陳水生， 趙 輝*， 李錦華， 夏鈺桓

(1.華東交通大學(xué) 土木建筑學(xué)院，南昌 330013； 2.湖北恒大建設(shè)工程有限公司，武穴 435400)

1 引 言

在空間上處于車(chē)輪與橋梁間的橋面不平順既影響車(chē)輛行駛安全和乘坐舒適性，也是橋梁產(chǎn)生隨機(jī)振動(dòng)的主要激勵(lì)源。如何建立有效的貼近實(shí)際的橋面不平順隨機(jī)激勵(lì)模型，對(duì)研究車(chē)橋耦合系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律至關(guān)重要。雖然國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)車(chē)橋耦合振動(dòng)的研究從未間斷，也創(chuàng)造了很多有價(jià)值的成果,但針對(duì)橋面不平順隨機(jī)激勵(lì)的數(shù)值模擬，大多采用濾波白噪聲法、諧波疊加法和逆傅里葉變換法等方法[1-5]，沒(méi)有考慮車(chē)輛左右輪跡的相干性。已有的研究表明，雖然車(chē)輛各輪具有相同的功率譜密度，但左右輪跡間存在互譜，再現(xiàn)兩輪轍激勵(lì)時(shí)域模型時(shí)必須考慮其空間相干性[6]。而有關(guān)車(chē)輛左右輪跡相干的橋面激勵(lì)研究大多采用濾波白噪聲法[7,8]，該方法通過(guò)擬合左右輪跡間的傳遞函數(shù)生成左右輪相干的激勵(lì)樣本，但生成的右輪跡激勵(lì)樣本丟失了高頻成分，導(dǎo)致不能吻合目標(biāo)功率譜密度，雖然有學(xué)者對(duì)丟失的高頻成分進(jìn)行補(bǔ)償，但效果并不理想，高頻成分很難把握，波動(dòng)較大[9]。文獻(xiàn)[10]雖然考慮了各車(chē)輪間的相干函數(shù)關(guān)系，但時(shí)域模型沒(méi)有驗(yàn)證有效性；文獻(xiàn)[11,12]分別采用諧波疊加法和逆傅里葉變換法建立了左右輪跡相干的路面隨機(jī)激勵(lì)模型，但沒(méi)有說(shuō)明相位角的相干關(guān)系建立過(guò)程，且左右輪路面激勵(lì)樣本的相干函數(shù)值與理論值誤差較大。

因此，針對(duì)上述研究中車(chē)輛各輪相干橋面激勵(lì)模型存在的不足，本文考慮左右輪間的相干函數(shù)關(guān)系和前后輪間的時(shí)間滯后關(guān)系，詳細(xì)推導(dǎo)了左右輪橋面不平順特性中對(duì)應(yīng)相位角的相干關(guān)系，利用相位角的相干關(guān)系建立車(chē)輛各輪相干的橋面不平順時(shí)域模型，并驗(yàn)證了時(shí)域模型的有效性。最后，通過(guò)工程實(shí)例說(shuō)明車(chē)輛六輪相干橋面隨機(jī)激勵(lì)對(duì)車(chē)橋耦合振動(dòng)的影響。

2 車(chē)輛六輪相干橋面不平順激勵(lì)模型

2.1 單輪橋面不平順激勵(lì)模型

基于功率譜表征的方法，車(chē)輛單輪橋面激勵(lì)隨機(jī)過(guò)程r(t)可以表示為傅里葉隨機(jī)增量的Fourier-Stieltjes積分[13],

(1)

隨機(jī)增量dZ(ω)必須滿足如下的正交條件，

E{dZ(ω)}=0

(2)

(3)

式中Sr(ω)為橋面不平順的功率譜密度函數(shù)。當(dāng)隨機(jī)過(guò)程為實(shí)數(shù)時(shí)，需滿足dZ(-ω)=dZ*(ω)，方程(1)可以表示為

(4)

對(duì)式(4)的隨機(jī)增量可以有如下近似表達(dá)式，

(5)

(6)

2.2 左右輪相干橋面激勵(lì)模型

δ(ω+ωk)]dω=Sr(ω)

(7)

左右輪橋面不平順的互功率譜密度函數(shù)計(jì)算如下,

(8)

根據(jù)左右輪跡相干函數(shù)的定義，可以得到相干函數(shù)與左右輪跡相位角的關(guān)系為

(9)

(10)

式中sign(x)為符號(hào)函數(shù)，x為正負(fù)隨機(jī)數(shù)，已知左右輪跡的相干函數(shù)，并將上述得到的右輪跡相位角代入式(6)，就可以得到右輪的時(shí)域樣本。

2.3 前后輪橋面激勵(lì)模型

同一側(cè)的輪跡，中輪和后輪的橋面激勵(lì)滯后前輪一段時(shí)間，中輪和后輪的橋面激勵(lì)數(shù)學(xué)表示為

(11)

按照前后輪時(shí)間滯后的關(guān)系，結(jié)合式(8)可以求得中輪和后輪的橋面激勵(lì)樣本，如左側(cè)中輪的求解可以表示為

(12)

3 數(shù)值算例

道路不平順是一隨機(jī)過(guò)程，具有各態(tài)歷經(jīng)性，當(dāng)車(chē)輛以速度v勻速行駛時(shí)，橋面激勵(lì)輸入的功率譜密度(PSD)可以表示為

(13)

式中n0=0.1m-1為空間參考頻率,Sr(n0)為橋面不平度系數(shù)，與橋面等級(jí)有關(guān),ω為頻帶[ωL,ωU]的某一圓頻率。

為驗(yàn)證本文車(chē)輛六輪相干橋面不平順時(shí)域模型的有效性，采用文獻(xiàn)[14]的相干函數(shù)模型

(14)

圖1 左側(cè)輪跡不平度樣本

圖2 前中后輪互相關(guān)函數(shù)

計(jì)算左輪跡各車(chē)輪橋面激勵(lì)樣本的功率譜密度，并與理論值進(jìn)行對(duì)比，如圖3所示，可以看出,橋面激勵(lì)樣本的功率譜與理論功率譜吻合很好。

圖3 橋面激勵(lì)的功率譜密度

相同的相干函數(shù)模型式(14)，不同的車(chē)輛各輪相干橋面激勵(lì)生成方法，圖4給出了本文方法生成的橋面不平順時(shí)域樣本的相干函數(shù)，并與文獻(xiàn)[11,12]方法的研究結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。可以看出，頻率越低，相干性越強(qiáng)，頻率越高，相干性越弱；本文方法左右輪跡的相干函數(shù)與理論值非常吻合，而文獻(xiàn)[11,12]的誤差相對(duì)較大；綜上所述，說(shuō)明本文的車(chē)輛六輪相干多變量橋面不平順時(shí)域模型有效可靠且精度較高。

圖4 左右輪相干函數(shù)計(jì)算值與理論值對(duì)比

4 工程應(yīng)用

4.1 車(chē)橋耦合振動(dòng)模型

采用傳統(tǒng)的彈簧-質(zhì)量-阻尼振動(dòng)體系將一輛三軸重載汽車(chē)簡(jiǎn)化為三軸九自由度空間模型，考慮車(chē)體豎向振動(dòng)、縱向點(diǎn)頭、側(cè)翻以及車(chē)輪振動(dòng)，車(chē)輛參數(shù)參考文獻(xiàn)[15]。依據(jù)達(dá)朗貝爾原理，建立九自由度車(chē)輛振動(dòng)方程如下,

(15)

以江西奉銅高速公路上的某預(yù)應(yīng)力混凝土簡(jiǎn)支T梁橋?yàn)檠芯繉?duì)象，橋梁上部結(jié)構(gòu)由6片T梁組成，T梁高2 m，單片梁寬2.1 m。橋面橫向布置為0.5 m(防撞欄)+11.65 m(行車(chē)道)+0.5 m(防撞欄)。使用廣義坐標(biāo)離散的方法建立橋梁的振動(dòng)方程，

(16)

式中Fg為車(chē)輛自重引起的各車(chē)輪作用點(diǎn)處的荷載向量，s為單元結(jié)點(diǎn)向量。

采用模態(tài)綜合法，聯(lián)立式(15，16)，可得車(chē)橋耦合振動(dòng)方程為

(17)

式中Mb v，Cb v和Kb v分別為車(chē)橋相互作用模型的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，F(xiàn)w為路面不平順隨機(jī)激勵(lì)引起的車(chē)橋耦合豎向荷載，u為廣義坐標(biāo)向量。

(18)

(19)

4.2 車(chē)橋耦合振動(dòng)響應(yīng)分析

為充分體現(xiàn)橋面激勵(lì)的隨機(jī)性特征，本文在分析車(chē)輛六輪相干橋面隨機(jī)激勵(lì)對(duì)車(chē)橋系統(tǒng)的影響時(shí)，采用傳統(tǒng)蒙特卡羅法對(duì)車(chē)橋振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。按照本文車(chē)輛六輪相干橋面不平順激勵(lì)時(shí)域樣本的生成方法，隨機(jī)產(chǎn)生10000個(gè)橋面不平順激勵(lì)樣本，求解車(chē)輛和橋梁在不同不平順樣本激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)。為研究方便，車(chē)輛荷載只考慮一種布置方式，荷載作用在次邊梁上，車(chē)輛外側(cè)車(chē)輪距離防撞欄1.475 m，車(chē)輛以72 km/h的速度行駛在B級(jí)橋面。

4.2.1 考慮車(chē)輛六輪相干性

如前言所述，學(xué)者們?cè)谘芯寇?chē)橋耦合振動(dòng)響應(yīng)時(shí)，并沒(méi)有考慮車(chē)輛多輪多點(diǎn)的相干性，為了分析車(chē)輛左右輪相干橋面不平順激勵(lì)對(duì)車(chē)橋系統(tǒng)的影響，以前軸左右車(chē)輪為例，圖5給出了左右輪相干和不相干的橋面不平順激勵(lì)樣本的功率譜密度，可以看出，考慮相干的前軸左右輪橋面不平順激勵(lì)的功率譜曲線幾乎是重合的，即左右輪橋面不平順激勵(lì)頻率幾乎相同；而不相干的前軸左右輪橋面不平順激勵(lì)的功率譜曲線明顯不同，即左右輪橋面不平順激勵(lì)頻率不相同。從圖6前軸左右輪的車(chē)橋相互作用力也可以看出，相干橋面不平順激勵(lì)的左右輪車(chē)橋相互作用力幾乎是重合的，左右輪的車(chē)橋相互作用力均值都是31.754 kN，標(biāo)準(zhǔn)差都是24.25 kN；不相干橋面不平順激勵(lì)的左右輪車(chē)橋相互作用力完全不同，其左右輪車(chē)橋相互作用力的均值分別為32.314 kN和32.55 kN，標(biāo)準(zhǔn)差分別為26.781 kN和28.481 kN?？梢?jiàn)，左右輪相干的橋面不平順激勵(lì)頻率相同，左右車(chē)輪的車(chē)橋相互作用力也相同；而不相干的左右輪橋面不平順激勵(lì)頻率不同，且左右輪的車(chē)橋相互作用力差別較大。

圖5 前軸左右輪的橋面不平順功率譜密度

圖6 前軸左右輪的車(chē)橋相互作用力

車(chē)輛各輪相干和不相干橋面不平順激勵(lì)下的橋梁邊梁跨中豎向位移響應(yīng)如圖7所示，可以看出，車(chē)輛六輪相干與不相干的橋梁豎向位移響應(yīng)均值基本重合，說(shuō)明橋梁的振動(dòng)響應(yīng)主要是由車(chē)輛自身重力這一確定性荷載激勵(lì)引起；車(chē)輛六輪相干的橋面隨機(jī)激勵(lì)對(duì)橋梁豎向位移響應(yīng)均值影響很小，但對(duì)橋梁豎向振動(dòng)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差的影響大于不相干橋面激勵(lì)，表明其增大了橋梁振動(dòng)響應(yīng)的離散程度；相干橋面激勵(lì)下的橋梁豎向位移標(biāo)準(zhǔn)差最大值是不相干橋面激勵(lì)效應(yīng)最大值的1.4倍。

圖7 橋梁振動(dòng)響應(yīng)

為了探究車(chē)輛六輪相干橋面不平順激勵(lì)對(duì)車(chē)體豎向、俯仰和側(cè)傾三個(gè)方向振動(dòng)響應(yīng)的影響，圖8 和圖9分別給出了車(chē)體的振動(dòng)位移和振動(dòng)加速度響應(yīng)，可以看出，車(chē)體豎向位移響應(yīng)的均值受車(chē)輛六輪相干橋面激勵(lì)的影響較大，相干橋面激勵(lì)的車(chē)體豎向位移響應(yīng)均值最大值是不相干橋面激勵(lì)效應(yīng)最大值的1.12倍；相干橋面激勵(lì)的車(chē)體豎向位移標(biāo)準(zhǔn)差和加速度響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差的最大值分別是不相干橋面激勵(lì)效應(yīng)最大值的1.46倍和1.43倍；相干橋面激勵(lì)的車(chē)體俯仰角位移標(biāo)準(zhǔn)差和加速度標(biāo)準(zhǔn)差最大值分別是不相干橋面激勵(lì)效應(yīng)最大值的1.41倍和1.38倍；但是，相干橋面激勵(lì)的車(chē)體側(cè)傾角位移標(biāo)準(zhǔn)差和加速度標(biāo)準(zhǔn)差小于不相干橋面激勵(lì)效應(yīng)，不相干的位移標(biāo)準(zhǔn)差最大值和加速度標(biāo)準(zhǔn)差最大值分別是相干的4.83倍和3.72倍。車(chē)體側(cè)傾角振動(dòng)響應(yīng)出現(xiàn)相干情況小于不相干情況，這與圖5和圖6的結(jié)果一致，不相干的橋面不平順激勵(lì)頻率不同且左右輪車(chē)橋相互作用力大小不同，導(dǎo)致了車(chē)體左右搖擺較為劇烈，引起較大的側(cè)傾角振動(dòng)響應(yīng)。

圖8 車(chē)體振動(dòng)位移響應(yīng)

圖9 車(chē)體振動(dòng)加速度響應(yīng)

可見(jiàn)，車(chē)輛各輪相干橋面不平順激勵(lì)對(duì)車(chē)橋耦合振動(dòng)系統(tǒng)的影響較大，且對(duì)車(chē)體振動(dòng)的影響大于對(duì)橋梁振動(dòng)的影響，使車(chē)輛豎向振動(dòng)和前后點(diǎn)頭振

動(dòng)更激烈，但又減弱了車(chē)輛左右搖擺的激烈程度；車(chē)橋耦合系統(tǒng)的振動(dòng)位移響應(yīng)對(duì)車(chē)輛各輪相干橋面激勵(lì)比振動(dòng)加速度響應(yīng)敏感，特別是車(chē)輛振動(dòng)位移標(biāo)準(zhǔn)差會(huì)隨著車(chē)輛的行駛有小幅度緩慢增加，而振動(dòng)加速度標(biāo)準(zhǔn)差卻趨于平緩。因此，在研究車(chē)橋耦合振動(dòng)時(shí)，有必要考慮車(chē)輛各輪橋面不平順激勵(lì)的相干性。

4.2.2 不同相干函數(shù)

車(chē)輛左右輪跡相干函數(shù)模型通常需要現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)并經(jīng)過(guò)擬合得到，除了本文分析采用的文獻(xiàn)[14]相干函數(shù)，還有文獻(xiàn)[16]的長(zhǎng)春汽車(chē)研究所在柏油路上測(cè)定的相干函數(shù)模型和文獻(xiàn)[17]的相干函數(shù)模型。采用不同的相干函數(shù)模型生成多變量橋面激勵(lì)，其對(duì)橋梁邊梁跨中豎向和車(chē)輛側(cè)傾角振動(dòng)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差的影響如圖10所示。可以看出，三種相干函數(shù)模型對(duì)橋梁振動(dòng)響應(yīng)的影響相差不大，文獻(xiàn)[16]誤差相對(duì)較小，文獻(xiàn)[14，17]結(jié)果較為接近；但車(chē)輛側(cè)傾角振動(dòng)響應(yīng)對(duì)不同的相干函數(shù)模型很敏感，文獻(xiàn)[16]相干函數(shù)模型影響最大，文獻(xiàn)[17]相干函數(shù)模型影響最小。

圖10 不同相干函數(shù)模型的車(chē)橋系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)

4.2.3 不同相干強(qiáng)度

圖11 不同相干強(qiáng)度的車(chē)橋系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)

5 結(jié) 論

本文在功率譜表示法生成單變量橋面不平順的基礎(chǔ)上，根據(jù)車(chē)輛左右輪橋面不平順特性中對(duì)應(yīng)相位角的相干關(guān)系，生成車(chē)輛各輪相干的橋面不平順隨機(jī)激勵(lì)。數(shù)值算例結(jié)果表明，利用相位角相干生成的車(chē)輛各輪相干橋面不平順激勵(lì)，不僅滿足理論功率譜密度和相干函數(shù)的要求，還比其他生成方法精度高。在實(shí)際工程中，車(chē)輛各輪相干橋面激勵(lì)增大了橋梁的振動(dòng)響應(yīng)，也增大了車(chē)輛的豎向和俯仰角振動(dòng)響應(yīng)，但減小了車(chē)輛側(cè)傾角振動(dòng)響應(yīng)。不同相干函數(shù)模型對(duì)橋梁振動(dòng)影響較小，對(duì)車(chē)輛振動(dòng)影響較大，且車(chē)橋系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)對(duì)相干強(qiáng)度的強(qiáng)弱很敏感。