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        無網(wǎng)格穩(wěn)定配點法及其在彈性力學(xué)中的應(yīng)用

        2021-07-01 06:06:36王莉華劉義嘉錢志浩
        計算力學(xué)學(xué)報 2021年3期
        關(guān)鍵詞:子域網(wǎng)格法遼金

        王莉華, 劉義嘉, 鐘 偉, 錢志浩

        (同濟大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院,上海 200092)

        1 引 言

        無網(wǎng)格法[1-4]在數(shù)據(jù)輸入時不需要提供單元連接信息,即節(jié)點之間不受網(wǎng)格結(jié)構(gòu)限制,很大程度上節(jié)省了建模的時間和成本,而且可以在計算中根據(jù)需要改變節(jié)點的位置而不存在網(wǎng)格畸變問題,因此在大變形、高速碰撞、斷裂破壞、金屬成型以及微觀粒子運動等復(fù)雜問題分析中具有明顯優(yōu)勢,常應(yīng)用到一些傳統(tǒng)的數(shù)值計算方法(如有限元法和邊界元法等)無法很好解決和尚未觸及的領(lǐng)域。常用的無網(wǎng)格法主要分為基于伽遼金法的弱形式和基于配點法的強形式兩類。伽遼金型無網(wǎng)格法主要包括擴散單元法DEM[5]、無網(wǎng)格伽遼金法EFG[6]、重構(gòu)核粒子法RKPM[7]、hp云團法[8]、單位分解法PUM[9]、無網(wǎng)格局部彼得洛夫-伽遼金法MLPG[10]、徑向點插值法RPIM[11]和光滑粒子伽遼金法SPG[12]等。配點型無網(wǎng)格法主要包括徑向基函數(shù)配點法RBCM[3-15]、分區(qū)徑向基函數(shù)配點法SRBCM[6-18]、局部徑向基函數(shù)配點法[19]、徑向點插值配點法RPICM[20]、重構(gòu)核近似配點法RKCM[21,22]、有限點法FPM[23]和hp無網(wǎng)格云團法[24]等。

        伽遼金型無網(wǎng)格法具有精度高和穩(wěn)定性好的優(yōu)點,但是由于無網(wǎng)格形函數(shù)通常是有理式,且形函數(shù)影響域與背景積分網(wǎng)格通常不重合,所以伽遼金型無網(wǎng)格法通常難以實現(xiàn)準(zhǔn)確的數(shù)值積分。雖然穩(wěn)定節(jié)點積分SCNI[25-27]等技術(shù)能夠提高積分精度,但是積分過程較為復(fù)雜,尤其是構(gòu)建高階穩(wěn)定節(jié)點積分顯著增加了問題求解的復(fù)雜度。因此伽遼金型無網(wǎng)格法的效率較低,進(jìn)行大規(guī)模計算非常耗時。配點型無網(wǎng)格法構(gòu)建模式簡單,不需要積分,所以效率非常高,而且結(jié)合一些特定的形函數(shù)還可以獲得超收斂率[15]。然而,由于采用單個配點方程代表附近求解區(qū)域的信息而不對整個區(qū)域積分,其在求解一些復(fù)雜問題時精度和穩(wěn)定性往往較差[3]。

        本文針對伽遼金型和配點型無網(wǎng)格法的缺點,介紹一種改進(jìn)的配點法,即無網(wǎng)格穩(wěn)定配點法,該方法采用重構(gòu)核函數(shù)作為近似函數(shù),構(gòu)建規(guī)則子域進(jìn)行準(zhǔn)確積分。該方法在構(gòu)造近似場函數(shù)和數(shù)值積分中不需要背景網(wǎng)格,是一種真正的無網(wǎng)格法。其僅在規(guī)則子域積分,而不是像伽遼金法一樣在整個求解區(qū)域積分,既保留了配點法效率高的特點,又具備伽遼金型無網(wǎng)格法精度高和穩(wěn)定性好的特點,而且還兼具有限體積法滿足局域離散方程守恒的特點。與伽遼金型無網(wǎng)格法相比,無網(wǎng)格穩(wěn)定配點法的計算效率更高;與配點型無網(wǎng)格法相比,本文方法穩(wěn)定性好且精度高。該方法兼具效率高、精度高、穩(wěn)定性好和局域離散方程守恒的特點,可以應(yīng)用于固體力學(xué)問題的求解,未來可將其進(jìn)一步應(yīng)用于流體力學(xué)和流固耦合問題分析。

        2 重構(gòu)核近似

        重構(gòu)核近似和移動最小二乘是無網(wǎng)格法中最常用的兩類形函數(shù),當(dāng)采用多項式作為基函數(shù)時,移動最小二乘近似和重構(gòu)核近似在本質(zhì)上是等價的。在重構(gòu)核近似中,假定近似函數(shù)可以表示為

        (1)

        式中c(x)是需要確定的未知矢量,HT(x-xI)是一組基矢量,其表達(dá)式如下,

        HT(x-xI)=[1,x-xI,y-yI,…,

        (x-xI)m(y-yI)n,…,

        (y-yI)p]

        (m+n≤p)(2)

        (3)

        式中rx=|x-xI|/θx,ry=|y-yI|/θy,θx和θy分別表示x和y方向影響域的大小,通??扇ˇ葂=θy。核函數(shù)可取如下三次B樣條函數(shù),

        (4)

        式中r=‖x-xI‖/θ。為了保證數(shù)值求解的精度和穩(wěn)定性,形函數(shù)需滿足如下的p階一致性條件,

        (m+n≤p)(5)

        式中N為影響域內(nèi)離散點的個數(shù)。式(5)可改寫為

        (6)

        將式(1)代入式(6)可得未知矢量為

        c(x)=M-1(x)H(0)

        (7)

        式中M(x)稱作矩量矩陣,表示為

        (8)

        將式(7)代回式(1)可得重構(gòu)核近似的表達(dá)式為

        (9)

        其一階和二階導(dǎo)數(shù)為

        (α=x,y)(10)

        (α=x,y;β=x,y)(11)

        (12)

        (13)

        3 重構(gòu)核配點法

        在重構(gòu)核配點法RKCM(Reproducing Kernel Collocation Method)[21,22]中,采用重構(gòu)核近似作為近似函數(shù),基于配點法構(gòu)建離散方程。不失一般性,考慮彈性力學(xué)問題如下,

        σi j,j+bi=0inΩ

        (14)

        σi jnj=hionΠ

        (15)

        ui=gionΓ

        (16)

        式中σi j=Ci j k lεk l為應(yīng)力張量,Ci j k l=λδi jδk l+μ(δi kδj l+δi lδj k)為彈性張量,其中拉梅常數(shù)λ=νE/(1+ν)(1-2ν),μ=E/2(1+ν),E為彈性模量,ν為泊松比,εi j=u(i,j)=(ui,j+uj,i)/2為應(yīng)變張量,ui為位移,Ω為求解域,Π和Γ分別是自然和本質(zhì)邊界,bi為體力,hi和gi為給定的面力和位移,nj為自然邊界Π的外法線方向。

        將位移用重構(gòu)核近似函數(shù)離散為

        (17)

        式中a=[a1,…,aN]T,aI=[ax I,ay I]T

        (18)

        Φ=[Φ1,…,ΦN],ΦI=ΨII

        (19)

        (20)

        式中

        (21)

        (22)

        (23)

        (24)

        4 重構(gòu)核粒子法RKPM

        重構(gòu)核粒子法RKPM(Reproducing Kernel Particle Method)[7]采用重構(gòu)核近似作為近似函數(shù),結(jié)合伽遼金法構(gòu)建離散方程。在伽遼金法中,引入權(quán)函數(shù)wi,并在整個問題區(qū)域內(nèi)對控制方程(14)積分得

        (25)

        采用分步積分并引入散度定理,式(25)可表示為

        (26)

        考慮自然邊界條件方程(15),并代入應(yīng)變表達(dá)式得

        (27)

        代入近似函數(shù)(17)并定義權(quán)函數(shù)的近似函數(shù)為w≈Ψ,式(27)可改寫為

        (28)

        (29)

        (30)

        (31)

        本質(zhì)邊界條件(16)可以通過拉格朗日乘子法[6]和罰函數(shù)法[28]等方法施加,本文采用拉格朗日乘子法施加本質(zhì)邊界條件。

        在數(shù)值計算中,無網(wǎng)格法可以借鑒有限元法的數(shù)值積分模式,將求解區(qū)域離散成相連而互不重疊的背景積分網(wǎng)格Ωl(l=1,2,…,Nl),在背景積分網(wǎng)格上對剛度矩陣采用高斯積分得

        (32)

        (33)

        同理,將自然邊界離散成相連而互不重疊的背景積分網(wǎng)格Πb(b=1,2,…,Nb),對載荷矩陣采用高斯積分得

        (34)

        (35)

        5 無網(wǎng)格穩(wěn)定配點法

        在無網(wǎng)格穩(wěn)定配點法[29]中,首先在求解域及其邊界上布置若干個離散點,以每個離散點為中心構(gòu)建一子域,域內(nèi)子域通??蛇x用正方形,在子域內(nèi)積分如下。

        (36)

        (37)

        (38)

        (39)

        (40)

        將重構(gòu)核近似位移離散函數(shù)(17)代入式(36~38),可得

        (41)

        (42)

        無網(wǎng)格穩(wěn)定配點法中,在規(guī)則的四邊形子域內(nèi)進(jìn)行高斯積分,可表示為

        (43)

        (44)

        (45)

        無網(wǎng)格穩(wěn)定配點法和典型的數(shù)值方法的比較列入表1,發(fā)現(xiàn)穩(wěn)定配點法具有如下優(yōu)點。

        表1 典型數(shù)值方法比較Tab.1 Comparison of the numerical methods

        (1) 構(gòu)建近似函數(shù)和積分均不需要背景網(wǎng)格,是真正的無網(wǎng)格法。

        (2) 在子域內(nèi)容易實現(xiàn)高階準(zhǔn)確積分,積分精度高,效率高。

        (3) 積分子域只和離散點的位置有關(guān),在變形前后均保持規(guī)則形狀。

        (4) 滿足局域離散方程守恒,這對于提高流體力學(xué)問題的數(shù)值計算精度和穩(wěn)定性尤為重要。

        另外,需要特別說明的是,無網(wǎng)格穩(wěn)定配點法和無網(wǎng)格局部彼得洛夫-伽遼金法(MLPG)都是在子域內(nèi)進(jìn)行積分。不同的是,無網(wǎng)格穩(wěn)定配點法采用的是強形式直接積分;而無網(wǎng)格局部彼得洛夫-伽遼金法采用的是弱形式,引入散度定理,由于采用子域積分,需采用特定的試函數(shù)使得域內(nèi)子域自然邊界條件積分為0以簡化計算,而且其和邊界交界的子域積分也需經(jīng)過特殊處理。此外,無網(wǎng)格局部彼得洛夫-伽遼金法的子域在邊界上可能會截斷,影響計算精度,而無網(wǎng)格穩(wěn)定配點法的子域可以超出計算域,更為自由。因此,無網(wǎng)格局部彼得洛夫-伽遼金法的計算要比無網(wǎng)格穩(wěn)定配點法更為復(fù)雜,且求解精度受積分精度影響,而無網(wǎng)格穩(wěn)定配點法更容易實現(xiàn)準(zhǔn)確積分。

        6 數(shù)值算例

        在數(shù)值計算中,采用如下的L2和H1誤差來評估算法的精度

        (46)

        (47)

        (i=1,2,…,Nd)(48)

        式中RNd(i)∈(-1,1)為服從正態(tài)分布的隨機數(shù),Nd為隨機數(shù)的個數(shù)。定義相對誤差如下,

        (49)

        (50)

        6.1 一維桿問題

        考察如圖2所示左端固定的一維桿問題,其控制方程和邊界條件如下。

        圖1 穩(wěn)定配點法中點的布置

        圖2 一維桿

        EAu,x x+f(x)=0,u(0)=0,EAu,x(L)=0

        (51)

        圖3和圖4(相對誤差定義見式(49,50))比較了采用重構(gòu)核配點法、重構(gòu)核粒子法和穩(wěn)定配點法的精度、收斂性和穩(wěn)定性,其中重構(gòu)核粒子法和穩(wěn)定配點法均采用兩點高斯積分,結(jié)果表明穩(wěn)定配點法的精度、收斂率和穩(wěn)定性均優(yōu)于重構(gòu)核配點法和重構(gòu)核粒子法。圖5比較了三種方法的剛度矩陣條件數(shù),其中穩(wěn)定配點法的條件數(shù)最低,這也使得其具有更好的穩(wěn)定性。從圖6的計算時間比較可以看出,穩(wěn)定配點法和重構(gòu)核配點法的效率均高于重構(gòu)核粒子法。

        圖3 一維桿問題的數(shù)值計算結(jié)果

        圖4 一維桿問題的穩(wěn)定性分析

        圖5 一維桿問題的剛度矩陣條件數(shù)

        圖6 一維桿問題的計算時間

        6.2 空心圓筒問題

        如圖7所示,無限長空心圓筒受內(nèi)壓為P0=500 N,外壓為P1=500 N,圓筒內(nèi)徑為r0=4 m,外徑為r1=10 m。彈性模量E=2×107Pa,泊松比ν=0.3。由于對稱性,僅采用圓筒的1/4作為數(shù)值計算模型進(jìn)行離散。其控制方程和邊界條件可表示為

        圖7 空心圓筒問題

        (52)

        式中ti=σi jnj。此問題的解析解為

        (53)

        圖8和圖9的數(shù)值計算結(jié)果再次表明,穩(wěn)定配點法的精度和穩(wěn)定性均優(yōu)于直接配點法(重構(gòu)核配點法)和伽遼金型無網(wǎng)格法(重構(gòu)核粒子法),而且其對應(yīng)的剛度矩陣條件數(shù)更低,如圖10所示,這也有利于提高數(shù)值結(jié)果的穩(wěn)定性。圖11的計算時間比較表明,穩(wěn)定配點法的效率略低于直接配點法,明顯優(yōu)于伽遼金型的重構(gòu)核粒子法。

        圖8 空心圓筒問題的數(shù)值計算結(jié)果

        圖9 空心圓筒問題的穩(wěn)定性分析

        圖10 空心圓筒問題的剛度矩陣條件數(shù)

        圖11 空心圓筒問題的計算時間

        7 結(jié) 論

        本文介紹了一種新的無網(wǎng)格法,即無網(wǎng)格穩(wěn)定配點法,該方法不需要網(wǎng)格構(gòu)建近似函數(shù),也不需要背景網(wǎng)格進(jìn)行積分,是一種真正的無網(wǎng)格法。由于子域都是規(guī)則的正方形,采用高斯積分可以實現(xiàn)準(zhǔn)確積分,提高了算法的精度和穩(wěn)定性,而且子域積分有利于降低離散矩陣的條件數(shù),進(jìn)一步提高了算法的穩(wěn)定性。由于對應(yīng)積分子域只和配點位置有關(guān),和問題求解區(qū)域形狀以及變形均無關(guān),對于大變形和局部高梯度等復(fù)雜問題[18]同樣適用,對于任何問題,積分子域都是規(guī)則子域而不會發(fā)生變形。相較于直接配點型無網(wǎng)格法,穩(wěn)定配點法通過準(zhǔn)確子域積分提高了精度和穩(wěn)定性,積分非常高效,仍然保持配點型無網(wǎng)格法的高效性。相較于伽遼金型無網(wǎng)格法需要在全域內(nèi)積分,而且難以實現(xiàn)準(zhǔn)確積分,穩(wěn)定配點法只需要在局部子域進(jìn)行積分,而且通過傳統(tǒng)高斯積分就可以實現(xiàn)高階準(zhǔn)確積分,所以比伽遼金型無網(wǎng)格法具有更高的效率。彈性力學(xué)算例的數(shù)值計算結(jié)果展示了該方法精度高、效率高和穩(wěn)定性好的優(yōu)點。由于穩(wěn)定配點法的基本方法是子域法,與有限體積法一樣滿足局部離散方程守恒,因此其在流體力學(xué)和流固耦合分析中具有較大潛力,未來將進(jìn)一步拓展這些方面的應(yīng)用研究。

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