屬函數(shù)在總體上符合定義1中關(guān)于模糊劃分的5個(gè)條件.基于定義1和本文對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析，提出基于模糊劃分確定模糊集合隸屬函數(shù)的一般性原則：對(duì)于某個(gè)模糊謂詞（如：中年人），可以采用如下方法確定其隸屬函數(shù)：

1）確定產(chǎn)生該謂詞的模糊劃分，如前文所述，模糊謂詞產(chǎn)生于模糊劃分，例如“中年人”所在的模糊劃分為｛青年人，中年人，老年人｝；

2）確定該謂詞所對(duì)應(yīng)屬性的取值范圍，例如“中年人”所對(duì)應(yīng)的屬性是“年齡”，年齡的取值范圍為U＝［0，150］；

3）在取值范圍U中，分別確定模糊劃分中的每個(gè)模糊謂詞所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)或標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間，即使得關(guān)于模糊劃分中的模糊謂詞的隸屬度為1的點(diǎn)或者其構(gòu)成的集合，標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)或者標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間可通過(guò)調(diào)查獲得，例如“中年人”對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間為［45，50］；

4）基于標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)或標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間，利用定義1中的條件4）和5）即可大致確定出模糊劃分中各模糊謂詞所對(duì)應(yīng)的模糊集合的隸屬函數(shù).

模糊集合的隸屬函數(shù)僅是關(guān)于對(duì)象由量變到質(zhì)變過(guò)程的數(shù)學(xué)描述，是一種近似的描述.該描述也符合一般性的規(guī)律，即符合一定范圍內(nèi)大多數(shù)人對(duì)模糊謂詞的認(rèn)識(shí)規(guī)律.從這個(gè)意義上講，隸屬度與概率類似.由大數(shù)定律知道，概率描述的是大量隨機(jī)現(xiàn)象的平均規(guī)律.

4 結(jié)論

本文研究了模糊劃分對(duì)模糊集合隸屬函數(shù)的影響，通過(guò)2組實(shí)驗(yàn)對(duì)2個(gè)模糊屬性值“高個(gè)子”“中年人”的隸屬函數(shù)進(jìn)行了對(duì)比分析.實(shí)驗(yàn)表明：在已知模糊劃分條件下，采用模糊統(tǒng)計(jì)法確定隸屬度具有更好的穩(wěn)定性和一致性，且滿足文獻(xiàn)［27-28］中模糊劃分定義的5個(gè)條件.在無(wú)模糊劃分條件下，隸屬函數(shù)的波動(dòng)幅度和跨度更大.因此，模糊劃分對(duì)模糊集合隸屬函數(shù)的確立存在顯著影響.此外，采用模糊統(tǒng)計(jì)法確定隸屬函數(shù)時(shí)存在一個(gè)明顯缺陷，即區(qū)間端點(diǎn)的確定易受社會(huì)觀念影響，從而導(dǎo)致隸屬函數(shù)出現(xiàn)間斷點(diǎn).

本項(xiàng)研究雖在一定程度上闡明了模糊劃分對(duì)模糊集合隸屬函數(shù)的影響，但由于所涉及的模糊謂詞相對(duì)較少，實(shí)驗(yàn)的調(diào)查范圍相對(duì)較窄，且實(shí)驗(yàn)所采集到的數(shù)據(jù)量也相對(duì)較少.因此，影響模糊集合隸屬函數(shù)確定的關(guān)鍵要素及其影響機(jī)制，還需進(jìn)一步研究，并通過(guò)更多的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)支撐，這將是今后工作的努力方向.