劉丹，楊承閣，王志輝

（410000 湖南省 長沙市 湖南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學院 汽車工程學院）

0 引言

隨著載貨汽車市場需求量的不斷飽和，市場競爭日益激烈，為了占據(jù)更大的市場份額，各汽車廠家都力爭降低生產(chǎn)成本，提高汽車的安全性和舒適性。車架作為汽車主要零部件之一，它所構(gòu)成的框架不僅能保持車輛框架的扭轉(zhuǎn)剛度以及支撐縱向載荷，而且還用以承受汽車上其他總成的質(zhì)量[1]，比如發(fā)動機、變速箱、貨箱、燃油箱和駕駛室等。車架的強度、剛度及動力學特性直接影響了整車的基本性能。本文著重從貨車車架模態(tài)結(jié)構(gòu)出發(fā)，結(jié)合發(fā)動機到車架縱梁的傳遞函數(shù)，獲得車架的優(yōu)化模型，同時用傳遞函數(shù)進一步驗證優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的動態(tài)性能。

Lanczos 方法是20 世紀50 年代提出的，用正交向量組成的矩陣約化對稱矩陣為三對角矩陣的方法，該方法對于求解大型稀疏對稱矩陣的特征值來說是非常行之有效的方法。它的原理是，先產(chǎn)生一個三對角矩陣Tm，然后將問題轉(zhuǎn)化為求這個三對角矩陣的特征值，這樣就使問題變得相對簡單。隨著m 值的增大，Tm的最大與最小特征值會越來越接近原矩陣的最大與最小特征值。

文獻[2]中驗證了對于大規(guī)模特征值問題的求解，有限元Lanczos 法和ANSYS 中的Lanczos求解結(jié)果十分接近。本文中貨車車架的模態(tài)計算采用ANSYS 完成。

1 Lanczos 算法[3]

對于n 階實對稱矩陣A，模態(tài)求解經(jīng)常用到Lanczos 算法，其基本思想是先選取一個任意向量q1，并將其單位正交化處理，通過Lanczos 迭代過程構(gòu)造一組正交化序列Q=[q1，q2，…，qn]，則 QTAQ=T 就是一個對稱的三對角矩陣。Lanczos方法的求解步驟主要包括：Lanczos 向量的生成和三對角矩陣特征問題的求解。

（1）給定初始Lanczos 向量q0=0，選擇初始Lanczos 迭代向量q1，并關(guān)于質(zhì)量矩陣進行正交化處理q1TMq1=1

（2）在第i 個Lanczos 向量已知的情況下，通過迭代計算第i+1 個Lanczos 向量：

當βi+1→0 時，算法收斂。

（3）將原求解部分特征解Λr和Φr的廣義特征值問題KΦr=ΛrMΦr轉(zhuǎn)化為Lanczos 向量空間內(nèi)三對角矩陣Tm的標準特征值問題

（4）求解標準特征值問題式（4），得到特征解 Z 和λ

（5）計算原特征值問題的部分特征解

如果在Lanczos 迭代過程中出現(xiàn)了βi1=0，則迭代過程中斷，這意味著，在第i1步之前出現(xiàn)了一個關(guān)于矩陣A=K-1M 的不變的子空間。由此，可以得到A 的前i1-1 個特征值。如果要繼續(xù)求解其他的特征值，則需要重新給初始Lanczos 向量賦值，開始Lanczos 迭代過程。

2 傳遞函數(shù)原理

傳遞函數(shù)（Transfer Function）反映了系統(tǒng)對不同輸入信號的傳遞能力，是描述動態(tài)系統(tǒng)特性的一種非參數(shù)估計模型，對任何線性系統(tǒng)來說，都可以應(yīng)用傳遞函數(shù)在頻域中直接分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，對系統(tǒng)進行綜合設(shè)計和校正。傳遞函數(shù)是描述系統(tǒng)動態(tài)特性的一種數(shù)學表達式，僅與系統(tǒng)參數(shù)m，k 和c 有關(guān)，從而在拉氏域中完整地描述了系統(tǒng)的動態(tài)特性。實際上，傳遞函數(shù)與單位脈沖響應(yīng)函數(shù)是一個Laplace 變換對[4]。

初始條件為零的多自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的運動微分方程可以表達為

式中：M，C，K——質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；f（t）——激振力向量；——結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的加速度響應(yīng)、速度響應(yīng)和位移響應(yīng)向量。

對式（8）兩邊同時進行拉普拉斯變換得到在頻域中的表達式：

式中：X（s），F(xiàn)（s）——x 和f（t）的拉普拉斯變換。由式（9）可得

式（10）展開得

H（s）即為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣，描述了系統(tǒng)對輸入激勵在頻域中的傳遞特性。輸入振動的各頻率成分通過該系統(tǒng)時，系統(tǒng)對輸入的一些頻率成分進行響應(yīng)放大，對其他一些頻率成分響應(yīng)衰減，從而使系統(tǒng)響應(yīng)具有新的頻率分布，這種動力特性由傳遞函數(shù)來定量表達[5]。

3 車架模態(tài)分析

本文研究的貨車車架采用邊梁式結(jié)構(gòu)，初始結(jié)構(gòu)設(shè)計由2 根縱梁和6 根橫梁構(gòu)成。車架聯(lián)接形式為焊接，材料均選用16Mn，其材料參數(shù)如表1 所示。

表1 16Mn 材料參數(shù)Tab.1 16Mn material parameters

殼單元可以很好地模擬結(jié)構(gòu)的彎扭和剪切變形，同時考慮到車架橫縱梁的長度、寬度遠大于厚度，本文采用殼單元進行車架有限元建模。車架初始結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 車架初始結(jié)構(gòu)網(wǎng)格模型Fig.1 Initial structure mesh model of frame

車架約束簡化后施加，參照文獻[6]約束信息如表2 所示。

表2 車架結(jié)構(gòu)約束信息Tab.2 Frame structure constraint information

Lanczos 法求得車架初始結(jié)構(gòu)100 Hz 范圍內(nèi)模態(tài)，表3 列出了固有頻率和對應(yīng)的振型。

表3 車架初始結(jié)構(gòu)模態(tài)分析Tab.3 Modal analysis of initial frame structure

圖2— 圖5 為車架結(jié)構(gòu)前4 階振型。

圖2 1 階橫向彎曲Fig.2 First order transverse bending

圖3 2 階橫向彎曲Fig.3 Second order transverse bending

圖4 中部彎曲Fig.4 Middle bend

圖5 1 階垂向彎曲Fig.5 First order vertical bending

4 傳遞函數(shù)分析

本文研究的貨車發(fā)動機為四缸四沖程發(fā)動機，根據(jù)式（12），可以計算發(fā)動機在怠速轉(zhuǎn)速和正常行駛轉(zhuǎn)速下的激勵頻率。

式中：z——發(fā)動機缸數(shù)；n——發(fā)動機轉(zhuǎn)速，r/min；τ——發(fā)動機沖程數(shù)。

當?shù)∷贋?600～800 r/min，激振頻率為20～26 Hz。最大功率轉(zhuǎn)速為 2 600 r/min 時，發(fā)動機的激振頻率為86 Hz；最大轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)速為 1 300 r/min時，發(fā)動機激振頻率為 43 Hz[7]。接近41.1 Hz 的第4 階頻率，發(fā)生共振的可能性很大。

車架第3、4 根橫梁是發(fā)動機安裝位置，為了在設(shè)計初期進一步了解發(fā)動機激勵對貨車裝載貨物的影響，考察了車架第3、4 根橫梁處到車架后部縱梁的傳遞函數(shù)。計算初始頻率為 2 Hz，頻率增量為 2 Hz，頻率增加 49 次，得到0～100 Hz 范圍內(nèi)的傳遞函數(shù)。激勵點和響應(yīng)點均為垂直于車架平面Z 方向。點的選取如圖6 所示。

圖6 激勵點與響應(yīng)點位置Fig.6 Location of excitation point and response point

圖7 是在HyperWorks 中計算得到100 Hz 范圍內(nèi)的傳遞函數(shù)。

圖7 車架初始結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)曲線Fig.7 Transfer function curve of initial structure of frame

從圖7 可以看出縱梁上選取的6 個響應(yīng)點在頻率42 Hz 振幅出現(xiàn)明顯增大。對比模態(tài)結(jié)果，產(chǎn)生這么大振幅的原因是車架的第4 階固有頻率41.1 Hz對應(yīng)的垂向彎曲振型與激振力方向相同。頻率86 Hz 處存在較小的峰值，可能是中部扭轉(zhuǎn)模態(tài)的影響。在車架固有頻率與激勵頻率靠近處傳遞函數(shù)存在峰值。表4 列出了縱梁上6 個響應(yīng)點的共振頻率及幅值。

表4 縱梁響應(yīng)點的振動幅值和頻率Tab.4 Vibration amplitude and frequency of response point of longitudinal beam

綜上所述，縱梁在激勵頻率為42 Hz 時，具有最大振動位移，且最大位移在節(jié)點320 和929處。同時考慮盡可能避免車架第3 階中部彎曲模態(tài)，并結(jié)合實際需要，在初始結(jié)構(gòu)中、后部增加2 根橫梁以提高車架剛度。優(yōu)化后車架網(wǎng)格模型如圖8 所示。

圖8 修改后車架網(wǎng)格模型Fig.8 Modified frame mesh model

對修改后的車架進行模態(tài)重分析，得到100 Hz范圍內(nèi)的7 階固有頻率和振型，如表5 所示。

表5 修改后車架模態(tài)分析Tab.5 Modal analysis of modified frame

優(yōu)化后車架模態(tài)頻率變化比較小，但100 Hz范圍內(nèi)固有頻率從9 階減少到7 階，中部彎曲振型沒有了。一階垂向彎曲模態(tài)從41.1 Hz 下降到39.3 Hz，稍微遠離了發(fā)動機激振頻率。同時，從圖9 車架優(yōu)化后的傳遞函數(shù)曲線可以看出，響應(yīng)點共振幅值從0.020 7 mm 下降到0.018 2mm，下降了0.002 5 mm，比優(yōu)化前減少12%。且原傳遞函數(shù)曲線在頻率86 Hz 處的峰值沒有了，因為優(yōu)化后車架在此頻率附近沒有振型變化。

圖9 車架優(yōu)化后傳遞函數(shù)曲線Fig.9 Transfer function curve of frame after optimization

5 結(jié)論

（1）通過對車架初始結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析，車架中部存在明顯彎曲振型，對貨物承載不利；

（2）計算車架橫梁發(fā)動機位置處到縱梁的傳遞函數(shù)，在頻率42 Hz 處產(chǎn)生明顯峰值，與車架第4 階垂向彎曲模態(tài)相對應(yīng)；

（3）為改善車架的中部剛度，結(jié)合實際需要，在車架中、后部增加2 根橫梁。優(yōu)化后車架的模態(tài)分析和傳遞函數(shù)計算相對比較理想，中部彎曲振型得到改善，共振處響應(yīng)點峰值下降12%；

（4）把傳遞函數(shù)應(yīng)用到模態(tài)分析中，為結(jié)構(gòu)可能發(fā)生的振動做出預(yù)測。