鄭神州， 康秀英

(1. 北京交通大學(xué) 理學(xué)院，北京 100044; 2. 北京師范大學(xué) 物理系， 北京 100875)

狄拉克δ-函數(shù)是一類“奇怪”的函數(shù)，有廣泛應(yīng)用. 它按照通常古典的函數(shù)定義方式是無法做到，實際上它是非通常意義下的“函數(shù)”，更準(zhǔn)確地稱為“廣義函數(shù)、Schwarz分布函數(shù)或泛函”，它是以英國理論物理學(xué)家狄拉克名字命名的，在數(shù)學(xué)和物理中有著獨特的地位[1,2]. 狄拉克 δ-函數(shù)可以用來描寫物理學(xué)中一切點量，如：點質(zhì)量、點電荷、瞬時源等；數(shù)學(xué)上可以進(jìn)行微分和積分變換，為處理數(shù)學(xué)物理問題帶來極大的方便. 尤其它在偏微分方程、數(shù)學(xué)物理方程、傅立葉分析和概率論等領(lǐng)域都離不開這個函數(shù)的應(yīng)用[3-7]，有了狄拉克 δ-函數(shù)，傅立葉變換就不受絕對可積條件限制，通常稱為廣義傅立葉變換.

狄拉克δ-函數(shù)具有悠久的歷史, 這得從Kronecker δ-函數(shù)講起, Kronecker δ-函數(shù)非常簡單：

(1)

(2)

(簡記:(f*δ)(x)=f(x),f(x)δ(x)=f(0)δ(x))

(3)

δ(x-x0)=δ(x0-x)

(4)

從離散過渡到連續(xù)，自然地從求和過渡到積分；這看起來兩種δ-函數(shù)很雷同了. 所以狄拉克δ-函數(shù)就達(dá)到類似于Kronecker δ-函數(shù)的選擇器效果，對于δ-函數(shù)的選擇器作用是泊松先提出的，后來Cauchy利用它的選擇器性質(zhì)研究了許多應(yīng)用問題，進(jìn)一步地傅里葉給出了其無窮級數(shù)表示，在此基礎(chǔ)上狄拉克對研究量子力學(xué)時發(fā)現(xiàn)了連續(xù)型的δ-函數(shù)重要作用. 物理上看，狄拉克δ-函數(shù)可以看成一些通常意義下函數(shù)列的逼近，但嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論表明：這不是通常意義下的極限(這是泛函意義下的極限，或稱“弱收斂”). 事實上，其真正嚴(yán)格意義下的定義方式是在Schwarz分布函數(shù)[2](廣義函數(shù)或泛函)基礎(chǔ)上才有的，這表明從此物理上廣泛實用的狄拉克 δ-函數(shù)可做數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砹?

1 狄拉克δ-函數(shù)作為廣義函數(shù)定義

(5)

2) 狄拉克δ-函數(shù)定義[1,5]

〈δ,φ〉=φ(0), ?φ∈D(R)

(6)

它是廣義函數(shù).事實上:

①δ(x)是線性的：對于任意的α、β∈R以及φ1(x)、φ2(x)∈D(R)，有

〈δ,αφ1+βφ2〉=αφ1(0)+βφ2(0)=α〈δ,φ1〉+β〈δ,φ2〉

(7)

(8)

這里要強(qiáng)調(diào)的廣義函數(shù)收斂性一定要在試驗函數(shù)作用下收斂的，泛函分析中稱為弱收斂.

(9)

簡單的驗證：這是一個線性連續(xù)泛函.任一個局部可積函數(shù)按以上做法都有唯一的廣義函數(shù)與之對應(yīng)，且可證明：不同的局部可積函數(shù)對應(yīng)于不同的廣義函數(shù)，并保持線性運算不變；這樣可以將局部可積函數(shù)f等同于與其對應(yīng)的廣義函數(shù)F.反之，狄拉克δ-函數(shù)不是通常函數(shù)，沒有局部可積函數(shù)與之對應(yīng)[1,5].事實上，反證法：若存在這樣的局部可積函數(shù)f(x), 有

(10)

特別地取特殊的試驗函數(shù)為

(11)

則φ(nx)∈D(R),且

(12)

但另一方面

(13)

這是一個矛盾，所以狄拉克δ-函數(shù)沒有局部可積函數(shù)與之對應(yīng).

2 狄拉克δ-函數(shù)的逼近方式

上面定義的廣義函數(shù)有點抽象，下面我們從物理直觀上，用各種函數(shù)列逼近的方式來理解狄拉克δ-函數(shù)，這種逼近也不是通常意義下的極限，而是泛函意義下的逼近，是一種弱形式的極限[1,2,5].

(14)

顯然Hn(t)∈Lloc(R)(積分值不超過1).

對任意φ(x)∈D(R)，有

(15)

3 廣義導(dǎo)數(shù)(弱導(dǎo)數(shù))和狄拉克δ-函數(shù)

先給出廣義導(dǎo)數(shù)定義:對一個廣義函數(shù)f∈D′(R),若存在f′ 使得

〈f′,φ〉=-〈f,φ′〉,?φ∈D(R)

(16)

則稱為廣義函數(shù)f有一階廣義導(dǎo)數(shù)，其廣義導(dǎo)數(shù)為f′(見文獻(xiàn)[1,2,5]).一般地，定義k-階廣義導(dǎo)數(shù)為；若有f(k)使得

〈f(k),φ〉=(-1)k〈f,φ(k)〉,?φ∈D(R)

(17)

稱f(k)為廣義函數(shù)f的k-階廣義導(dǎo)數(shù)，k=1,2,….注：通常意義下的導(dǎo)數(shù)一定是廣義導(dǎo)數(shù)，其本質(zhì)就是分部積分公式；反之不對，從定義得知：廣義導(dǎo)數(shù)不是逐點定義的.例如：Heaviside函數(shù)

(18)

對于任意φ(x)∈D(R)，則有

(19)

所以狄拉克δ-函數(shù)可看作是Heaviside函數(shù)的廣義導(dǎo)數(shù). 考慮函數(shù)|x|的第m階廣義導(dǎo)數(shù)(m為不小于1自然數(shù))，有

(20)

所以|x|′=2H(x)-1.一般地

|x|(m)=2δ(m-1),m≥2

(21)

4 狄拉克δ-函數(shù)性質(zhì)和廣義傅里葉變換[1,3,5]

兩個已知函數(shù)f1(t)、f2(t)卷積定義：

(22)

狄拉克δ(x)函數(shù)一些重要性質(zhì)：

1) 卷積性質(zhì)

(23)

事實上，對于試驗函數(shù)φ(x)∈D(R)和f(x)的單零點an，由于f(an)=0,f′(an)≠0，在每個an存在鄰域都是一一對應(yīng)，作局部的變量代換y=f(x)

(24)

f(x)=(x2-a2)?δ(x2-a2)=

(25)

(26)

考慮{φn(x)}是正交基

(27)

得證.

(28)

(29)

得證.

5) 三維狄拉克函數(shù)：δ(x,y,z)=δ(x)δ(y)δ(z)，即：

類似于一維的性質(zhì)：

f(x0,y0,z0)， ?f(x,y,z)∈C(R3)

1)δ(x)函數(shù)的傅里葉變換為1,即:F[δ(x)]=1.

3) 又如求正弦函數(shù)f(t)=sinω0t的不是絕對可積的，但它的廣義傅里葉變換

iπδ(ω+ω0)-δ(ω-ω0)

(30)

一般地，不滿足可積性條件函數(shù)的廣義傅里葉變換，其像函數(shù)通常與狄拉克δ-函數(shù)有關(guān)[8].

5 δ-函數(shù)在邊值問題中的應(yīng)用

基本解和格林函數(shù)是由δ-函數(shù)來定義的.這里以拉普拉斯算子為例談?wù)撈湓诰€性偏微分方程中邊值問題求解中的應(yīng)用.

對于任意r∈Ω，有

(31)

其中n為?Ω上的外單位法向向量.