鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽(yáng) 122500)

1 引出問題

如圖1所示[1]，水平圓盤以角速度ω繞圓心勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，若質(zhì)點(diǎn)在沿半徑方向的光滑直槽里相對(duì)于圓盤以速度vr做離心運(yùn)動(dòng)，則受到槽壁的彈力作用，產(chǎn)生橫向加速度即科氏加速度，公式為

圖1 水平轉(zhuǎn)盤上的相對(duì)運(yùn)動(dòng)

aC=2ω×υr

由牛頓第二定律可知,質(zhì)點(diǎn)受到槽壁的彈力即約束反力為

Fn=2mω×υr

質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于圓盤做勻速直線運(yùn)動(dòng)，若以圓盤為參考系，則質(zhì)點(diǎn)受力平衡，因此，在垂直于軌道方向，還受到一個(gè)反向的慣性力，即科氏力

FC=-2mω×υr

對(duì)于“落體偏東”現(xiàn)象，在非慣性系中，物體受到科氏力

FC=-2mω×υr

應(yīng)用右手螺旋定則可判斷科氏力的方向向東，則科氏加速度的方向也向東，且公式為

aC=-2ω×υr

為何科氏加速度有兩個(gè)公式？如何判斷科氏力的方向？科氏加速度與科氏力是否遵循牛頓第二定律？

2 解決問題

出現(xiàn)問題的根源在于是否存在約束軌道，或者說相對(duì)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)是否受到剛性約束.若存在約束軌道，則相對(duì)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)受到約束反力，產(chǎn)生科氏加速度，與科氏力的方向相反；若不存在約束軌道，則相對(duì)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在非慣性系中受到科氏力，產(chǎn)生科氏加速度，與科氏力的方向相同.由此可見，科氏加速度不一定由科氏力產(chǎn)生，科氏加速度與科氏力不一定遵循牛頓第二定律.因此可用多種方法判斷科氏力的方向.

2.1 利用假設(shè)法判斷科氏力的方向

對(duì)于在赤道上方自由下落的小球，假設(shè)小球在固定于赤道地面的豎直細(xì)管內(nèi)運(yùn)動(dòng)，由于地球的自轉(zhuǎn)，小球受到垂直于細(xì)管的約束反力為

Fn=2mω×υr

應(yīng)用右手螺旋定則可知約束反力的方向向西，實(shí)際是細(xì)管側(cè)壁對(duì)小球產(chǎn)生向西的彈力.這表明，自由下落的小球有向東偏轉(zhuǎn)的趨勢(shì)，若沒有豎直細(xì)管的約束，則小球?qū)⑾驏|偏轉(zhuǎn)，出現(xiàn)“落體偏東”現(xiàn)象，由此認(rèn)為自由落體受到科氏力的方向向東.

2.2 利用矢量式表示科氏力的方向

無論相對(duì)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)是否受到轉(zhuǎn)動(dòng)物體的剛性約束，科氏力公式都為

FC=-2mω×υr

反映了各矢量的方向關(guān)系.地球自轉(zhuǎn)方向由西向東，對(duì)于從赤道地面豎直上拋的小球，若不受剛性約束，則受到科氏力為

FC=-2mω×υr

應(yīng)用右手螺旋定則并考慮負(fù)號(hào)即可判斷小球受到向西的科氏力，因此科氏加速度的方向向西.若小球在固定的足夠長(zhǎng)的豎直細(xì)管內(nèi)上拋，考慮到地球自轉(zhuǎn)方向，與圖1情境進(jìn)行類比可知小球受到管壁向東的彈力，即受到約束反力的方向向東，因此科氏加速度的方向向東，或者利用公式

Fn=2mω×υr

判斷，結(jié)果相同.

雖然科氏力只有一個(gè)公式，但科氏加速度可有兩個(gè)公式，而且科氏加速度與科氏力的方向有時(shí)相同，有時(shí)相反.因此可利用科氏加速度的方向來判斷科氏力的方向，但需根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)物體是否受到剛性約束來確定科氏加速度公式不同的叉積形式.

3 例題分析

【例1】如圖2所示[1]，用位于豎直平面內(nèi)的圓周表示地球的一條經(jīng)線，豎直直徑表示地軸，上端為北極.已知地球自轉(zhuǎn)角速度為ω，半徑為R.假設(shè)在北半球有一段鐵路與經(jīng)線重合，在北緯30°，列車由北向南勻速行駛，相對(duì)于地面的速度大小為v，試求列車科氏加速度的大小和方向以及科氏力的方向.

圖2 例1情境圖

解析：由于地軸上方為北極，則地球按逆時(shí)針方向(俯視)自轉(zhuǎn)，由右手螺旋定則可知角速度矢量的方向豎直向上.在北緯30°，地球半徑與地軸的夾角θ=60°，列車相對(duì)于經(jīng)線的速度大小vr=v，沿切線方向，即與水平方向的夾角θ=60°，則角速度矢量與相對(duì)速度的夾角

β=90°+θ

科氏加速度公式為

aC=2ω×υr

可知科氏加速度的大小為

aC=2ωvrsinβ=2ωvcosθ=ωv

結(jié)合科氏加速度公式和圖2中兩個(gè)矢量的方向，應(yīng)用右手螺旋定則可知科氏加速度的方向垂直于圓面向里，即垂直于軌道沿地面向東.由于列車受到剛性約束，則科氏力與科氏加速度的方向相反.

對(duì)于因空氣對(duì)流形成的貿(mào)易風(fēng)，不受地球的剛性約束，只受到科氏力FC=-2mω×υr，在北半球，地面附近的氣流由北極向赤道推進(jìn)，則地球自轉(zhuǎn)角速度矢量與氣流相對(duì)速度的夾角為鈍角，如圖2所示，應(yīng)用右手螺旋定則并考慮負(fù)號(hào)可知科里奧利力的方向垂直于圓面向外，即沿地面向西，使氣流向西偏轉(zhuǎn)，由此形成東北貿(mào)易風(fēng)[1].

【例2】[2]在赤道上方200 m處，從靜止的直升飛機(jī)上自由下落一小球，不計(jì)空氣阻力和風(fēng)力，試求：小球落地位置將向東偏離其正下方地面位置多遠(yuǎn)？

解析：科里奧利力的大小與相對(duì)速度成正比，方向始終與相對(duì)速度垂直，類似于帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中受到的洛倫茲力，由此可聯(lián)想到帶電小球在水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中自由下落的運(yùn)動(dòng).小球相對(duì)于地球赤道下落的初速度為零，可等效為在水平方向的兩個(gè)反向初速度v1和v2，且v1=v2=v0，如圖3所示[2].

圖3 分解小球初速度

小球不受地球的剛性約束，在非慣性系中受到科里奧利力

Fy=-2mω×υx

地球自轉(zhuǎn)的角速度矢量方向垂直于圓面向里，應(yīng)用右手螺旋定則并考慮負(fù)號(hào)可知這兩個(gè)初速度分別產(chǎn)生向上的科里奧利力F1和向下的科里奧利力F2.若使向上的科里奧利力跟重力抵消，即

F1=2mωv1=mg

則小球的一個(gè)分運(yùn)動(dòng)是水平向右的勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度vx=v1=v0,剩下的力為科里奧利力F2，始終與相對(duì)速度v2垂直，且大小恒定，因此充當(dāng)向心力，則小球的另一個(gè)分運(yùn)動(dòng)是在豎直面內(nèi)沿逆時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖4所示[2].

圖4 一個(gè)分運(yùn)動(dòng)是圓周運(yùn)動(dòng)

由向上的科氏力跟重力抵消，即

F1=2mωv1=mg

得勻速運(yùn)動(dòng)速度

由向下的科氏力提供向心力，即

得圓周半徑

可知角速度

以初始位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立一個(gè)相對(duì)于地球靜止的非慣性坐標(biāo)系如圖4所示，利用運(yùn)動(dòng)的合成可知小球位移的參數(shù)方程為

x=v0t-rsinθ=v0t-rsin (ω′t)

y=r-rcosθ=r-rcos(ω′t)

即為[2]

由于θ=2ωt很小，則由泰勒級(jí)數(shù)展開式可知

代入位移方程中可得

令y=H，可得

其中ω≈7.27×10-5rad/s，H=200 m，取g=9.78 m/s2，可得x≈6.2 cm[2].

這種解法是利用運(yùn)動(dòng)的合成與分解法以及等效法，所得精確結(jié)果與常規(guī)解法所得結(jié)果完全相同，殊途同歸，不僅避免了繁瑣的微積分運(yùn)算，而且還揭示了“落體偏東”的運(yùn)動(dòng)軌跡為一段旋輪線.特別是利用數(shù)學(xué)中的兩個(gè)近似公式對(duì)復(fù)雜的物理結(jié)果進(jìn)行化簡(jiǎn)，數(shù)理結(jié)合，奇妙無比.

還可從旋輪線的角度大致畫出小球的運(yùn)動(dòng)軌跡為一段曲線OA′，如圖5所示.當(dāng)t=0時(shí)圓輪邊緣上的一點(diǎn)P與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，可知圓輪前進(jìn)的位移OD與轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)DP相等，即v0t=rθ.若利用圖5來分析位移的參數(shù)方程即圓輪邊緣上一點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)，則比較直觀.

圖5 落體偏東軌跡是一段旋輪線

4 結(jié)論

總之，對(duì)于因地球自轉(zhuǎn)而引起的落體偏東現(xiàn)象以及貿(mào)易風(fēng)現(xiàn)象，由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)物體不受地球的剛性約束，則在非慣性系中的運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生偏轉(zhuǎn)，原因是受到科氏力的作用，產(chǎn)生加速度，那么科氏加速度公式需帶負(fù)號(hào).利用科氏力的公式和右手螺旋定則可判斷科氏力的方向；也可利用假設(shè)法來判斷科氏力的方向，既可對(duì)沒有約束軌道的相對(duì)運(yùn)動(dòng)假設(shè)有約束軌道，也可對(duì)有約束軌道的相對(duì)運(yùn)動(dòng)假設(shè)沒有約束軌道.科氏力只存在于非慣性系，屬于慣性力，只有一個(gè)公式，但科氏加速度有兩個(gè)公式，分別屬于不同性質(zhì)的參考系，在慣性系中由約束反力產(chǎn)生，在非慣性系中由科氏力產(chǎn)生.