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        簡(jiǎn)諧振動(dòng)在非慣性系中的動(dòng)力學(xué)分析*

        2021-07-03 11:12:10米儀琳
        物理通報(bào) 2021年7期
        關(guān)鍵詞:振動(dòng)

        米儀琳

        (北方工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 北京 100144)

        1 引言

        簡(jiǎn)諧振動(dòng)是最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng),任何復(fù)雜的振動(dòng)都可以分為若干個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng),因此在大學(xué)物理教材中重點(diǎn)地探討了慣性系中簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基本規(guī)律[1~3].那么在非慣性系中,原來做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的系統(tǒng)是否還在做簡(jiǎn)諧振動(dòng);非慣性系需要滿足什么條件;振動(dòng)的周期和角頻率是否還是唯一地取決于振動(dòng)系統(tǒng),等等.學(xué)生在理解上容易出現(xiàn)錯(cuò)誤,文獻(xiàn)中也極少涉及[4~6].本文以彈簧振子、單擺復(fù)擺為例,系統(tǒng)研究了在各種平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)非慣性參照系中,系統(tǒng)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的條件和運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

        眾所周知,當(dāng)系統(tǒng)位于非慣性參照系中時(shí),系統(tǒng)不僅受到物體間的相互作用力,還受到慣性力的作用[7,8].若選地面為S系,S′系相對(duì)S系以加速度a0做加速直線運(yùn)動(dòng).一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)S系的速度為ν,相對(duì)S′系的速度為ν′,則根據(jù)牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀和伽利略的速度變換方程,運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)加速度a、相對(duì)加速度a′和牽連加速度a0的關(guān)系

        a=a0+a′

        (1)

        若質(zhì)點(diǎn)所受合外力為F,其運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光速,則質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量m的相對(duì)論效應(yīng)可以忽略,方程兩邊同時(shí)乘以標(biāo)量m

        ma′=F+(-ma0)

        (2)

        設(shè)f*=-ma0是S′系相對(duì)S系加速運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的,它是一種非相互作用力,我們把它稱為慣性力[8].

        當(dāng)S′系繞靜止于慣性系S中某一點(diǎn)O,以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)加速度a、相對(duì)加速度a′的關(guān)系,則可以表示為[7]

        (3)

        其中r是從O點(diǎn)指向質(zhì)點(diǎn)所在位置的有向線段,ν′是質(zhì)點(diǎn)相對(duì)S′系的運(yùn)動(dòng)速度.若質(zhì)點(diǎn)受到的合外力為F,S′系相對(duì)S系做勻角速轉(zhuǎn)動(dòng),則在S′系中

        ma′=F+mω2r-2mω×ν′

        (4)

        設(shè)離心力

        科里奧利力

        2 加速平動(dòng)參照系中諧振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)

        2.1 加速運(yùn)動(dòng)小車中的彈簧振子

        一勁度系數(shù)為κ的輕彈簧連接一質(zhì)量為m的小球(小球可以看做質(zhì)點(diǎn)),豎直懸掛于小車內(nèi),小車在光滑水平面上以加速度a運(yùn)動(dòng),如圖1所示.下面我們分析彈簧振子的運(yùn)動(dòng)情況.

        圖1 加速運(yùn)動(dòng)小車?yán)锏膹椈烧褡?/p>

        選地面為S系,相對(duì)地面加速運(yùn)動(dòng)的小車為S′系.在S系建立xOy直角坐標(biāo)系,小車沿x軸正向加速運(yùn)動(dòng).以彈簧振子受力為零的位置即平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),平行彈簧振子方向?yàn)镺′x′軸,在S′系建立x′O′y′坐標(biāo)系,如圖2所示.

        圖2 彈簧振子位于平衡位置的受力分析

        彈簧振子位于平衡位置O′點(diǎn)時(shí),假設(shè)彈簧伸長(zhǎng)δ,則在O′點(diǎn)

        -κδ+masinθ+mgcosθ=0

        (5)

        mgsinθ-macosθ=0

        (6)

        (7)

        如果小車運(yùn)動(dòng)的加速度a發(fā)生變化,彈簧振子的平衡位置會(huì)隨著加速度a的改變而改變,彈簧振子不再是圍繞平衡位置做往復(fù)運(yùn)動(dòng).因此,只有小車勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí),彈簧振子的平衡位置才不隨時(shí)間發(fā)生變化,彈簧振子和豎直方向的夾角θ是固定的,這時(shí)系統(tǒng)才有可能做簡(jiǎn)諧振動(dòng).

        沿x′軸方向,將彈簧振子拉離平衡位置.假設(shè)某一時(shí)刻,彈簧振子位于坐標(biāo)x′處,分析小球的受力情況.該時(shí)刻彈簧振子相對(duì)豎直位置偏離θ′,則根據(jù)式(2),有

        (8)

        mgsinθ′-macosθ′=0

        (9)

        由式(7)、式(9),得出

        θ=θ′

        (10)

        式(10)說明彈簧振子在沿x′軸方向運(yùn)動(dòng)時(shí),彈簧振子和豎直方向的夾角θ和它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān).

        由式(5)~(10)可以得出

        (11)

        x=Acos(ωt+φ)

        (12)

        振動(dòng)周期

        (13)

        由式(5)~(13)得出,在相對(duì)地面勻加速平動(dòng)的小車上,豎直懸掛的彈簧振子仍會(huì)圍繞平衡位置做簡(jiǎn)諧振動(dòng),其平衡位置與豎直方向有一夾角θ,θ角取決于小車的加速度和彈簧振子所在位置的重力加速度;而振動(dòng)角頻率和周期只取決于振動(dòng)系統(tǒng),與小車運(yùn)動(dòng)的加速度無關(guān).

        采用與上述類似的方法,可以推導(dǎo)出,彈簧振子處于豎直加速平動(dòng)參照系中(如,彈簧振子懸掛于豎直加速下降的電梯里)時(shí),彈簧振子仍做簡(jiǎn)諧振動(dòng),并且振動(dòng)角頻率、周期只與振動(dòng)系統(tǒng)有關(guān).

        2.2 斜面上的單擺

        一傾角為θ(θ很小) 的斜面,靜止在水平面上.車沿著斜面以加速度a自頂端滑下,單擺位于一小車內(nèi),單擺擺長(zhǎng)l,擺球質(zhì)量為m.下面我們討論單擺的運(yùn)動(dòng)情況.

        選地面為S系,沿斜面加速運(yùn)動(dòng)的小車為S′系.在S′系建立xOy直角坐標(biāo)系,x軸沿斜面方向,y軸沿垂直斜面方向,如圖3所示.

        圖3 小車沿斜面加速運(yùn)動(dòng)時(shí),單擺位于平衡位置的受力分析

        在S′系觀察,某時(shí)刻單擺所受合力為零,單擺處于平衡位置,此時(shí),單擺和y軸正向夾角α.將單擺受力向x軸、y軸方向分解

        ma-mgsinθ-Tsinα=0

        (14)

        Tcosα-mgcosθ=0

        (15)

        則在小車相對(duì)斜面加速運(yùn)動(dòng)時(shí),若懸掛于小車上的單擺處于平衡位置,單擺和y軸正向之間的夾角α滿足

        (16)

        斜面傾角θ很小,則

        (17)

        若小車沿斜面加速運(yùn)動(dòng)時(shí),加速度a隨時(shí)間發(fā)生變化,則單擺的平衡位置也會(huì)隨著加速度a發(fā)生變化,單擺將不再做簡(jiǎn)諧振動(dòng).

        假設(shè)小車沿斜面做勻加速運(yùn)動(dòng),將單擺拉離平衡位置,單擺開始運(yùn)動(dòng),某一時(shí)刻單擺偏離平衡位置Θ,如圖4所示,單擺和y軸方向之間的夾角為α+Θ,在S′系建立自然坐標(biāo)系,取逆時(shí)針方向?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)正方向.

        圖4 小車沿斜面勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí),單擺的受力分析

        分析單擺的受力情況,列出其動(dòng)力學(xué)方程

        (18)

        (19)

        由式(18)得出

        (20)

        若單擺偏離平衡位置的角度Θ很小,α也很小,斜面傾角θ也很小,則由式(14)~(20)得到

        (21)

        Θ=Θmcos(ωt+φ)

        (22)

        單擺運(yùn)動(dòng)的周期

        (23)

        式(14)~(23)說明,在單擺擺角Θ、斜面傾角θ很小,并且α也很小的情況下,單擺做簡(jiǎn)諧振動(dòng),并且其振動(dòng)的角頻率ω、周期T只取決于振動(dòng)系統(tǒng).在這里α是單擺處于平衡位置時(shí)和y軸方向的夾角,由式(17)可以看出α與小車運(yùn)動(dòng)的加速度密切相關(guān).α很小,則要求小車運(yùn)動(dòng)的加速度滿足

        a-gθ?g

        (24)

        即當(dāng)a?g時(shí),單擺的運(yùn)動(dòng)才是簡(jiǎn)諧振動(dòng).

        如果斜面傾角θ=0,則對(duì)應(yīng)著單擺懸掛在小車上,小車在地面上沿水平方向以恒定加速度運(yùn)動(dòng)的情況,如圖5所示.

        圖5 小車在水平面上勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí),單擺的受力分析

        單擺處于平衡位置時(shí),和豎直方向的夾角α,由式(17) 可以看出,此時(shí)

        (25)

        將單擺拉離平衡位置Θ,由式(18)、(19)可以給出在自然坐標(biāo)系中,單擺的動(dòng)力學(xué)方程

        (26)

        Θ=Θmcos(ωt+φ)

        (27)

        單擺運(yùn)動(dòng)的周期

        (28)

        單擺此時(shí)做簡(jiǎn)諧振動(dòng).由式(24)可以得出,α很小,則要求

        a?g

        (29)

        由以上的討論可以看出,無論小車是在地面上,還是在靜止的斜面上做勻加速運(yùn)動(dòng),當(dāng)小車運(yùn)動(dòng)的加速度a遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于重力加速度g,并且單擺擺角Θ、斜面傾角θ都很小的情況下,單擺在加速平動(dòng)的小車內(nèi)仍圍繞其平衡位置做簡(jiǎn)諧振動(dòng),振動(dòng)周期只與振動(dòng)系統(tǒng)和單擺所在位置的重力加速度有關(guān),與單擺是否處于慣性系中無關(guān).

        2.3 加速運(yùn)動(dòng)電梯中的復(fù)擺

        以加速度a向上運(yùn)動(dòng)的電梯內(nèi)有一鐘擺,如圖6所示,分析鐘擺的運(yùn)動(dòng).

        鐘擺對(duì)懸掛點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,質(zhì)心為C,懸掛點(diǎn)O到質(zhì)心的距離OC=r.某一時(shí)刻,鐘擺偏離平衡位置,與豎直方向夾角為θ(θ很小),如圖6所示.

        圖6 電梯加速上升時(shí),鐘擺的受力分析

        以逆時(shí)針方向?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)正方向,根據(jù)剛體的角動(dòng)量定理,可以得出

        (30)

        則鐘擺定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程

        (31)

        鐘擺轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

        θ=θmcos(ωt+φ)

        (32)

        處于加速上升電梯中的鐘擺,在擺角θ很小的情況下,仍做簡(jiǎn)諧振動(dòng).其周期

        (33)

        與在慣性系中不同的是,鐘擺簡(jiǎn)諧振動(dòng)的角頻率和周期不僅與振動(dòng)系統(tǒng)、鐘擺所在位置的重力加速度g有關(guān),還與電梯的加速度密切相關(guān),鐘擺簡(jiǎn)諧振動(dòng)的角頻率會(huì)隨著電梯加速度的增大而增大.

        3 轉(zhuǎn)動(dòng)參照系中的彈簧振子

        一圓盤以角速度ω′繞通過盤心C點(diǎn)的豎直光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng),如圖7所示.一勁度系數(shù)為κ、質(zhì)量為m的彈簧振子固定于盤心,置于沿圓盤半徑方向的光滑槽內(nèi).分析彈簧振子的運(yùn)動(dòng)情況.

        圖7 勻速轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤上的彈簧振子及其受力分析

        選地面為S系,勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤為S′系.在S′系,以彈簧振子的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),沿徑向凹槽建立Ox直角坐標(biāo)系,分析彈簧振子的受力情況.

        假設(shè)彈簧原長(zhǎng)l0,彈簧振子處于平衡位置時(shí),彈簧振子受力為零,彈簧伸長(zhǎng)δ.則有

        -κδ+mω′2(δ+l0)=0

        (34)

        拉伸彈簧振子離開平衡位置,某一時(shí)刻,彈簧振子處于坐標(biāo)x處,于是

        (35)

        彈簧振子的動(dòng)力學(xué)方程

        (36)

        則彈簧振子此時(shí)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

        x=Acos(ωt+φ)

        (37)

        所以,處于相對(duì)地面勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤上,彈簧振子仍做簡(jiǎn)諧振動(dòng).其周期

        (38)

        因此只有當(dāng)圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),彈簧振子的運(yùn)動(dòng)才是簡(jiǎn)諧振動(dòng),并且彈簧振子振動(dòng)的角頻率ω和周期T不僅與彈簧的勁度系數(shù)κ、彈簧振子的質(zhì)量m有關(guān),還取決于圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω′,并且會(huì)隨著角速度ω′的改變而改變.這與彈簧振子處于慣性參照系、加速平動(dòng)參照系中完全不同.彈簧振子處于上述參照系中時(shí),彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng),并且振動(dòng)的角頻率ω和周期T只和振動(dòng)系統(tǒng)有關(guān),和其他因素?zé)o關(guān).而在轉(zhuǎn)動(dòng)參照系中,彈簧振子仍做簡(jiǎn)諧振動(dòng),但振動(dòng)的周期T和角頻率ω與轉(zhuǎn)動(dòng)參照系的角速度ω′密切相關(guān),不再唯一取決于振動(dòng)系統(tǒng)彈簧振子.

        4 結(jié)論

        我們借助于慣性力,研究了處于不同非慣性系中的彈簧振子、單擺、復(fù)擺的運(yùn)動(dòng),得出了非慣性系中簡(jiǎn)諧振動(dòng)的條件和運(yùn)動(dòng)規(guī)律.研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)諧振動(dòng)系統(tǒng)處于非慣性系時(shí),系統(tǒng)是否仍做簡(jiǎn)諧振動(dòng),與我們所選用的非慣性參照系和振動(dòng)系統(tǒng)密切相關(guān).系統(tǒng)只有處于勻加速平動(dòng)參照系或勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的參照系時(shí),平衡位置才不隨時(shí)間發(fā)生變化,系統(tǒng)才有可能圍繞平衡位置運(yùn)動(dòng).彈簧振子無論處于勻加速平動(dòng)參照系還是勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的參照系中,都依舊做簡(jiǎn)諧振動(dòng).只是在轉(zhuǎn)動(dòng)參照系中,彈簧振子振動(dòng)的周期T和角頻率ω與轉(zhuǎn)動(dòng)參照系的角速度ω′密切相關(guān),不再唯一取決于振動(dòng)系統(tǒng);而處于水平加速平動(dòng)參照系中的單擺,則在擺角Θ很小、斜面傾角θ很小(或θ=0),同時(shí)平動(dòng)參照系加速度a遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于重力加速度g(a?g)時(shí),系統(tǒng)才做簡(jiǎn)諧振動(dòng),其振動(dòng)周期T與系統(tǒng)是否處于慣性系無關(guān),仍然僅與振動(dòng)系統(tǒng)和重力加速度g有關(guān);而處于豎直加速的平動(dòng)參照系中的復(fù)擺,只要是做小角度擺動(dòng),其運(yùn)動(dòng)就仍然是簡(jiǎn)諧振動(dòng),但是與水平加速平動(dòng)參照系中的單擺不同的是,位于豎直加速的平動(dòng)參照系中的復(fù)擺,其振動(dòng)角頻率ω和周期T不僅與振動(dòng)系統(tǒng)、重力加速度g有關(guān),還與平動(dòng)參照系的加速度a密切相關(guān).本文為非慣性系中的簡(jiǎn)諧振動(dòng)建立了清晰的物理圖像,這將有利于加深學(xué)生對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的理解,提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

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