楊 揚， 張 萌

(1.西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安710072； 2.長安大學(xué) 理學(xué)院，西安710064)

1 引 言

《線性代數(shù)》是高等院校理工科各類專業(yè)的公共必修課程之一，其中涉及逆矩陣、最大線性無關(guān)組、特征值與特征向量、方陣的相似對角化等眾多重要但抽象的概念.教學(xué)中發(fā)現(xiàn)：關(guān)于上述概念的典型例題，大部分學(xué)生在求解時大方向是可以把握的.而一旦題目巧妙變動，錯誤率便會明顯升高，甚至有些學(xué)生毫無思路，無從下手.之所以出現(xiàn)這種情況，其關(guān)鍵在于學(xué)生對基本概念的理解不夠透徹，在相關(guān)概念的辨析和邏輯關(guān)系梳理上存在漏洞.為了便于學(xué)生理解，許多學(xué)者在概念的講解上進(jìn)行了大量有益的探索，如從線性變換的角度引入特征值與特征向量的概念[1-2]，通過概念類比和內(nèi)容重構(gòu)的方法講解線性代數(shù)中向量組的線性相關(guān)性、克拉姆法則、線性空間等知識點[3-6]，通過案例化教學(xué)穿插引入方陣的相似對角化知識[7-8]等.這些探索在幫助學(xué)生理解概念上有一定的幫助，但實踐發(fā)現(xiàn)：相比于這種用一個抽象概念來解釋另一個抽象概念的教學(xué)方法，對抽象概念進(jìn)行形象化的類比，更能幫助學(xué)生理解，同時也能加深學(xué)生的印象.

利用現(xiàn)實生活中的實物或例子，借助數(shù)形結(jié)合的思想，是幫助學(xué)生深入理解基本概念和相關(guān)性質(zhì)的一個有效渠道.實際上，這樣的例子在教學(xué)中多有存在，如“箭形”行列式、“階梯形”矩陣等概念，就是借助幾何形狀和生活實物的類比來直觀地描述行列式和矩陣的特點.這些來自于生活的形似化類比可以幫助學(xué)生更好地理解知識[9].

本文將針對向量組最大無關(guān)組、特征值與特征向量、方陣的相似對角化這三個《線性代數(shù)》中的重要知識點，通過生活中的實例開展形似化教學(xué)設(shè)計，以便學(xué)生更加深入透徹地理解相關(guān)知識.

2 典型的形似化教學(xué)設(shè)計案例

2.1 基于任務(wù)完成度分析的向量組最大無關(guān)組的形似化教學(xué)

向量組的最大無關(guān)組是線性代數(shù)課程《向量組的線性相關(guān)性》章節(jié)中，在線性表示、線性相關(guān)與線性無關(guān)等基本概念講解完成后引入的一個極其重要的知識點，對后續(xù)齊次線性方程組基礎(chǔ)解系、線性空間的基等概念的理解至關(guān)重要，其定義如下[10]：

設(shè)A為一個向量組，若A中存在r個向量α1，α2，…，αr，滿足：

(i)A0:α1，α2，…，αr線性無關(guān)；

(ii)A中任意r+1向量(如果有的話)都線性相關(guān)，

那么稱部分組A0為向量組A的一個最大線性無關(guān)組，r稱為向量組A的秩.

依據(jù)定義，可以看出最大無關(guān)組A0是由向量組A中的r個向量構(gòu)成的，是A的一個子集，但是這個子集對原向量組A的意義重大.由定義出發(fā)，教師通常會引導(dǎo)學(xué)生重點關(guān)注最大無關(guān)組的以下兩點基本性質(zhì)：

(i) 向量組A與最大無關(guān)組A0是等價的；

(ii) 向量組的最大無關(guān)組A0未必唯一.

與之前的線性表示、線性相關(guān)等概念簡單明確不同，最大無關(guān)組的概念在定義上給出了“存在”、“任意”等邏輯詞，學(xué)生理解起來會存在一定的模糊，需要教師重點辨析.此時，如果在對概念尚不十分清晰的狀態(tài)下，進(jìn)一步講解上述性質(zhì)，有些同學(xué)理解起來就更加困難了.

如果將向量組A看作是如下圖1所示的一個10人團(tuán)隊，那么最大無關(guān)組A0則可以看作是這個團(tuán)隊中的一個小組(如2/5/9組成的灰色小組或3/6/8組成的黑色小組)，這個小組是整個團(tuán)隊中的核心，它當(dāng)中每個成員都非常優(yōu)秀、不可或缺，是整個團(tuán)隊中的精英小組.現(xiàn)在有一項任務(wù)安排給這個10人團(tuán)隊完成，通過對任務(wù)的完成度進(jìn)行分析，可以構(gòu)建一套形似化教學(xué)方案，幫助學(xué)生更加清晰地理解最大無關(guān)組的上述2條性質(zhì)：

① 雖然任務(wù)是安排給整個團(tuán)隊的，但是往往由于團(tuán)隊中某些成員能力欠缺或態(tài)度消極(如圖中1/4/7/10號)，使得應(yīng)當(dāng)由他們來承擔(dān)的部分工作不得不由精英小組代為完成.這樣一來，精英小組可以完全代表整個團(tuán)隊來完成任務(wù)，他們的作用與整個團(tuán)隊的作用是相同的.因此，也就可以理解為向量組A與最大無關(guān)組A0是等價的；

② 在一個團(tuán)隊中，這樣的精英小組可能不只一個，如圖1中的灰色小組和黑色小組他們能力相當(dāng)，都可以獨立完成分配給整個團(tuán)隊的任務(wù)，也都可以作為整個團(tuán)隊的代言.因此，這也就可以理解為向量組的最大無關(guān)組A0未必唯一.

圖1 向量組最大無關(guān)組形似化教學(xué)設(shè)計示意圖

2.2 基于樹枝分叉結(jié)構(gòu)的特征值與特征向量的形似化教學(xué)

特征值與特征向量是線性代數(shù)中《矩陣的相似變換》章節(jié)中的重要基礎(chǔ)概念，其定義如下[10]：

設(shè)A=(aij)是n階方陣，若存在數(shù)λ和n維非零列向量x，使得

Ax=λx，

則稱數(shù)λ為方陣A的特征值，非零向量x為方陣A對應(yīng)于特征值λ的特征向量.

依據(jù)定義可以得到特征值和特征向量的計算方法，即A的全部特征值是其特征方程|A-λE|=0的所有根，而A對應(yīng)于特征值λi的全部特征向量即為齊次線性方程組(A-λiE)x=0的全部非零解.

上述定義和求解過程可以用圖2中示意圖進(jìn)行描述，同時也明確了特征值和特征向量的兩條性質(zhì)：

(i) 若某個非零向量x是A的對應(yīng)于某一特征值的特征向量，那么它只能對應(yīng)于這一個特征值；

(ii) 方陣A對應(yīng)于同一特征值的特征向量有無窮多個(圖2中用虛線表示集合含有無窮個元素).

圖2 特征值與特征向量求解過程及隸屬關(guān)系示意圖

除了根據(jù)定義和求解過程得到上述兩條性質(zhì)之外，事實上，《線性代數(shù)》中還證明了關(guān)于特征值和特征向量的另外一條重要性質(zhì)[10]：

(iii) 屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān).

上述三條性質(zhì)雖然字面上較易讀懂，但學(xué)生很難有直觀的認(rèn)識和深入的理解，因此當(dāng)題目靈活變通時會給他們的解題帶來障礙.

為了幫助學(xué)生更好地理解，觀察圖2中的結(jié)構(gòu)：“從方陣A出發(fā)——求特征值——求基礎(chǔ)解系——求全部特征向量”，這個過程就像一棵樹，一級一級地，最終生長為枝繁葉茂的參天大樹.因此，我們將圖2中的知識邏輯結(jié)構(gòu)形似化為圖3所示的樹枝分叉圖形.圖3中的大樹，由樹干、一級樹枝、二級樹枝及樹葉組成.其中，樹干就像是圖2中的方陣A，所有一級樹枝就是由方陣A這個樹干求出的全部特征值，而第i個一級樹枝上長出來的二級樹枝就可以看作是齊次線性方程組(A-λiE)x=0的基礎(chǔ)解系，這些二級樹枝及其上的所有樹葉便是對應(yīng)于特征值λi的全部特征向量.在上述形似化類比之下，可以用圖3來更加清晰地解釋特征向量和特征向量的隸屬關(guān)系及上述三條性質(zhì)：

圖3 特征值與特征向量形似化教學(xué)設(shè)計示意圖

① 在一棵樹上，同一片樹葉永遠(yuǎn)不會隸屬于兩根一級樹枝.類比之下，同一個非零特征向量也永遠(yuǎn)不會對應(yīng)于兩個不同的特征值，因此A的任一特征向量都只能對應(yīng)于一個特征值，即性質(zhì)(i)；

② 對于特征值λi，即第i個一級樹枝來說，隸屬于它的全部樹枝及樹葉均由λi的所有二級樹枝衍生而來，可類比為：屬于同一特征值的全部特征向量是齊次線性方程組(A-λiE)x=0的全部非零解，均由(A-λiE)x=0基礎(chǔ)解系(即其全部二級樹枝)線性組合而來，因而有無窮多個，此即性質(zhì)(ii)(當(dāng)然，由于特征向量不能為零向量，因此在教學(xué)中要給學(xué)生強(qiáng)調(diào)這個線性組合的系數(shù)不全為零)；

③ 此外，可將這棵樹想得更夸張一點，它的所有一級樹枝之間都距離很遠(yuǎn)，遠(yuǎn)到隸屬于不同一級樹枝上的樹葉都不可能接觸到，則可類比為“屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)”，此即性質(zhì)(iii).

樹木是我們生活中處處可見的事物，它的“干-枝-葉”結(jié)構(gòu)不僅可以幫助學(xué)生形象地理解特征值和特征向量的邏輯關(guān)系和重要性質(zhì)，同時也使學(xué)生對知識有非常深刻的印象，對學(xué)生的學(xué)習(xí)大有助益.

2.3 基于分地產(chǎn)糧模型的方陣相似對角化的形似化教學(xué)

方陣的相似對角化問題是線性代數(shù)課程《矩陣的相似變換》章節(jié)中的核心內(nèi)容.方陣的相似對角化主要包括兩個環(huán)節(jié)：首先，判斷該方陣能否相似對角化；其次，在可對角化的前提下，求解相似變換矩陣，完成對該方陣的對角化.實際中，這兩個環(huán)節(jié)是在同一個核心過程中完成的，相關(guān)定理如下：

定理n階方陣A能夠相似對角化的充要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量.

由定理及其證明過程可知[10]，判斷一個n階方陣能否相似對角化，實際上就是判斷它是否有n個線性無關(guān)的特征向量：如果沒有，則其不能相似對角化；如果有，則可以相似對角化，并且相似變換矩陣就是由這n個線性無關(guān)的特征向量為列所組成的矩陣.這個結(jié)論簡潔清晰，但問題隨即轉(zhuǎn)化為：什么情況下n階方陣能有n個線性無關(guān)的特征向量呢？

事實上，關(guān)于這一問題有幾個重要結(jié)論：

(i)n階方陣A的全部互異特征值λ1，λ2，…，λt可由特征方程求出，其作為特征方程的根的重數(shù)ni(i=1，2，…，t)稱為該特征值的代數(shù)重數(shù).由于特征方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)恰好有n個根(重根按重數(shù)計算)，因此n階方陣A的所有特征值的代數(shù)重數(shù)之和必為n，即n1+n2+…+nt=n；

(ii) 齊次線性方程組(A-λiE)x=0的解空間的維數(shù)mi，稱為特征值λi的幾何重數(shù)，也是該特征值可以貢獻(xiàn)的線性無關(guān)特征向量的最大個數(shù).對于方陣A來說，它的每個特征值能貢獻(xiàn)的線性無關(guān)特征向量的最大個數(shù)mi至少為一個，至多則不會超過其代數(shù)重數(shù)ni，即1≤mi≤ni(i=1，2，…，t)[11]；

(iii)n階方陣A能否找到n個線性無關(guān)特征向量的關(guān)鍵在于其所有特征值的幾何重數(shù)之和是否為n.結(jié)合(i)和(ii)，這可等價地轉(zhuǎn)述為A的每個特征值的幾何重數(shù)是否都和其代數(shù)重數(shù)相等，即是否有mi=ni(i=1，2，…，t).顯然，代數(shù)重數(shù)為1的特征值對該問題的答案并無影響，這是因為根據(jù)(i)和(ii)的結(jié)論，其代數(shù)重數(shù)跟幾何重數(shù)必然相等.因此，決定因素在于A的每個代數(shù)重數(shù)大于1的特征值；

(iv) 如果n階方陣A的每個特征值的幾何重數(shù)都等于其代數(shù)重數(shù)，即mi=ni(i=1，2，…，t)，由于屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)，因此把所有特征值能貢獻(xiàn)的所有線性無關(guān)的特征向量合在一起，恰為n個線性無關(guān)的特征向量，即m1+m2+…+mt=n，此時n階方陣A便可以相似對角化；反之，只要有一個特征值的幾何重數(shù)小于它的代數(shù)重數(shù)，那么把A的全部特征值能貢獻(xiàn)的線性無關(guān)的特征向量合在一起，其總數(shù)一定小于n，此時A便不能相似對角化.

上述內(nèi)容結(jié)構(gòu)比較清晰，但邏輯比較抽象，因此一些同學(xué)會感覺比較繞，或者感覺結(jié)論較多記不住.為了便于學(xué)生形象地理解和加深記憶，采用富人分地—產(chǎn)糧這一生活化的例子對其進(jìn)行了形似化教學(xué)設(shè)計.如圖4，把n階方陣A看作是一位年老力衰的富人，他有n塊大小相同的土地.因為年事已高，他把這n塊土地全部分給他的t(t≤n)個孩子λ1，λ2，…，λt去經(jīng)營.但是富人對這t個孩子的偏愛程度有所不同，因此他在分地的時候并非平均分配，而是分別分給他們n1，n2，…，nt塊土地(n1+n2+…+nt=n).接下來，可以通過討論這t個孩子管理所得土地的產(chǎn)出，來判斷富人的家族財富能否得以延續(xù).

圖4 方陣的相似對角化教學(xué)設(shè)計示意圖

在這個形似化案例中，擁有n塊土地的富人代表n階方陣A，而他的t個孩子則代表A的t個互異特征值λ1，λ2，…，λt，每個孩子所分得的土地塊數(shù)n1，n2，…，nt則代表A的每個特征值的代數(shù)重數(shù)，而這些土地所產(chǎn)出的糧食份數(shù)m1，m2，…，mt可看作是相應(yīng)的幾何重數(shù).那么，根據(jù)代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)的關(guān)系，做出以下兩點假設(shè)：

① 每塊土地不會產(chǎn)出超過1份糧食，因此ni塊土地產(chǎn)出的糧食總數(shù)mi不會超過ni.這類比于每個特征值的幾何重數(shù)不會超過其代數(shù)重數(shù)；

② 僅分得1塊土地的孩子都非常勤勞，他們可以保證自己的1塊土地能產(chǎn)出1份糧食，而不會更少.這類比于代數(shù)重數(shù)為1的特征值的幾何重數(shù)也一定為1.

如此，可以很形象地通過土地的產(chǎn)出來判斷富人的家族財富能否延續(xù).顯然，如果所有那些被他偏愛的孩子(分得多于1塊土地的孩子，亦即代數(shù)重數(shù)大于1的特征值)沒有好吃懶做，都非常努力，其所分得的土地都可以產(chǎn)出相應(yīng)份數(shù)的糧食(代數(shù)重數(shù)等于幾何重數(shù)，即mi=ni(i=1，2，…，t))，那么所有孩子產(chǎn)出的糧食合在一起恰好是n份(n階方陣A有n個線性無關(guān)的特征向量).此時，總產(chǎn)出與土地的總塊數(shù)吻合，即m1+m2+…+mt=n，因此富人的家族財富可得以延續(xù)(A可以相似對角化).但是，如果有任何一個被偏愛的孩子所貢獻(xiàn)的糧食數(shù)量少于他所分得的土地數(shù)量(幾何重數(shù)小于代數(shù)重數(shù))，那么糧食總數(shù)也一定達(dá)不到所有土地應(yīng)該產(chǎn)出的數(shù)量n(A不存在n個線性無關(guān)的特征向量)，此時富人的家族財富顯然有所縮水，而不能得以延續(xù)(A不能相似對角化).

進(jìn)一步，圖4還可以推廣到實對稱矩陣的對角化問題.不同于普通方陣能否相似對角化是有條件的，實對稱矩陣的相似對角化是無條件的，也就是說，實對稱矩陣一定可以相似對角化.在圖4的框架下，可以形象地將實對稱矩陣看作一位所有孩子都很有能力、很爭氣的富人，他的每一個孩子都能讓手里的土地產(chǎn)出相應(yīng)數(shù)量的糧食.因此實對稱矩陣這位富人，不必像普通富人一樣，擔(dān)心家族財富縮水，也就是一定可以相似對角化.

富人分地-產(chǎn)糧這種生活化的例子，可以幫助學(xué)生更加形象地理解方陣相似對角化的條件，同時能夠特別加深學(xué)生的印象，使學(xué)生對知識的記憶更加牢固，從而提高教學(xué)質(zhì)量.

3 形似化教學(xué)設(shè)計實踐效果

形似化教學(xué)在幫助學(xué)生理解和固化知識方面有非常大的作用.為了能夠定量地展現(xiàn)其優(yōu)勢，在教學(xué)中采用上述形似化教學(xué)范例時，均設(shè)計了相關(guān)試驗.試驗的基本過程如下：首先，在往年練習(xí)和考試的題庫中提前選擇了10道相關(guān)知識點的題目，其中1-8題難度接近，屬一般難度，9-10題難度接近且難度稍高.將10道題目隨機(jī)分為A、B兩組，每組5道題，其中均包括一道難度稍高的題；其次，在已傳授知識點但未引入形似化案例時，將A組題目發(fā)布給學(xué)生進(jìn)行解答；再次，在引入形似化案例之后，將B組題目發(fā)布給同一批學(xué)生進(jìn)行解答；最后，對A、B組題目的答題情況進(jìn)行統(tǒng)計分析.統(tǒng)計結(jié)果如圖5所示，其中范例1表示特征值與特征向量教學(xué)試驗，范例2表示方陣的相似對角化教學(xué)試驗.經(jīng)統(tǒng)計對比發(fā)現(xiàn)，使用了范例1和范例2進(jìn)行形似化教學(xué)后，學(xué)生5道題目的平均錯誤率均明顯降低，分別由21%和28%下降到9%和12%，尤其對于難度較大的題目，錯誤率下降更加明顯，分別由27%和32%下降到12%和14%，這說明形似化范例的引入使得學(xué)生更能厘清知識的深層邏輯結(jié)構(gòu)，能幫助學(xué)生從本質(zhì)上理解和記憶知識，因此相對于引入形似化案例之前，學(xué)生更能應(yīng)對題目難度的增加，解答也更有把握.

圖5 形似化教學(xué)試驗結(jié)果

此外，作者自2018年開始對形似化教學(xué)進(jìn)行系統(tǒng)性、規(guī)范性研究，形成了若干形似化教學(xué)范例，并將之應(yīng)用于《線性代數(shù)》教學(xué)中，取得了良好的實踐效果.圖6列出了2017-2019年的學(xué)生成績，可以看出引入了形似化教學(xué)設(shè)計后，學(xué)生的整體成績得到明顯改善：優(yōu)秀學(xué)生(90分以上)的比例由2017年的13.1%增長至2019年的29.3%，2019學(xué)年80分以上的學(xué)生比例接近60%；同時，自引入形似化教學(xué)設(shè)計后，不及格學(xué)生的比例明顯下降，由2017年的21.2%下降至2018和2019年的12%左右.這些數(shù)據(jù)證明了形似化教學(xué)設(shè)計對學(xué)生理解《線性代數(shù)》課程中抽象復(fù)雜的內(nèi)容具有積極有益的作用.

圖6 2017-2019年分?jǐn)?shù)段統(tǒng)計圖

4 結(jié) 論

形似化教學(xué)設(shè)計可以幫助學(xué)生更加深入透徹地理解知識，同時加深印象、強(qiáng)化記憶，促進(jìn)知識內(nèi)化.本文給出了《線性代數(shù)》中三個形似化教學(xué)范例，實踐表明這種形似化教學(xué)范例可以有效地幫助學(xué)生明晰概念的內(nèi)涵和邏輯關(guān)系，提高教學(xué)質(zhì)量.此外，形似化教學(xué)設(shè)計思想也具有良好的可復(fù)制性，可以在其他課程當(dāng)中予以應(yīng)用和發(fā)展.

致謝感謝參考文獻(xiàn)給予本文的有益啟發(fā)及審稿專家們的寶貴意見.