劉艷

摘要：度量的本質(zhì)是對(duì)度量對(duì)象指定一個(gè)合適的數(shù)，且指定的方法必須滿(mǎn)足“正規(guī)性”“有限可加性”和“運(yùn)動(dòng)不變性”。以小學(xué)階段長(zhǎng)度、面積、體積相關(guān)教學(xué)為例，探討如何在度量對(duì)象、度量單位及度量方法的教學(xué)中凸顯度量的本質(zhì)，體現(xiàn)度量教學(xué)的價(jià)值。

關(guān)鍵詞：度量;度量對(duì)象;度量單位;度量方法

一、度量的本質(zhì)

史寧中教授認(rèn)為，度量是人創(chuàng)造出來(lái)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，是人認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的工具。度量主要包括兩類(lèi)：一類(lèi)是通過(guò)抽象得到的，是人思維的結(jié)果;另一類(lèi)是借助工具得到的，是人實(shí)踐的結(jié)果。小學(xué)數(shù)學(xué)主要涉及借助工具得到的度量，包括長(zhǎng)度、面積、體積等。這些內(nèi)容在小學(xué)數(shù)學(xué)中屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域中的“測(cè)量”范疇。

長(zhǎng)度、面積、體積雖然維度不同，但作為測(cè)量過(guò)程，它們的本質(zhì)是一樣的，都遵循度量公理（具體定義見(jiàn)圖1）。換句話(huà)說(shuō)，度量公理可以化作長(zhǎng)度公理、面積公理或體積公理，取決于M是直線(xiàn)、平面還是三維空間。我們可以發(fā)現(xiàn)，度量的本質(zhì)是要對(duì)度量對(duì)象指定一個(gè)合適的數(shù)，即給度量對(duì)象賦值（度量對(duì)象包含幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)度量單位），而且指定的方法必須滿(mǎn)足正規(guī)性、有限可加性和運(yùn)動(dòng)不變性。其中，根據(jù)運(yùn)動(dòng)不變性可以推出全等形等積，二者等價(jià)。

由此我們可以得出，小學(xué)階段長(zhǎng)度、面積、體積教學(xué)的關(guān)鍵在于“數(shù)”出度量單位的個(gè)數(shù)，在數(shù)的過(guò)程中體會(huì)有限可加性和運(yùn)動(dòng)不變性。

二、關(guān)于度量的教學(xué)實(shí)踐

對(duì)于長(zhǎng)度、面積、體積等內(nèi)容，教材通常按照“度量對(duì)象—度量單位—度量方法”的順序編排，如“認(rèn)識(shí)體積—認(rèn)識(shí)體積單位—立體圖形體積計(jì)算”。無(wú)論度量對(duì)象，還是度量單位，抑或度量方法，在教學(xué)時(shí)都應(yīng)立足并凸顯度量的本質(zhì)。

（一）度量對(duì)象的教學(xué)

長(zhǎng)度、面積、體積都是度量對(duì)象，對(duì)這三個(gè)概念的理解學(xué)生通常有與生俱來(lái)的直覺(jué)。如對(duì)于體積，一個(gè)兩三歲的幼兒就已經(jīng)能辨別兩個(gè)蘋(píng)果的大小。“物體所占空間的大小叫作物體的體積”，這是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材給出的體積的定義，但這只能算是一種解釋?zhuān)⒉皇菄?yán)格的定義。實(shí)際上，“空間”比“體積”更難懂，更不容易描述清楚。體積就是對(duì)物體大小的度量，學(xué)生憑直覺(jué)就能基本理解。

面積同樣如此。當(dāng)物體上一個(gè)平的面或一個(gè)平面圖形呈現(xiàn)在學(xué)生眼前時(shí)，他們一般首先感知到的就是平面的大小。學(xué)生對(duì)面和面積的認(rèn)識(shí)有比較豐富的生活經(jīng)驗(yàn)，如每天接觸桌面、地面、墻面等，知道黑板面比桌面大，等等。但他們對(duì)面積的認(rèn)識(shí)還停留在零散、模糊、感性的階段。為了讓學(xué)生在已有認(rèn)知基礎(chǔ)上深入理解“面積”概念，首先要幫助他們厘清什么是面積。小學(xué)階段，我們通常引導(dǎo)學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)到“物體表面的大小或封閉的平面圖形的大小叫作它們的面積”。中學(xué)關(guān)于“面積”概念是這樣論述的——對(duì)應(yīng)于一個(gè)簡(jiǎn)單多邊形且具有下列性質(zhì)的正數(shù)叫作這個(gè)簡(jiǎn)單多邊形的面積：（1）與合同的（即全等的）多邊形對(duì)應(yīng)的是相等的正數(shù);（2）兩個(gè)多邊形之和對(duì)應(yīng)的正數(shù)等于這兩個(gè)多邊形對(duì)應(yīng)的正數(shù)的和。這樣的面積概念界定比較明顯地體現(xiàn)了全等形等積和可加性等特征。如果教學(xué)時(shí)僅僅組織學(xué)生對(duì)物體表面大小和平面圖形大小進(jìn)行一些經(jīng)驗(yàn)性的討論，顯然不利于“面積”概念的形成。對(duì)此，我們可以引導(dǎo)學(xué)生從度量的本質(zhì)入手，開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，認(rèn)識(shí)、體會(huì)面積的特點(diǎn)，把非正式的經(jīng)驗(yàn)發(fā)展為形式化的數(shù)學(xué)知識(shí)。具體教學(xué)如下：

師（出示圖2）下面是從同一幅中國(guó)地圖上描出的四個(gè)省的圖形。比一比：哪個(gè)省的面積最大，哪個(gè)省的面積最小？

（學(xué)生比較、交流。）

師 對(duì)于一些面積相差比較明顯的圖形，通過(guò)觀察就能看出哪個(gè)圖形面積大、哪個(gè)圖形面積小。（展示紙片，如圖3）這兒還有三個(gè)圖形，你能直接看出它們的面積大小嗎？選擇2個(gè)圖形，和同伴說(shuō)說(shuō)你是怎樣比較的。

生（展示方法，如圖4）可以用重疊的方法比較1號(hào)圖形和2號(hào)圖形。

師 我們用重疊的方法比出了1號(hào)圖形和2號(hào)圖形的面積大小。（將兩個(gè)紙片重疊，如圖5）現(xiàn)在把2號(hào)圖形和3號(hào)圖形重疊在一起，哪個(gè)大呢？

生 無(wú)法直接看出大小，可以剪拼后繼續(xù)比較。

（學(xué)生剪拼，如圖6所示，得到結(jié)論：3號(hào)圖形的面積大于2號(hào)圖形的面積。）

師 如果無(wú)法剪拼怎么辦？

生 也可以借助一些工具去量。

（學(xué)生用教師提供的若干三角形、正方形、圓形紙片開(kāi)展測(cè)量活動(dòng)。）

師 你們選用的是哪種圖形？

生 正方形。

師 為什么都選擇正方形？

生 正方形紙片可以無(wú)重疊、無(wú)間隙地鋪滿(mǎn)整個(gè)圖形。

生 鋪滿(mǎn)后類(lèi)似方格紙，我們可以數(shù)一數(shù)，2號(hào)圖形占35格，3號(hào)圖形占36格。

上述教學(xué)中，教師通過(guò)設(shè)計(jì)有層次的比較活動(dòng)，幫助學(xué)生逐步經(jīng)歷“觀察—重疊—剪拼—數(shù)方格”的比較方法，在比較過(guò)程中進(jìn)一步體會(huì)面積的特征，凸顯度量的本質(zhì)。比較面積大小常用的方法是觀察和重疊，而當(dāng)重疊無(wú)法直接得出比較的結(jié)果時(shí)，學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)自然地提出用剪拼的方法繼續(xù)比較。剪拼主要依據(jù)運(yùn)動(dòng)不變性——將圖形一部分剪下來(lái)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)平移到其他地方，其面積大小不變。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)方格的方法進(jìn)行比較。數(shù)方格的方法則主要體現(xiàn)有限可加性——這個(gè)圖形由多少個(gè)正方形拼成，它的面積就等于多少個(gè)正方形面積的和，最后的結(jié)果35格和36格就是為度量對(duì)象賦值?？此剖敲娣e比較方法的教學(xué)，其實(shí)處處體現(xiàn)度量的本質(zhì)，讓學(xué)生于無(wú)形中自然地體會(huì)與感受。

（二）度量單位的教學(xué)

度量對(duì)象的教學(xué)離不開(kāi)比較，度量單位的教學(xué)也是如此。為了比較兩個(gè)事物在某方面的差異，往往需要借助某個(gè)量來(lái)比較，從而對(duì)該差異進(jìn)行量化。長(zhǎng)度單位、面積單位、體積單位等度量單位就源于比較的需要，是基于問(wèn)題解決的產(chǎn)物，其發(fā)展經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的過(guò)程。以長(zhǎng)度單位為例，起初，單位是多樣化的，不同地域、不同人群有著不同的標(biāo)準(zhǔn)。如，《孔子家語(yǔ)》中記載“布手知尺，布指知寸”，規(guī)定拇指同中指一叉相距為一尺，中指節(jié)上一橫紋，為一寸;西方則采用“英尺”作為度量單位，將16個(gè)成年男子左腳長(zhǎng)度的平均值定為1英尺的單位長(zhǎng)度。由于這樣不便于傳播和交流，因此，目前國(guó)際上統(tǒng)一規(guī)定：使用長(zhǎng)度單位“米”，其長(zhǎng)度為光在真空中1299792458秒所經(jīng)過(guò)的距離?？梢?jiàn)，度量單位的發(fā)展經(jīng)歷了從多元走向統(tǒng)一、從粗略走向精細(xì)的過(guò)程。度量的基本原理就是計(jì)算所要度量的對(duì)象中包含多少個(gè)度量單位。因此，度量首先要確定度量單位，規(guī)定度量單位的量數(shù)為1，度量對(duì)象與度量單位的比值就是度量對(duì)象的量數(shù)，是一個(gè)正實(shí)數(shù)。

度量單位雖然可以說(shuō)是一個(gè)相對(duì)固化的標(biāo)準(zhǔn)，但對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，它是動(dòng)態(tài)的、可以演化的。如何幫助學(xué)生感受“度量單位的產(chǎn)生是人們根據(jù)需要人為制定的”，理解“度量就是規(guī)定度量單位的量數(shù)為1，找到度量對(duì)象與度量單位的比值”這一過(guò)程呢？《面積單位》一課導(dǎo)入環(huán)節(jié)，立足度量本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的情境，讓學(xué)生自覺(jué)深入地體會(huì)。具體教學(xué)如下：

師 （出示圖7）比較兩個(gè)圖形的面積，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生 正方形的面積比長(zhǎng)方形的小。

師 究竟小多少呢？大家可以用透明方格紙來(lái)研究一下。

（學(xué)生用學(xué)具探究后交流。）

師 通過(guò)交流我們發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)了不同的結(jié)果：（出示圖8）有的人說(shuō)長(zhǎng)方形比正方形大5格，（出示圖9，為便于觀察，已等比放大）有的說(shuō)大20格，（出示圖10，為便于觀察，已等比放大）還有的說(shuō)大45格。為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況呢？

生 所用的正方形大小不同。

師 用不同的正方形去量，得到的數(shù)就不同，但它們之間有沒(méi)有相同的地方？

（學(xué)生交流后明確：無(wú)論用哪種正方形去量，長(zhǎng)方形的面積都是正方形的6倍。）

師 雖然我們最后得到的格數(shù)不一樣，但“長(zhǎng)方形的面積是正方形面積的6倍”這一關(guān)系是不變的。如果我們打電話(huà)告訴別人“長(zhǎng)方形的面積是正方形面積的6倍”，別人能知道你說(shuō)的長(zhǎng)方形和正方形到底有多大嗎？

生 不能。就像我們之前學(xué)習(xí)的長(zhǎng)度單位“米”“ 厘米”一樣，需要有一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，即面積單位。

（教師簡(jiǎn)要介紹面積單位產(chǎn)生的歷史。）

導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師首先呈現(xiàn)一個(gè)比較任務(wù)：具體描述兩個(gè)圖形面積大小的比較結(jié)果。學(xué)生在完成任務(wù)的過(guò)程中認(rèn)識(shí)到，用大小不同的方格去度量，得到的結(jié)果也不同，因此產(chǎn)生建立標(biāo)準(zhǔn)的需要，感受到統(tǒng)一度量單位的必要性，這也正符合度量單位產(chǎn)生的歷史原因：基于解決問(wèn)題和交流的需要。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)比較結(jié)果不同中的相同點(diǎn)，得到“兩個(gè)圖形面積的倍數(shù)關(guān)系是不變的”。保羅·洛克哈特在《度量》一書(shū)中這樣說(shuō)道：“什么是度量？其實(shí)就是比較，比較我們正在度量的物體和用來(lái)度量的物體。我們所做的任何度量，都必然取決于我們所選定的計(jì)量單位。我們可以選擇任何我們想要的計(jì)量單位，不過(guò)，需要記住一點(diǎn)，其實(shí)我們真正在度量的只是一個(gè)比例?！碑?dāng)度量單位確定了，也就是量數(shù)為1的標(biāo)準(zhǔn)確定了，度量的結(jié)果也隨之確定下來(lái)。最后，介紹面積單位發(fā)展史，讓學(xué)生體會(huì)度量單位并不是憑空產(chǎn)生的，而是人們根據(jù)需要確立的，并且隨著時(shí)間的推移不斷地演變，最后趨于統(tǒng)一。今后隨著科技的進(jìn)步，也許還會(huì)出現(xiàn)新的需要，產(chǎn)生新的度量單位。

（三）度量方法的教學(xué)

長(zhǎng)度、面積、體積度量的基礎(chǔ)都是直線(xiàn)段的長(zhǎng)度，而直線(xiàn)段長(zhǎng)度的基礎(chǔ)是兩點(diǎn)間的直線(xiàn)距離。也就是說(shuō)，長(zhǎng)度、面積、體積度量的基礎(chǔ)是兩點(diǎn)間的直線(xiàn)距離，即二維面積、三維體積的度量最終都回歸到線(xiàn)性度量。長(zhǎng)方形的面積只需要測(cè)量長(zhǎng)和寬，長(zhǎng)方體的體積只需要測(cè)量長(zhǎng)、寬、高，就都能通過(guò)計(jì)算得出。正因?yàn)槿绱?，教學(xué)中容易出現(xiàn)側(cè)重于教學(xué)生如何“求”面積或體積而不是“測(cè)量”面積或體積的現(xiàn)象。度量的本質(zhì)是選用合適的單位描述待測(cè)的量。度量面積當(dāng)然應(yīng)該選用面積單位，同樣，度量體積應(yīng)選用體積單位。用長(zhǎng)乘寬就可以得到長(zhǎng)方形的面積，用長(zhǎng)乘寬乘高就可以得到長(zhǎng)方體的體積，使得用度量單位去度量的過(guò)程看似不那么重要。這恰恰違背了度量的本質(zhì)。所以教學(xué)中要拉長(zhǎng)用度量單位去和度量對(duì)象進(jìn)行比較的過(guò)程，放慢腳步，引導(dǎo)學(xué)生逐步感悟和理解二維、三維的度量可以回歸到線(xiàn)性度量的道理。如“長(zhǎng)方形的面積計(jì)算”的教學(xué)片段如下：

師我們已經(jīng)知道，圖形中包含多少個(gè)面積單位，它的面積就是多少。（出示圖11）你能估計(jì)一下這個(gè)長(zhǎng)方形的面積嗎？

（學(xué)生估計(jì)，出現(xiàn)多種結(jié)果。）

師大家估的結(jié)果各不相同，你們是怎樣估的？

（學(xué)生交流估的方法，最終明確：要看長(zhǎng)方形中包含多少個(gè)1平方厘米的面積單位。）

師為了方便大家估計(jì)，（出示圖12）我們把1平方厘米的小正方形擺在長(zhǎng)方形中，現(xiàn)在再來(lái)估一估長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米。

（學(xué)生繼續(xù)估計(jì)，仍然出現(xiàn)不同的結(jié)果。教師繼續(xù)出示圖13，學(xué)生再估計(jì)，還是出現(xiàn)不同的結(jié)果。）

師如果要知道這個(gè)長(zhǎng)方形的面積究竟是多少，先想一想，還要知道什么，再動(dòng)手?jǐn)[一擺。

（學(xué)生探究。）

師（出示圖14、圖15）比一比，這兩種擺法有什么相同的地方？

生都能清楚地看出每排擺7個(gè)，擺3排，一共有21個(gè)面積單位，所以面積是21平方厘米。

師（出示圖16、圖17）像這樣，用1平方厘米的小正方形擺在2個(gè)長(zhǎng)方形中，它們的面積分別是多少？

（學(xué)生交流，明確：只要知道每排擺幾個(gè)，擺幾排，就可以求出一共擺了多少個(gè)1平方厘米的正方形，長(zhǎng)方形的面積就是多少平方厘米。）

師現(xiàn)在，我們已經(jīng)知道測(cè)量面積需要用到1平方厘米的小正方形，但這個(gè)工具的獲得稍顯麻煩，我們身邊常用的測(cè)量工具是什么？

生直尺。

師直尺能幫助我們得到長(zhǎng)方形的面積嗎？（出示下頁(yè)圖18）看圖想一想，你知道每排擺幾個(gè)小正方形嗎？擺了幾排？怎么知道的？

生長(zhǎng)4厘米表示一排擺4個(gè)小正方形，寬2厘米表示擺2排，一共擺4×2=8個(gè)小正方形，面積是8平方厘米。

師（出示圖19）看圖想一想：怎么擺小正方形？面積是多少？

（學(xué)生交流。）

師為什么測(cè)出長(zhǎng)和寬就能知道面積？

生長(zhǎng)表示每排擺幾個(gè)小正方形，寬表示擺幾排，長(zhǎng)乘寬就是算長(zhǎng)方形里包含的小正方形的個(gè)數(shù)。知道小正方形的個(gè)數(shù)，就知道了面積。

上述教學(xué)中，教師始終圍繞度量面積的本質(zhì)，設(shè)計(jì)了估一估、擺一擺、比一比、練一練等學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生多次經(jīng)歷用面積單位測(cè)量長(zhǎng)方形面積的過(guò)程，體會(huì)長(zhǎng)方形的面積就是看包含多少個(gè)面積單位。同樣，在教學(xué)平行四邊形、三角形等多邊形的面積計(jì)算及圓的面積計(jì)算時(shí)，仍然要先用面積單位去度量，體積的教學(xué)亦是如此，以突出用度量單位與度量對(duì)象做比較的本質(zhì)。其中，在過(guò)渡到線(xiàn)性度量即量長(zhǎng)和寬就能量出面積后，教師也緊緊抓住“為什么測(cè)出長(zhǎng)和寬就能知道長(zhǎng)方形的面積”這個(gè)核心問(wèn)題組織學(xué)生討論，使學(xué)生始終把握度量的本質(zhì)——長(zhǎng)乘寬就是求一共擺多少個(gè)面積單位，所以得到的就是長(zhǎng)方形的面積。需要指出的是，體會(huì)長(zhǎng)乘寬得到長(zhǎng)方形的面積不是一次完成的活動(dòng)，今后遇到長(zhǎng)方形的長(zhǎng)或?qū)捠切?shù)時(shí)還需要引導(dǎo)學(xué)生再次進(jìn)行體會(huì)，深化理解。

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