林偉 羅朝舉 陳崢嶸

[摘? ?要]“思意數(shù)學(xué)”以問題引路，以“思”為魂，以“意”為核，旨在 “融思之規(guī)律、意之方法、思意于一體”.文章通過探索數(shù)學(xué)概念課教學(xué)方式，構(gòu)建“思意數(shù)學(xué)”概念課教學(xué)模式，從而有效提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量.

[關(guān)鍵詞]思意數(shù)學(xué);概念課;教學(xué)模式

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）17-0017-05

“思意數(shù)學(xué)”概念課通過各種教學(xué)形式、手段，對研究對象的本質(zhì)屬性進行揭示和概括，引導(dǎo)學(xué)生理解研究對象的共同屬性，進一步認(rèn)識和理解概念的內(nèi)涵與外延.

一、“思意數(shù)學(xué)”概念課教學(xué)模式

概念課的教學(xué)模式，是通過“問題情境，引入概念——激學(xué)導(dǎo)思，形成概念——引議釋疑，理解概念——點撥提高，深化概念——精講精練，應(yīng)用概念——歸納自結(jié)，升華概念”六個環(huán)節(jié)來實現(xiàn)（如圖1所示）.

二、“思意數(shù)學(xué)”概念課教學(xué)實施

（一）問題情境，引入概念，開啟思維

教師根據(jù)課標(biāo)和教材要求，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)生動形象的教學(xué)情境，根據(jù)概念類型、設(shè)計概念引入.學(xué)生依據(jù)教師創(chuàng)設(shè)的問題，自主嘗試，感性體驗，激發(fā)動機，思考問題，開啟思維.

（二）激學(xué)導(dǎo)思，形成概念，交流思維

在這一環(huán)節(jié)中，當(dāng)學(xué)生根據(jù)教師創(chuàng)設(shè)的問題情境，學(xué)生自主創(chuàng)新學(xué)習(xí)的過程，學(xué)生自主歸納、概括、抽象形成概念.在自主探索過程中遇到困難時，教師應(yīng)適當(dāng)啟發(fā)點撥和創(chuàng)造性地引導(dǎo)學(xué)生“探究”，鼓勵學(xué)生“質(zhì)疑”.在學(xué)生自主學(xué)習(xí)、小組討論、集體交流的過程中，交流思維.

（三）引議釋疑，理解概念，提升思維

教師對抽象概念過程中出現(xiàn)差錯的學(xué)生，進行解惑和適度的評價.學(xué)生積極參與，雙向交流，自由發(fā)表意見，提升思維.

（四）點撥提高，深化概念，優(yōu)化思維

教師通過辨析變式和等價變式，讓學(xué)生對概念進一步深化的理解.學(xué)生根據(jù)教師設(shè)計概念等價深化變式，積極調(diào)動原有知識，與新學(xué)概念進行比較、分析，逐步形成新的知識結(jié)構(gòu)與知識系統(tǒng)，通過自主思考、小組討論等形式，對概念進行更深層次的認(rèn)識和把握，優(yōu)化思維.

（五）精講精練，應(yīng)用概念，拓展思維

教師根據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)生交流中所反饋的信息，精心選編題目，讓學(xué)生在解答、變式、探索中，深化對概念的理解，促進認(rèn)知結(jié)構(gòu)的內(nèi)化.

（六）歸納自結(jié)，升華概念，發(fā)展思維

師生對課堂教學(xué)內(nèi)容及方法做適當(dāng)?shù)目偨Y(jié)，對研究問題的方法進行回顧、反思，使學(xué)生對所學(xué)概念、方法的認(rèn)識得以升華，建立新知識體系，從而全面實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，發(fā)展思維，形成能力.

三、“思意數(shù)學(xué)”概念課教學(xué)實踐

下面以《古典概型》為例進行實踐與探索.

（一）目標(biāo)和目標(biāo)解析

知識與技能目標(biāo)：

1.理解基本事件的概念及其特點.

2.理解古典概型及其概率計算公式.

3.會用列舉法、樹狀圖、列表法計算一些隨機事件所包含的基本事件個數(shù)及事件發(fā)生的概率.

過程與方法目標(biāo)：

觀察各個試驗，歸納總結(jié)出古典概型的概率計算公式，學(xué)習(xí)掌握列舉法、樹狀圖、列表法等數(shù)學(xué)方法，學(xué)會運用轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、集合的思想解決概率的計算問題.

情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：

通過小組合作探究，感受合作的重要性以及實事求是的科學(xué)態(tài)度.鼓勵學(xué)生通過觀察、類比，提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力.

（二）教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入概念，開啟思維

師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了隨機事件及其概率，我們來看下面的問題.

問題1：在一個不透明的容器中裝有標(biāo)號分別為1，2，3的三個黃色乒乓球和標(biāo)號為4，5，6，7的四個白色乒乓球，現(xiàn)從中任取一個球，那么事件“取出的球是黃色”發(fā)生的概率是多少？

問題2：如何解決問題1？你的方法可行嗎？為什么？

設(shè)計意圖：用學(xué)生剛剛學(xué)過的隨機事件的概率知識來引入古典概型的教學(xué)，將內(nèi)容放在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，符合學(xué)生的認(rèn)知特點.概念引入時的情境設(shè)計以學(xué)生熟悉的生活實例為背景，容易引起學(xué)生的興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，開啟學(xué)生思維，提高他們探究新知識的積極性.

師生活動：

生1：事件“取出的球是黃色”發(fā)生的概率是[47].

師：為什么？

生1：不清楚，我猜的.

師：我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識不能僅靠猜測，還需要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C過程.可否結(jié)合我們前面所學(xué)知識解決呢？

生2：根據(jù)前面所學(xué)的知識，我們需要用大量重復(fù)的隨機試驗，多次抽取、觀察并計算“取出的球是黃色”這個事件的頻率，再用事件發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值進行估計.

生3：這個方法可行，也很方便，但是工作量太大，不能保證試驗結(jié)果的穩(wěn)定性.

師：我們有沒有更為簡便易行，工作量不大，結(jié)果準(zhǔn)確，或者說試驗結(jié)果穩(wěn)定的求概率的方法呢？

2.激學(xué)導(dǎo)思，形成概念，交流思維

問題3：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，會出現(xiàn)哪幾種結(jié)果？

問題4：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，觀察向上的點數(shù)，會出現(xiàn)哪幾種結(jié)果？

問題5：從標(biāo)號為[a， b， c， d]的四個球中任意取出兩個，會出現(xiàn)哪幾種結(jié)果？

設(shè)計意圖：從學(xué)生熟悉的實例入手研究，有助于學(xué)生建立新的知識體系.另外，對基本事件特點的準(zhǔn)確把握，有利于學(xué)生進一步歸納古典概型的特點及利用古典概型求事件發(fā)生概率的步驟.

師生活動：

生1：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，會出現(xiàn)“正面朝上” “反面朝上”兩種結(jié)果.

生2：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，觀察向上的點數(shù)，會出現(xiàn)“1點” “2點” “3點” “4點” “5點” “6點”六種結(jié)果.

生3：問題5可用樹狀圖（如圖2）來表示.

從標(biāo)號為[a， b， c， d]的四個球中任意取出兩個，會出現(xiàn)[a， b]，[a， c]，[a， d]，[b， c]，[b， d]，[c， d]六種結(jié)果.

師：當(dāng)結(jié)果比較多時，如何確定你的結(jié)果的準(zhǔn)確性？

生4：可以采用樹狀圖、列表法、棋盤圖的形式.

師：回答得非常好.

師：在問題3的試驗中，結(jié)果只有兩個，即“正面朝上” “反面朝上”.它們都是隨機事件;在問題4的試驗中，所有可能的試驗結(jié)果只有6個，它們都是隨機事件;在問題5的試驗中，所有可能的試驗結(jié)果只有6個，它們也都是隨機事件.我們把這類隨機事件稱為基本事件.

基本事件有如下特點：

（1）任何兩個基本事件是互斥的;

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.

3.引議釋疑，理解概念，提升思維

問題6：在擲骰子的試驗中，隨機事件 “2點”和“4點”能同時發(fā)生嗎？為什么？

問題7：在擲硬幣的試驗中，如何用基本事件表示必然事件？

問題8：在擲骰子的試驗中，隨機事件“出現(xiàn)偶數(shù)點”包含哪幾個基本事件？發(fā)生的概率是多少？為什么？

問題9：在從標(biāo)號為[a， b， c， d]的四個球中任意取出兩個的試驗中，隨機事件“球[a]被取出”包含哪幾個基本事件？發(fā)生的概率是多少？為什么？

問題10：觀察對比，以上三個試驗的共同點是什么？

設(shè)計意圖：用一系列問題進行辨析，為學(xué)生解決疑難問題，進一步學(xué)習(xí)古典概型打下基礎(chǔ).從問題的辨析和概念的逐步抽象過程中，引導(dǎo)學(xué)生正確理解基本事件的概念.

師生活動：

生1：根據(jù)基本事件的特點，任何兩個基本事件都是互斥的，所以在擲骰子的試驗中，隨機事件 “2點”和“4點”不可能同時發(fā)生.

生2：在擲硬幣的試驗中，必然事件由“正面朝上”和“反面朝上”兩個基本事件組成.

生3：在擲骰子的試驗中，隨機事件“出現(xiàn)偶數(shù)點”包含基本事件“2點”“4點” “6點”，發(fā)生的概率為[12]，是因為向上的點數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)的可能性相同，各占一半.

生4：在從標(biāo)號為a，b，c，d的四個球中任意取出兩個的試驗中，隨機事件“球[a]被取出”包含3個基本事件，分別為[a， b]，[a， c]，[a， d]，發(fā)生的概率是[12]，因為球[a]被取出和不被取出可能性相同.

對于問題10，學(xué)生陷入沉默中.

師：大家可以結(jié)合前面學(xué)習(xí)的一些概率試驗，相互交流討論一下.

學(xué)生深入討論后回答.

生5：以上試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件的個數(shù)只有有限個;每個基本事件出現(xiàn)的可能性都相等.

師：回答得非常好，上述試驗的共同特點是：（1）試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件的個數(shù)只有有限個;（2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性都相等.我們將具有這兩個特點的概率模型叫作古典概率模型，簡稱古典概型.

問題11：以下概率模型是否為古典概型？

（1）從集合[x∈R1

（2）擲一枚質(zhì)地不均勻的骰子一次，觀察向上的點數(shù).

設(shè)計意圖：問題11的設(shè)計是為了讓學(xué)生更加準(zhǔn)確地理解與把握古典概型的兩個基本特征.對于突破教學(xué)難點，即如何判斷一個試驗是否為古典概型提供幫助.

師生活動：

生1：（1）不是古典概型，因為試驗中基本事件的個數(shù)是無限個.

生2：（2）不是古典概型，因為試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性不相等.

師：古典概型有兩個特點，簡單地說是有限性和等可能性.

4.點撥提高，深化概念，優(yōu)化思維

師：請同學(xué)們分組填寫表1，結(jié)合表格數(shù)據(jù)，嘗試歸納出古典概型的計算公式.

設(shè)計意圖：以表格形式給出思維發(fā)展的過程，使得學(xué)生在表格填寫過程中經(jīng)歷從具體到抽象、從特殊到一般的抽象概括活動，思維得到鍛煉，能力得到提高.

師生活動：學(xué)生按學(xué)習(xí)小組，填表、討論歸納得出古典概型的概率計算公式，并總結(jié)求古典概型下隨機事件概率需要具備的條件.

生1：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣一次的試驗中，基本事件有“正面向上”“反面向上”.基本事件總數(shù)為2，事件A包含的基本事件個數(shù)為1，事件A發(fā)生的概率為[12].

生2：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次的試驗中，基本事件有“1點” “2點” “3點” “4點” “5點” “6點”. 基本事件總數(shù)為6，事件A包含的基本事件個數(shù)為4，事件A發(fā)生的概率為[23].

生3：問題5的試驗中，基本事件有[a， b]，[a， c]，[a， d]，[b， c]，[b， d]，[c， d].基本事件總數(shù)為6，事件A包含的基本事件個數(shù)為3，事件A發(fā)生的概率為[12].

師：發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律沒有？

生4：由上面的表格可以看出，對于古典概型，事件A發(fā)生的概率為：

[P（A）=A包含的基本事件的個數(shù)基本事件的總數(shù)].

師：對于古典概型，任何事件的概率都滿足上面的公式嗎？

生5：我們認(rèn)為應(yīng)該是.

師：好.我們可以看出求古典概型中事件發(fā)生概率的基本步驟有哪些？

生6：第一步，根據(jù)古典概型的兩個特點，判定試驗是否為古典概型;第二步，計算總的基本事件個數(shù);第三步，計算事件A包含的基本事件個數(shù);第四步，代入公式計算.

師：在使用古典概型的概率公式時，首先要判斷所用概率模型是不是古典概型.

5.精講訓(xùn)練，應(yīng)用概念，拓展思維

問題12（口答）：單選題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，一般是從A、B、C、D四個選項中選擇一個正確答案.如果考生掌握了考查的內(nèi)容，他可以選擇唯一正確的答案.假設(shè)考生不會做，他隨機地選擇一個答案，問他答對的概率是多少？

問題13：假設(shè)他用所學(xué)知識排除了[C]答案，那么他答對的概率是多少？

問題14：假設(shè)有20道單選題，如果有一個考生答對了17道，他是隨機選擇的可能性大，還是他掌握了一定的知識的可能性大？

問題15：新課程改革背景下，數(shù)學(xué)科考試中出現(xiàn)了多項選擇題，這種題型不容易得滿分，為什么？

設(shè)計意圖：題目來源于學(xué)生最熟悉的考試中選擇題的得分問題，貼近學(xué)生生活實際，是學(xué)生愿意思考的問題.讓他們理解數(shù)學(xué)來源于生活，并且服務(wù)于生活.通過對問題及其變式的探討，使學(xué)生進一步理解古典概型的兩個特征.

師生活動：學(xué)生討論后回答，教師適當(dāng)點評.

生1：問題12，他答對的概率為[14].

師：誰能用今天學(xué)習(xí)的古典概型的知識解釋一下？

生2：當(dāng)這位考生在不會做的情況下，他隨機選擇四個答案（有限性）中任意一個是等可能的（等可能性），所以符合古典概型的兩個特點.基本事件的總數(shù)是4，事件“選對答案”包含的基本事件個數(shù)是1，所以事件“選對答案”的概率是[14].

師：回答得非常好.

生3：問題13，假設(shè)他用所學(xué)知識排除了C答案，那么他答對的概率是[13].解釋跟問題12類似.

師：由此看來，排除法也是我們解選擇題的一種方法.

生4：問題14，假設(shè)有20道單選題，如果有一個考生答對了17道，他掌握了一定的知識的可能性比較大.因為如果他隨機選擇，每一題答對的概率都是[14].20道題，他答對的題數(shù)可能是5道，但是他答對了17道，說明他掌握了一定知識的可能性比較大.

師：回答得非常棒！

生5：多項選擇題不容易得滿分.這類題目一般有A、B、C、D四個選項，所有可能的基本事件有[A， B]，[A， C]，[A， D]，[B， C]，[B， D]，[C， D]，[A， B， C]，[A， B， D]，[A， C， D]，[B， C， D]，[A， B， C， D]，共11個，而正確答案只有一個，得滿分的基本事件只有1個，得滿分的概率為[111]，所以說多項選擇題不容易得滿分.

師：分析得很到位.

[例1]同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，計算向上的點數(shù)之和是5的概率是多少？

設(shè)計意圖：利用實例引導(dǎo)學(xué)生理解古典概型的兩個特點，進而把一些實際問題轉(zhuǎn)化為古典概型來計算概率，深化鞏固對古典概型及其概率計算公式的理解.

師生活動：師生共同分析，利用剛剛學(xué)習(xí)的利用古典概型求概率的步驟來解決問題.教師引導(dǎo)學(xué)生利用樹狀圖、列表法，形象直觀地列出所有基本事件，做到不重不漏.學(xué)生自己解答，教師巡視.

師：我們可以根據(jù)利用古典概型求概率的步驟來解決這個問題，同學(xué)們嘗試把這道題目分解為三個小問題.

生1：可以分解為三個小問題：（1）同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察向上的點數(shù)這個試驗是不是古典概型？（2）基本事件總數(shù)是多少？（3）向上的點數(shù)之和是5這個事件包含的基本事件個數(shù)是多少？

師：好的，下面我們圍繞分解的這三個小問題進行分析討論.

生2：我認(rèn)為這個試驗不是古典概型，因為雖然試驗滿足有限性，但是不滿足等可能性.

師：解釋一下你的結(jié)論.

生2：可以用樹狀圖來解釋.

共有21個基本事件，但是每一個基本事件出現(xiàn)的可能性是不同的，如1-1包含的基本事件只有一個，而1-2，2-1則有兩個.

師：你認(rèn)為1-2和2-1是同一種結(jié)果.外表相同的骰子有沒有區(qū)別呢？

學(xué)生陷入疑惑中.

生3：我們組認(rèn)為這個試驗是古典概型，可以用列表法來解釋.

把兩個骰子分別標(biāo)記為1號骰子和2號骰子，因為試驗包含的基本事件有36個，滿足有限性，而且每個基本事件發(fā)生的可能性是相等的，都是[136].

師：從剛才兩個小組同學(xué)的回答，我們看到，用古典概型計算概率時，一定要先判斷所給試驗是否為古典概型.

解：擲一個骰子的結(jié)果有6種.我們把兩個骰子標(biāo)上記號1，2以便區(qū)分，由于1號骰子的每一個結(jié)果都可與2號骰子的任意一個結(jié)果配對，組成同時擲兩個骰子的一個結(jié)果，因此同時擲兩個骰子的結(jié)果共有36種，向上的點數(shù)之和為5的結(jié)果（記為事件[A]）有4種.

由于所有36種結(jié)果是等可能的，因此，由古典概型的概率計算公式可得

[P（A）=436=19].

6.歸納自結(jié)，升華概念，形成能力

問題16：基本事件有什么特點？

問題17：古典概型有哪些特點？古典概型的概率計算公式是什么？

問題18：求古典概型中事件發(fā)生概率的基本步驟有哪些？

設(shè)計意圖：通過小結(jié)回顧，將學(xué)生在本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識融入自身的知識系統(tǒng)中.

師生活動：師生共同歸納總結(jié)本節(jié)課所學(xué)知識.

生1：基本事件有兩個特點：（1）任何兩個基本事件是互斥的;（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.

生2：古典概型有兩個特點：（1）試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件的個數(shù)只有有限個;（2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性都相等.

古典概型的概率計算公式：

[P（A）=A包含的基本事件的個數(shù)基本事件的總數(shù)].

生3：求古典概型中事件發(fā)生概率的基本步驟：第一步，根據(jù)古典概型的兩個特點，判定試驗是否為古典概型;第二步，計算總的基本事件個數(shù);第三步，計算事件[A]包含的基本事件個數(shù);第四步，代入公式計算.

（三）目標(biāo)檢測設(shè)計

1.課堂檢測

（1）假設(shè)儲蓄卡的密碼由6個數(shù)字組成，每個數(shù)字可以是0，1，2，…，9十個數(shù)字中的任意一個.假設(shè)一個人忘記了自己的儲蓄卡密碼的后四位，問他到自動取款機上隨機試一次就能取到錢的概率是多少？

（2）同時拋擲三枚均勻的硬幣，會出現(xiàn)幾種結(jié)果？求 “至多出現(xiàn)兩枚正面向上”的事件的概率.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生進一步掌握古典概型及其概率公式，并能夠?qū)W以致用，加深對本節(jié)課的理解.

2.課后檢測

A，B，C，D 4名學(xué)生按照任意次序站成一排照相，試求事件“A，B都不在邊上”的概率.

設(shè)計意圖：在理解掌握古典概型及其概率公式的基礎(chǔ)上，學(xué)生能夠自行探索較為簡單的排列組合問題，列舉基本事件時做到考慮全面，不重不漏.

四、教學(xué)反思

本節(jié)課的教學(xué)以問題為主線，學(xué)生圍繞問題不斷思考、交流、概括、歸納，從而獲取新知識，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力.

（一）對教學(xué)內(nèi)容反思

本節(jié)課是圍繞古典概型的概念、特征及其概率計算，會判斷那些隨機事件為古典概型的探索是教學(xué)重點，所以對于基本事件個數(shù)的復(fù)雜計算不做探討.為了讓學(xué)生能把握判斷的關(guān)鍵，從大量實例反復(fù)推敲、比較，螺旋式上升，穩(wěn)扎穩(wěn)打，落實重點.

（二）培養(yǎng)合情推理和合理應(yīng)用的意識

關(guān)注古典概型知識的合情推理，即它是現(xiàn)實生活中普遍存在的一種概型，通過學(xué)生舉例，發(fā)現(xiàn)這種概率模型在我們身邊隨處可見，研究它有廣泛的意義.另外，公式只在古典概型下適用，問問學(xué)生這一點在哪里體現(xiàn)，回顧古典概型的兩個特點，完善知識體系，在邏輯上明確合理性.

（三）反思預(yù)設(shè)與生成

學(xué)生一直都有事做，思維一直保持活躍，熱情不能冷卻，這些都是預(yù)設(shè)的期望.在教學(xué)設(shè)計時，保證在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)提問和組織教學(xué)活動，為學(xué)生搭建思維的臺階.但是學(xué)生的思維是有區(qū)別的，如果教師搭建的臺階都一般高，那顯然不能夠因材施教，因此教師要有角度看問題和問問題.這就像面對一個多面體，角度不同，生成的也就不同.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）