陳靈君

摘要：基于知識的整體性和教學(xué)的整體性，通過對學(xué)生的了解，發(fā)現(xiàn)“銳角三角函數(shù)”所構(gòu)建的教學(xué)設(shè)計(jì)與教材的生活情境引入有所分歧，重點(diǎn)在于構(gòu)建完整的直角三角的知識框架，其中構(gòu)建直角三角形任兩邊的比值和對應(yīng)的銳角形成一種函數(shù)關(guān)系，可以借助三角形的相似性進(jìn)行研究，同時(shí)設(shè)立問題串引導(dǎo)學(xué)生，經(jīng)歷“觀察、猜想、推理、驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)探索之路。

關(guān)鍵詞：整體設(shè)計(jì);起始課;銳角三角函數(shù)

一、教學(xué)分析

學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”之前，函數(shù)上學(xué)生已有一定基礎(chǔ);幾何中學(xué)習(xí)了直角三角形的角、邊的關(guān)系以及相似三角形，也了解特殊直角三角形中的邊角關(guān)系（如30度的直角三角形中三邊之比是）。而銳角三角函數(shù)反映的是角度與數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系。其首要任務(wù)是讓學(xué)生明確銳角和線段比之間的函數(shù)關(guān)系，可以說，本節(jié)內(nèi)容是直角三角形知識學(xué)習(xí)的系統(tǒng)終端啟示課。

在浙教版教材中采用的是生活情境做導(dǎo)入，再從特殊三角形入手進(jìn)行討論分析;問題在情境中生成，并運(yùn)用到生活中，這固然是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)“套路”。但是在學(xué)生學(xué)習(xí)已經(jīng)如此系統(tǒng)的情況下，是從“生活情境”出發(fā)導(dǎo)入生成問題，還是從“數(shù)學(xué)知識的整體性”出發(fā)導(dǎo)入，這成為了我思考的第一個(gè)問題。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)與說明

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）溫故導(dǎo)入，整體感知

問題1：PPT呈現(xiàn)一張直角三角形的圖片，對于直角三角形，我們一般研究其哪些內(nèi)容？你已經(jīng)知道了它的哪些性質(zhì)？

教學(xué)記錄：學(xué)生很輕松的回顧了直角三角形的三邊關(guān)系即其勾股定理，兩邊之和大于第三邊;三角關(guān)系即兩銳角互余;面積公式，周長公式。學(xué)生邊講解，板書邊展示如下框架圖1;

問題2：那邊角之間有關(guān)系嗎？要想研究邊角這兩個(gè)量之間的關(guān)系，可以先確定一個(gè)量，再研究邊之間的關(guān)系;然后再從特殊情況進(jìn)行研究，比如特殊的直角三角形。

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）猜想驗(yàn)證，探究新知

幾何畫板動(dòng)態(tài)展示如下圖2，一副可以改變角度;一副改變邊長，不改變角度。

問題5：從以上的展示中你發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象？

教學(xué)記錄：學(xué)生回答三個(gè)比值隨著角度的變化而變化，而與三角形的大小無關(guān)。學(xué)生小組討論，得出其實(shí)質(zhì)的依據(jù)為當(dāng)角度確定的兩個(gè)直角三角形是相似的，可以根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出。學(xué)生講解給出其中一對（如圖3）。

學(xué)生歸納后確定：當(dāng)確定時(shí)，三個(gè)比值也隨之確定;反之，當(dāng)變化時(shí)，三個(gè)比值也隨之變化。

問題6：那么這種隨角度的變化而變化的關(guān)系是一種什么關(guān)系呢？

教學(xué)記錄：學(xué)生回答“函數(shù)關(guān)系”，揭示課題“銳角三角函數(shù)”，隨后學(xué)生自學(xué)書本三個(gè)函數(shù)的定義。

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）精致新知，形成結(jié)構(gòu)

問題7：幾何中，我們還要將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，你能結(jié)合圖象說一說嗎？書中給出了的取值范圍，同學(xué)們能解釋一下為什么如此嗎？

問題8：對于直角三角形的銳角有三角函數(shù)，那么對于有三角函數(shù)嗎？你能寫出其符號語言嗎？

教學(xué)記錄：組織學(xué)生準(zhǔn)確表述三個(gè)三角函數(shù)的定義后，讓學(xué)生給出了符號表示，結(jié)合圖形，解釋了三角函數(shù)的取值范圍。并根據(jù)定義，引導(dǎo)學(xué)生自己歸納給出了的三角函數(shù)的符號表示。

教學(xué)環(huán)節(jié)（四）總結(jié)回顧，瞻前望遠(yuǎn)

通過師生互動(dòng)，學(xué)生立足知識框圖的生長，形成結(jié)構(gòu)圖（如圖5）

問題12：觀察與的三角函數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

問題13：同一個(gè)角的三個(gè)三角函數(shù)之間有沒有關(guān)系？

三、關(guān)于章起課教學(xué)的幾點(diǎn)思考

1. 理解數(shù)學(xué)，在整體感知處用力

在系統(tǒng)思維的引領(lǐng)下，起始課應(yīng)對整章知識做一個(gè)提綱挈領(lǐng)的“預(yù)覽”或?qū)φ轮R的學(xué)習(xí)做一個(gè)“學(xué)法指導(dǎo)”，使學(xué)生在學(xué)習(xí)后續(xù)課程內(nèi)容之前有一個(gè)全局的認(rèn)識。筆者對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行研究分析，決定選用“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”作為問題情境引入，而放棄書本中的生活情境，而是將生活問題放入最后的運(yùn)用環(huán)節(jié)。

2. 理解學(xué)生，在最近發(fā)展區(qū)發(fā)力

教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式和因材施教;學(xué)生問題在于概念的理解，如何讓學(xué)生理解三角函數(shù)的概念是重心。解直角三角形所需的知識框架不僅要有邊角關(guān)系，還需要邊的關(guān)系以及角的關(guān)系，這需要教師引導(dǎo)、協(xié)助。這都符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，更能激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望。

3. 理解教學(xué)，在“通性通法”中助力

本案例中，教師在教學(xué)時(shí)通過層層深入，逐步生成完善，引入新課環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，經(jīng)歷“觀察、猜想、推理、驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)研究套路。同時(shí)在研究函數(shù)關(guān)系時(shí)可以先確定一個(gè)變量再進(jìn)行研究是數(shù)學(xué)常用的建模方法，無形中為學(xué)生今后進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究提供了模式。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]潘海波.整體把握 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（初中），2020（11）.

[3]劉繼承 黃喬玉.經(jīng)歷概念形成過程 體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法——“銳角三角函數(shù)的概念”教學(xué)案例及反思[J].教學(xué)案例，2019（7）.