王靖洲
(貴州省凱里學院 理學院,貴州 凱里 556100)
角位移和角速度是否是矢量,以及為什么有限轉動的角量不是矢量,而無限小轉動的角量卻是矢量,很多文獻[1-8]都進行了分析解答.這些文獻主要都從矢量加法應該滿足交換律來論證.
對先后兩次轉動若用矢量A、B表示,結果則為A+B,當把轉動的次序交換,結果則為B′+A′,最后如果得到A+B≠B′+A′,則因為不滿足加法交換律,從而得出有限轉動不是矢量.文獻中主要用兩個方法進行論證.一是通過直觀圖形中位形來表示,從而得出是否滿足矢量交換律[1].二是利用張量計算公式,最后比較計算結果.典型的計算如下所述[2].
(1)
(2)
把式(1)代入式(2),得
(3)
(4)
(5)
(6)
把式(5)代入式(6)得
(7)
(8)
轉動次序交換后的兩結果不相等:
(9)
但當假設φ→0、θ→0,則有sinφ→φ,cosφ→1,sinθ→θ,cosθ→1,于是式(4)和式(8)分別為:
(10)
(11)
此時仍然有
只有再次略去二階無窮小φ·θ→0時,才有
(12)
所以有限轉動不是矢量,無限小轉動在忽略二階以上的無窮小時,滿足交換律,因此,無限小轉動是矢量.并且由式(10)和式(11)還看出,在忽略二階以上無窮小時,當去掉轉動張量主對角線上元素后,轉動張量是反對稱的.
從張量計算形式來看,對兩個有限轉動的轉動效果相加,對應兩個轉動矩陣的相乘.而對于兩個真矢量的相加,是簡單的求和運算,是真正的相加,滿足交換律.例如對于任意兩個真矢量,
C=x1i+y1j+z1k,D=x2i+y2j+z2k
則
C+D=(x1+x2)i+(y2+y2)j+(z2+z2)k
(13)
也可以表示為矩陣形式:
C+D≡D+C
(14)
也有:
C+D≡D+C
(15)
由式(4)、式(8)可見兩次轉動的“相加”,對應矩陣的乘法,需要9個數來描述.由矩陣的乘法也可知,一般是不滿足對易性的,A·B≠B·A,并且還可能出現(xiàn)A≠0,B≠0,但A·B=0的情形.所以矩陣乘法時,它們的位置很重要,并不能保證一定滿足交換律.
根據前面的分析,整理成下面3個物理問題,幫助初學者徹底弄清轉動的物理實質:
1) 為什么矢量加法必須滿足交換律?加法交換律的物理實質是什么?
2) 描述轉動要用張量,滿足什么條件時又會變?yōu)橐粋€矢量?
3) 這樣的矢量有什么特性,它的物理本質是什么?
對于問題1),首先有必要回顧一下矢量的定義.接觸得多的矢量的一種定義是:既有大小,又有方向,運算遵守平行四邊形法則的物理量.在接觸到張量概念后,矢量還定義為:一個由3個數唯一確定的不變量,它不會隨著坐標系的變化而變化.這種定義指出了“量”的顯著特征就是不隨坐標系的變化而變化,便于從標量、矢量、張量角度進行概念的延伸.當兩個矢量相加時,相當于將一個矢量沿著另一個矢量平移,在平移過程中,由于坐標軸不會隨著平移而變化,且相對獨立,(見式(11)與圖1),所以“和”的3個數由原矢量對應的3個數分別求代數和.代數和是滿足加法交換律的.矢量加法就是矢量平移,加法交換律就是平移的次序無關性.平移次序無關性的物理本質,就是空間對平移是均勻的、各向同性的.
圖1 坐標平移
對于問題2),先回顧一下張量的一個性質:任何張量都可以被表示成對稱張量與反對稱張量之和.
Tij=Sij+Aij
(16)
對于Sij,通過選取恰當的坐標系,可以實現(xiàn)對角化,對角線上3個元素對應3個坐標軸,從而等效為一個矢量,這稱為化張量到主軸.
對于反對稱張量Aij,取其各元素為
并且由定義有a12=-a21,a13=-a31,a23=-a32.
6個元素中兩兩相關,所以只有3個數是獨立的,有成為矢量的可能性.把符號代入為
(17)
為得到反對稱張量與矢量的可能對應關系,比較一下張量乘法與矢量乘法的結果.
(18)
(19)
取相反數,在物理上意味著方向相反.只一個坐標軸反向時,被稱為反射.當所有坐標軸都取反向時,被稱為反演.從式(18)、式(19)以及行列式的結果得出,兩個矢量乘法次序的交換,全部分量都反號,等價于反演.如圖2所示:圖2(a)為原坐標系,且x、y、z的方向遵循右手螺旋關系,當反演后變?yōu)閳D2(b),此時不遵循右手螺旋關系,而遵循左手螺旋關系,說明反演讓坐標系的螺旋關系發(fā)生改變.再讓Oyz平面繞x軸順時針轉動180°,變?yōu)閳D2(c).(a)與(b)所有軸都反向,是反演關系.(a)與(c)只是x軸反向,是反射關系.(b)與(c)是轉動關系.(a)是右手螺旋,(b)和(c)都是左手螺旋.左右手對稱性也被稱為宇稱,可見反射和反演改變宇稱,但轉動不改變宇稱.在坐標系宇稱是否變化上,反射與反演等價.
圖2 坐標系類型及變化
現(xiàn)在可以回答問題2):轉動張量只在反對稱時候,就能變?yōu)橐粋€形式上的、只需要3個數描述的量,相當于矢量.
為了弄清這樣的矢量有什么性質特點,有必要把標量、矢量、張量三種量重新定義為:標量是僅需一個數就能唯一確定的不變量,矢量是用3個數確定的不變量,張量是至少要9個數確定的不變量.這三種量都有一個統(tǒng)一的特性:不變性.在坐標變換時,它們分量雖然會變化,但是“總量”不變.并且會保持變換規(guī)律不變,也把這一標準作為一個量是否是張量的標準.有時把標量、矢量當成是張量的特例,統(tǒng)稱為張量.
因為轉動張量等價于兩矢量的叉乘,所以為了得到轉動張量的性質特點,可以通過兩矢量的叉乘在坐標變換下的特點為例進行分析研究.假設存在矢量A、B,且定義它們的叉乘,即A與B叉乘有C=A×B,用分量表示為Ci=AjBk-AkBj,且設坐標變換為
(20)
通過比較先進行坐標變換再叉乘、先叉乘再進行坐標變換的結果,來研究C的特點.
先坐標變換再叉乘的運算過程如下:
根據張量的運算法則:
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
先叉乘再坐標變換的運算過程如下 :
C1=A2B3-A3B2
(27)
C2=A3B1-A1B3
(28)
C3=A1B2-A2B1
(29)
(30)
由式(27)至式(30),得到
(31)
(32)
(33)
可見在同一坐標變換方式下,只是由于運算的次序不同,而得到兩組互為相反數的結果,說明由C=A×B定義的“矢量”C,不滿足真矢量在坐標變換下的不變性,因此不是一個真矢量,被稱為贗矢量、軸矢量,而真矢量也被稱為極矢量.
為什么此例中坐標變換后會是這樣的結果,下面從分析坐標變換本身入手.由式(20)知a21=-1,其坐標變換為x→-y′,a13=1對應坐標變換為z→x′,a32=1對應y→z′,如圖3所示最終由圖3(a)變到圖3(d),可認為經歷了繞y軸轉90°到圖3(b)圖所示,再繞x軸轉90°到圖3(c)圖,再沿Oxy平面反射.再如圖4所示,初態(tài)(a)和末態(tài)(d)分別與圖3的(a)與(d)相同,經歷的過程不同.先反演圖4(b)圖,再繞y軸轉90°至圖4(c)圖,再繞x軸轉90°.除了轉動,還有反演或反射,正是反演(反射)的存在,導致變換規(guī)律的變化,從而C不是矢量.同時還可發(fā)現(xiàn),轉動的次序是不變的,都是先繞y軸轉,再繞x軸轉,否則圖3和圖4不能得到一致的結果.
把反對稱張量退化成一個矢量來表示,當存在反演(或反射)時,坐標系的螺旋性必定發(fā)生變化,變換規(guī)律也一定發(fā)生變化,所以它不是一個真矢量,是一個贗矢量.這就是轉動矢量不是真矢量、矩陣乘法運算不對易的本質原因:空間對于轉動,有左旋和右旋的區(qū)別.
圖3 aij對應的坐標變換1
圖4 aii對應的坐標變換2
文獻1中兩個例子:有限轉動和無限小轉動,恰好是前者改變了螺旋性,后者沒有,所以得到前者不是矢量、后者是矢量的結論.在有限轉動例子中,若按順序輪換x→y、y→z、z→x式的轉動,即先繞x軸,再繞y軸,或先繞y軸,再繞z軸,或先繞z軸,再繞x軸,所得結果就會完全一致了.
對此,嚴格地講矢量加法的交換性對轉動不能成立.應該讓學生明白,轉動張量或矩陣乘法不對易的根本原因是:空間對轉動具有右手螺旋和左手螺旋差異.
弄清物理本質是物理教學的核心要義,只有在弄清物理本質的基礎上,學生才可能對物理問題進行深層次地思考與創(chuàng)新,而不是簡單地只對計算結果的認同.