曹立飛，曹紅松,*，劉鵬飛，劉恒著，肖艷文

1.中北大學(xué) 機電工程學(xué)院，太原 030051

2.中國人民解放軍 32381部隊，北京 100071

近年來，二維彈道修正技術(shù)越來越多的應(yīng)用于常規(guī)彈箭，其中固定鴨舵修正機構(gòu)由于命中精度高、控制方式簡單、控制力可連續(xù)輸出，被廣泛應(yīng)用于常規(guī)彈藥的改造升級，固定舵面的作用是通過外部差動翼面的氣動力和內(nèi)部電機控制力配合來實現(xiàn)對同向舵的控制，該機構(gòu)只需衛(wèi)星導(dǎo)航和地磁信息便可實現(xiàn)簡易制導(dǎo)[1-2]，成本較低。目前在該領(lǐng)域的研究主要集中在引信滾轉(zhuǎn)角控制方法[3]、氣動特性及修正能力[4]、落點預(yù)測修正制導(dǎo)方法[5]等方面。

大量文獻顯示，目前常規(guī)彈箭采用的制導(dǎo)算法主要有3類：第1類為軌跡跟蹤制導(dǎo)[6-7]；第2類為軌跡整形制導(dǎo)[8-11]；第3類為落點預(yù)測制導(dǎo)[12-15]；而固定鴨舵修正機構(gòu)由于舵偏角恒定，其控制力大小不可調(diào)，控制力方向由鴨舵相位角決定，傳統(tǒng)制導(dǎo)算法和控制策略已很難適用[16]。文獻[17]對比分析了落點預(yù)測、彈道跟蹤和比例導(dǎo)引在二維修正火箭彈上的修正效果，結(jié)果表明比例導(dǎo)引法的密集度好于彈道跟蹤法；落點預(yù)測為得到較好密集度需獲取大量彈道諸元，導(dǎo)致控制機構(gòu)成本上升[18]；而比例導(dǎo)引因其計算簡單、魯棒性和可實現(xiàn)性強[19]，可作為一種同時兼顧控制精度和低成本的解決方案。但比例導(dǎo)引會生成幅度變化過大的控制指令與固定鴨舵有限的可用過載不兼容[20]，其導(dǎo)引系數(shù)選取不合理也會導(dǎo)致彈丸穩(wěn)定性差或控制能力不足、修正段末端過載高和控制系統(tǒng)失效[21]。文獻[22]采用粒子群優(yōu)化(PSO)算法優(yōu)化導(dǎo)引系數(shù)顯著降低了需用過載，文獻[23]研究了一種自適應(yīng)系數(shù)比例導(dǎo)引法來解決控制末段過載問題。

針對上述問題，本文提出了一種基于差分進化(DE)算法的固定鴨舵二維修正彈比例導(dǎo)引律參數(shù)優(yōu)化方法，對基于衛(wèi)星導(dǎo)航和地磁信息的比例導(dǎo)引律進行研究，引入過載閾值制定控制策略；通過對比不同變異策略對DE算法的影響得到適用于比例導(dǎo)引律參數(shù)優(yōu)化的最優(yōu)變異策略。采用DE算法對過載閾值、橫向平面和縱向平面導(dǎo)引系數(shù)進行優(yōu)化；最后通過仿真分析驗證了算法有效性。

1 固定鴨舵修正機構(gòu)受力分析

固定鴨舵二維彈道修正彈如圖1所示，是由前體固定鴨舵和后體彈丸構(gòu)成的雙旋結(jié)構(gòu)彈丸；前體由一對同向舵和一對差動舵組成，F(xiàn)C為舵面控制力，φc為轉(zhuǎn)動相位角，舵偏角δZ為4°，其中差動舵2、4的舵偏角方向相反，可以在飛行過程中為前體提供滾轉(zhuǎn)控制力矩；同向舵1、3的舵偏角方向相同，固定不旋轉(zhuǎn)時，在氣動力作用下可以產(chǎn)生控制力。在彈丸需要軌跡修正時，前體在引信中電機的控制下停止在某一相位角，產(chǎn)生所需方向的控制力；否則，由于差動舵產(chǎn)生的滾轉(zhuǎn)力矩作用，前體以一定速度自由滾動，旋轉(zhuǎn)方向與后體相反，此時同向舵在一個滾轉(zhuǎn)周期內(nèi)產(chǎn)生的合力為零，彈丸軌跡不受控制。固定舵二維彈道修正彈的關(guān)鍵是根據(jù)彈道偏差信息確定前體的控制相位角。本文在彈軸坐標(biāo)系和彈道坐標(biāo)系對固定鴨舵修正機構(gòu)進行受力分析。

圖1 固定鴨舵修正機構(gòu)示意圖

1.1 鴨舵控制力和力矩

在準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系中舵面偏轉(zhuǎn)δZ所產(chǎn)生的軸向、法向和側(cè)向控制力分別為FCX、FCY、FCZ。由前體坐標(biāo)系下計算的控制力3個分量向彈道坐標(biāo)系中轉(zhuǎn)換可得

(1)

(2)

L(α*,β*)=

(3)

FCX1、FCY1可表示為

(4)

其中：ρ為大氣密度；S1為彈丸參考面積；cx0為舵面零升阻力系數(shù)；cy為舵提供的升力系數(shù)；k2為誘導(dǎo)阻力項系數(shù)；V為相對速度；γ為前體滾轉(zhuǎn)角；δr為相對攻角。

記質(zhì)心所在赤道面距離舵面壓心為lc，其在前體坐標(biāo)系OξF、OηF、OζF軸上的操縱力矩分量轉(zhuǎn)換到彈軸坐標(biāo)系內(nèi)可表示為

(5)

1.2 前后體間的相互作用力與力矩

固定鴨舵修正彈的前后體之間通過軸承連接，分別以前后體為研究對象，由牛頓第二定律可得

mAaA=FA+FV

(6)

mFaF=FF-FV

(7)

式中：aF和aA分別為前后體質(zhì)心加速度；FF和FA分別為作用在前體和后體上的總氣動力；FV為前后體之間的相互作用力。

由式(6)和式(7)可得

(8)

對前后體連接軸承產(chǎn)生的黏性阻尼力矩MV1和滾動摩擦力矩MV2進行分析[24]可得

MV1=CV(ωFξ-ωAξ)

(9)

式中：CV為黏性阻尼系數(shù)；ωFξ和ωAξ分別為前體和后體的轉(zhuǎn)動角速度。

MV2=

{f1dmFs+f0[v(ωFξ-ωAξ)0.667dm3×

10-7]}×sign(ωFξ-ωAξ)

(10)

式中：f1為載荷系數(shù)；Fs為軸承連接處約束力；dm和f0分別為軸承平均直徑和軸承結(jié)構(gòu)與潤滑方法調(diào)節(jié)系數(shù)；v為潤滑劑的運動粘度。

前后體連接軸承產(chǎn)生的阻尼力矩MV為MV1、MV2之和。

根據(jù)以上受力分析可以得到固定鴨舵二維修正彈空間運動剛體彈道方程。本文彈道解算所用的鴨式布局固定舵雙旋彈7DOF剛體彈道模型詳細說明見文獻[24]。

2 引入過載閾值的比例導(dǎo)引方法

2.1 彈目運動關(guān)系分析

彈丸與地面固定目標(biāo)的相對運動關(guān)系如圖2所示。圖中：彈丸和目標(biāo)在地面坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別為(xM,yM,zM)T和(xT,yT,zT)T，速度矢量分別為[vMx,vMy,vMz]T和[vTx,vTy,vTz]T，則彈目斜距r和相對速度vTM為[24]

圖2 彈箭與目標(biāo)相對運動示意圖

(11)

(12)

按上面的定義，彈目斜距和相對速度大小為

(13)

(14)

(15)

(16)

由圖2可知，彈目視線俯仰角qθ和彈目視線偏航角qψ分別為

(17)

(18)

式中：qθ為彈目線與水平面夾角，彈目線指向水平面上方為正；qψ為彈目線在水平面的投影與Ox軸的夾角，迎Oy軸俯視，由Ox軸向彈目線水平面投影若是逆時針旋轉(zhuǎn)，則qψ為正。

(19)

(20)

2.2 重力補償比例導(dǎo)引律

比例導(dǎo)引法是指導(dǎo)彈在攻擊目標(biāo)的導(dǎo)引過程中，導(dǎo)彈速度矢量的旋轉(zhuǎn)角速度與目標(biāo)線的旋轉(zhuǎn)角速度成比例的導(dǎo)引方法，其導(dǎo)引關(guān)系為

(21)

(22)

式中：Kθ和Kψ分別為縱向平面和橫向平面的比例導(dǎo)引系數(shù)。

(23)

由于彈丸升力較低，因此，在忽略升力的情況下，由重力影響引起的彈道傾角變化率為

(24)

代入式(23)并整理后得

(25)

2.3 引入過載閾值的控制策略

基于上述導(dǎo)引律，彈載衛(wèi)星導(dǎo)航傳感器每0.1秒 獲得真實軌跡的速度和位置信息，彈載計算機采樣后解算出彈目視線俯仰角速率和偏航角速率并生成指令信號，同時利用地磁探測結(jié)果進行修正機構(gòu)相位角解算并控制固定鴨舵使其穩(wěn)定在該設(shè)定角度，以修正真實軌跡。

2.3.1 控制指令生成

由于重力加速度始終垂直向下，由比例導(dǎo)引產(chǎn)生的需用過載要在縱向平面進行重力加速度補償，則重力補償比例導(dǎo)引的需用過載由式(22)和式(23)可得[21,25]

(26)

(27)

式中：nyc和nzc分別為縱向過載和橫向過載；由式(26)和式(27)中過載控制指令可以得到執(zhí)行機構(gòu)需用過載Γc和相位角φc為

(28)

(29)

2.3.2 控制策略

與預(yù)期相同，圖3表明，當(dāng)修正機構(gòu)被設(shè)定在固定的相位角直到彈丸落地，修正能力隨啟控時間的延遲而減少。如果修正控制從彈道頂點(19.6 s)開始，最大修正能力為：縱向248 m，橫向220 m。

圖3 修正能力

由于固定鴨舵式修正機構(gòu)采用固定舵偏角，其有限的可用過載與比例導(dǎo)引產(chǎn)生的變化較大的控制幅度不兼容，在修正過程中無法全程滿足比例導(dǎo)引的需用過載，所以不能保證彈丸照按所需彈道飛行造成脫靶。

為解決上述問題，引入過載閾值ΓTHRES作為標(biāo)志量，在飛行控制系統(tǒng)的每個計算周期中，進行檢查來控制修正機構(gòu)的相位角，舵機由旋轉(zhuǎn)變?yōu)橥Ｖ共⒐潭ㄔ谀骋幌辔槐仨殱M足比例導(dǎo)引制導(dǎo)律的需用過載大于過載閾值，即

Γc>ΓTHRES

(30)

通過上述分析可知，在比例導(dǎo)引律實現(xiàn)過程中，Kθ，Kψ，ΓTHRES的選取問題，實質(zhì)上是一個參數(shù)優(yōu)化問題，會影響導(dǎo)引律的需用過載及控制系統(tǒng)的穩(wěn)定，可以使用最優(yōu)化理論進行求解。

3 比例導(dǎo)引律參數(shù)優(yōu)化

對于第2節(jié)提出的參數(shù)優(yōu)化問題，由于彈箭動力學(xué)模型的高度非線性，與傳統(tǒng)優(yōu)化算法相比智能優(yōu)化算法能夠更有效的解決該問題。

3.1 比例導(dǎo)引律優(yōu)化建模

1) 設(shè)計變量的選取

在參數(shù)優(yōu)化中，對于式(21)和式(22)所示的重力補償比例導(dǎo)引律，選取縱向平面和橫向平面的導(dǎo)引系數(shù)以及過載閾值作為優(yōu)化過程中的設(shè)計變量，如式(31)所示：

X=[Kθ,Kψ,ΓTHRES]T

(31)

2) 目標(biāo)函數(shù)的建立

根據(jù)比例導(dǎo)引原理及控制策略設(shè)計，要達到制導(dǎo)律最優(yōu)需要彈丸落點與目標(biāo)距離最小，故選取落點彈目距離最小作為目標(biāo)函數(shù)。

3) 優(yōu)化過程中的約束

在比例導(dǎo)引中，各參數(shù)的變化范圍有限，優(yōu)化過程中還須考慮各種約束限制，約束條件還可避免計算結(jié)果出現(xiàn)偏差，提高計算效率并獲得符合實際導(dǎo)引要求的優(yōu)化結(jié)果。對于比例導(dǎo)引系數(shù)Kθ和Kψ，其取值范圍為[-5,5]，過載閾值ΓTHRES取值范圍為[0,0.5]。

整理可得重力補償比例導(dǎo)引律參數(shù)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如式(32)所示：

minr=minr(X)

(32)

式中：X∈R，約束域R為

(33)

3.2 基于DE算法的導(dǎo)引律參數(shù)優(yōu)化

DE算法是一種基于差分算子的遺傳進化優(yōu)化技術(shù)，通過變異、交叉和選擇操作不斷收斂至優(yōu)化問題最優(yōu)解附近[26]?；贒E算法的導(dǎo)引律參數(shù)優(yōu)化流程如圖4所示，具體步驟如下：

圖4 基于DE算法的導(dǎo)引律參數(shù)優(yōu)化流程

1) 初始化操作：在整個參數(shù)設(shè)計搜索空間中，隨機生成NP(i=1,2,…,NP)個個體，作為初始種群，如式(34)所示，其中每個個體是由Kθ、Kψ、ΓTHRES組成的向量。

(34)

2) 使用優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)估算種群中每一個個體的目標(biāo)函數(shù)值，即落點彈目距離最小。

3) 創(chuàng)建新的種群。

表1 常用變異策略[27]

② 交叉操作：采用交叉算子來提高種群的多樣性。通過交叉操作的概率從突變向量和目標(biāo)向量中選擇試驗向量。交叉操作為

(35)

③ 選擇操作：選擇操作決定目標(biāo)矢量是否保存到下一代種群中，對于每一個變異矢量和與其相應(yīng)的當(dāng)前種群中的目標(biāo)矢量來說，都要通過貪婪選擇方案來比較它們的目標(biāo)函數(shù)值如式(36)所示，具體操作為

(36)

4) 重復(fù)步驟2)和3)，直到滿足終止條件，對制導(dǎo)律參數(shù)優(yōu)化問題來說，達到落點彈目距離最小或迭代次數(shù)達到設(shè)定值為終止條件。

3.3 DE算法最佳變異策略

DE算法中，縮放因子F和交叉率CR等控制參數(shù)的選擇對優(yōu)化的有效性、計算效率和魯棒性有很大的影響[28]，針對比例導(dǎo)引問題特點，選擇權(quán)重因子F=0.5，交叉常數(shù)CR=0.9，種群中個體數(shù)量為30，最大迭代數(shù)為100[29-31]，目標(biāo)函數(shù)值小于1.0×10-6時停止迭代。

針對比例導(dǎo)引參數(shù)優(yōu)化問題，本文選取13種變異策略進行研究。從圖5可知，部分變異策略出現(xiàn)“早熟”現(xiàn)象，目標(biāo)函數(shù)值提前進入局部最優(yōu)解并在局部最優(yōu)解附近搖擺，出現(xiàn)收斂緩慢的現(xiàn)象，優(yōu)化性能不佳；針對比例導(dǎo)引律優(yōu)化問題，DEest1in和DE and-to-best1in 2種變異策略的DE算法效果最佳，此2種策略分別在第7代和第12代種群收斂到六階精度，收斂速度快，沒有明顯“早熟”現(xiàn)象。以上2種策略優(yōu)化得到的最優(yōu)導(dǎo)引律參數(shù)如表2所示。將DEest1in和DE and-to-best1in 2種策略針對過載閾值ΓTHRES和縱向?qū)б禂?shù)Kψ的收斂速度及精度相近，而橫向平面導(dǎo)引系數(shù)收斂曲線如圖6所示，DEest1in策略收斂迅速，在第6代種群便達到穩(wěn)定值，而DE and-to-best1in策略仍由波動，在第22代種群后才達到穩(wěn)定值；所以最終選用DEest1in策略的DE算法對比例導(dǎo)引參數(shù)進行優(yōu)化，并取優(yōu)化后的參數(shù)進行彈道仿真。

圖5 不同變異策略的收斂曲線

表2 參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

圖6 Kθ迭代曲線

4 仿真分析

4.1 控制彈道仿真

為了驗證引入過載閾值并采用DE算法優(yōu)化導(dǎo)引律參數(shù)的比例導(dǎo)引制導(dǎo)律，本文以加裝固定鴨舵的迫彈為例進行仿真分析。迫彈的物理參數(shù)見表3。

表3 彈丸物理參數(shù)

迫彈理想條件下的彈道初值諸元見表4，45°射角的落點坐標(biāo)為(7 294 m，0 m，0 m)，迫彈的縱向和橫向散布為射程的1/130和1/290，設(shè)定目標(biāo)的坐標(biāo)為(7 400 m，0 m，100 m)，彈道比例導(dǎo)引的啟控時間設(shè)定為彈道頂點(19.8 s)開始啟控；分別對引入過載閾值和常規(guī)比例導(dǎo)引進行仿真，其中常規(guī)比例導(dǎo)引也采用4.1節(jié)經(jīng)過優(yōu)化的橫向和縱向比例導(dǎo)引系數(shù)，仿真結(jié)果如圖7～圖12所示。

圖12 控制段修正機構(gòu)過載

表4 理想彈道初值諸元

如圖7所示，引入過載閾值的比例導(dǎo)引和常規(guī)比例導(dǎo)引控制的迫彈落點分別為：(7 400 m，0 m， 100 m)和(7 399.8 m，0 m，100 m)，都達到了預(yù)定落點，修正精度較好；但由圖8和圖9可知，在達到相同修正精度的條件下，常規(guī)比例導(dǎo)引的控制機構(gòu)從啟控開始一直在接收控制指令并進行修正控制且相位角在短時間內(nèi)變化幅度較大，而引入過載閾值后，控制時間比常規(guī)比例導(dǎo)引減少20%，相位角在正向區(qū)間內(nèi)變化，控制效率明顯提高。啟控后由于舵機產(chǎn)生控制力導(dǎo)致彈體力矩發(fā)生變化，致使彈丸攻角和俯仰角產(chǎn)生突變；由圖10和圖11可知，引入過載閾值后，由于控制力由連續(xù)作用變?yōu)榉侄慰刂?，避免了控制力矩引起的彈丸穩(wěn)定力矩持續(xù)減小和攻角的連續(xù)增大，使攻角和俯仰角變化幅度減小，尤其在控制末段彈丸穩(wěn)定性明顯提高。

圖7 橫偏vs射程

圖8 控制指令曲線

圖9 控制相位角曲線

圖10 控制段攻角

圖11 控制段俯仰角變化

在制導(dǎo)律設(shè)計過程中，需用過載盡量小有利于提高制導(dǎo)精度，同時對舵機結(jié)構(gòu)強度、功率要求等都有利，對常規(guī)比例導(dǎo)引的導(dǎo)引系數(shù)進行優(yōu)化可有效降低其需用過載[25]；由圖12可知，常規(guī)比例導(dǎo)引在啟控后過載持續(xù)增大，引入過載閾值后，控制機構(gòu)過載顯著降低，有助于降低彈體和舵機載荷，減小控制誤差，提高修正機構(gòu)可靠性，保證修正機構(gòu)正常工作。

4.2 蒙特卡洛仿真

使用蒙特卡洛法進行仿真，首先分析了不同射角和初速對應(yīng)的優(yōu)化參數(shù)適應(yīng)性，然后以射角45°和初速341 m/s為初始條件對控制精度進行分析。蒙特卡洛法中考慮的隨機擾動因素均符合正態(tài)分布，其誤差范圍如表5所示。

表5 擾動參數(shù)

1) 適應(yīng)性分析

選取擾動無控落點中與目標(biāo)點偏差最大的彈道，使用DE算法對射角為45°時不同初速，以及初速為341 m/s時不同射角對應(yīng)的多種工況下的導(dǎo)引律參數(shù)和過載閾值進行優(yōu)化，結(jié)果如表6和表7所示，結(jié)果表明： 在不同工況下的圓概率誤差 (CEP) 均小于10 m，可以看出優(yōu)化后的導(dǎo)引律參數(shù)表現(xiàn)出較好的適應(yīng)性；即使在射角較大，迫彈穩(wěn)定裕量較小的情況下也有良好的表現(xiàn)。

表6 射角為45°時不同初速的參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

表7 初速為341 m/s時不同射角的參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

2) 控制精度

45°射角時，擾動無控和擾動有控彈道的落點散布如圖13所示。擾動無控狀態(tài)下縱向偏差最大為288 m，橫向偏差最大為101 m；擾動有控狀態(tài)下縱向偏差最大為68.2 m，橫向偏差最大為10.6 m。使用比例導(dǎo)引當(dāng)制導(dǎo)和控制系統(tǒng)啟動時，偏差量明顯減小，CEP由無控狀態(tài)的68 m減小至5 m內(nèi)。結(jié)果表明，本文提出的引入過載閾值并通過DE算法優(yōu)化的比例導(dǎo)引律適用于固定鴨舵修正機構(gòu)的低自旋迫彈。

圖13 蒙特卡洛仿真結(jié)果

5 結(jié) 論

針對固定鴨舵二維修正機構(gòu)控制力有限和比例導(dǎo)引法控制末段需用過載變化過大的問題，本文提出了一種引入過載閾值的比例導(dǎo)引律控制策略，并建立了以橫向和縱向?qū)б禂?shù)及過載閾值為設(shè)計變量的比例導(dǎo)引律參數(shù)優(yōu)化設(shè)計模型，并基于DE算法對該問題進行求解。通過仿真分析得到以下結(jié)論：

1) 與傳統(tǒng)比例導(dǎo)引律相比，引入過載閾值后，可有效地提高彈丸控制效率及飛行穩(wěn)定性、減少控制段過載。

2) 優(yōu)化后的比例導(dǎo)引率參數(shù)，對不同的落點彈目距離及隨機擾動具有較強的適應(yīng)性。

3) 基于DE算法進行比例導(dǎo)引律參數(shù)優(yōu)化設(shè)計，是一種合理、有效的設(shè)計方法。