趙永鵬， 殷 紅， 彭珍瑞

(蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070)

1 引 言

隨著工程技術(shù)領(lǐng)域的不斷發(fā)展，有限元技術(shù)的應(yīng)用更加廣泛，但是各種不確定性因素，如建模時(shí)的簡(jiǎn)化及安裝誤差等對(duì)結(jié)果的影響很大，因此建立一個(gè)可靠有效的有限元模型就變得尤為重要。當(dāng)前，通過模型修正來獲得準(zhǔn)確的有限元模型(FEM)是主流的方法。模型修正方法分為確定性和不確定性兩種[1]，確定性方法在近年來有了廣泛發(fā)展。但是，由于各種不確定性的情況，出現(xiàn)的誤差較多。所以，在模型修正中充分考慮不確定性的影響，從而構(gòu)建一種隨機(jī)性的模型修正方法勢(shì)在必行。

參數(shù)不確定性的模型修正方法指通過多次模態(tài)實(shí)驗(yàn)得到相應(yīng)數(shù)據(jù)，計(jì)算出具有統(tǒng)計(jì)特征的有限元模型，來表明實(shí)際結(jié)構(gòu)的靜動(dòng)力學(xué)行為、機(jī)理和演化規(guī)律等。方圣恩等[2]充分考慮了修正參數(shù)的不確定性，通過計(jì)算參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征量對(duì)一組鋼板進(jìn)行了修正。Fang等[3]通過Hermite多項(xiàng)式的顯式多項(xiàng)式混沌展開，把不確定的參數(shù)和響應(yīng)通過構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)響應(yīng)面模型(RSM)對(duì)一組金屬板進(jìn)行了修正。Zhai等[4]以模態(tài)參數(shù)為響應(yīng)，基于改進(jìn)的響應(yīng)面模型和先進(jìn)的蒙特卡洛(MC)方法，對(duì)一航空發(fā)動(dòng)機(jī)定子系統(tǒng)(殼體)進(jìn)行了修正。Bi等[5]構(gòu)建了一個(gè)完全嵌入Bhattacharyya距離的近似貝葉斯模型的修正框架，對(duì)一質(zhì)量彈簧系統(tǒng)進(jìn)行了模型修正，證明了方法的有效性。Deng等[6]通過構(gòu)建代理模型、設(shè)置校準(zhǔn)參數(shù)以及將距離函數(shù)作為參數(shù)相關(guān)性的衡量標(biāo)準(zhǔn)等步驟進(jìn)行了隨機(jī)模型修正。Khodaparast等[7]利用模態(tài)響應(yīng)(如固有頻率和模態(tài)振型)中得到的可變性來估計(jì)隨機(jī)修正參數(shù)的第一和第二統(tǒng)計(jì)矩，通過一個(gè)三自由度的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)對(duì)所提方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

通過結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)進(jìn)行修正將不可避免地在識(shí)別的過程中引入一些誤差，實(shí)際工程中由于實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)的識(shí)別而出現(xiàn)的誤差有可能會(huì)在某些特定情況下比建模精度低引起的誤差更大。而基于頻響函數(shù)(FRFs)的模型修正方法因?yàn)榭梢月匀ソY(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別而得到廣泛應(yīng)用，該方法減少了各種誤差的出現(xiàn)，適于對(duì)模態(tài)分布相對(duì)比較密的結(jié)構(gòu)進(jìn)行修正。李偉明等[8]利用頻響函數(shù)為輸出對(duì)一個(gè)二維桁架進(jìn)行了修正。王巨濤等[9]利用加速度頻響函數(shù)曲線對(duì)應(yīng)頻率點(diǎn)處的響應(yīng)值之差構(gòu)造目標(biāo)函數(shù),對(duì)GARTEUR飛機(jī)模型進(jìn)行了修正。但是頻響函數(shù)包含的數(shù)據(jù)信息量很大，怎樣選出好的頻率點(diǎn)數(shù)據(jù)以得到期望的修正效果，現(xiàn)在還沒有形成統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。因此，可以考慮引入一個(gè)特征向量對(duì)頻響函數(shù)進(jìn)行表征，以避免上述問題。張勇等[10]提取頻響函數(shù)的特征向量對(duì)一扭力梁模型進(jìn)行了修正。上述研究大都應(yīng)用于確定性的模型修正，但鮮見應(yīng)用于不確定性模型修正。提升小波變換LWT(Lifting Wavelet Transform)屬于第二代小波變換，與傳統(tǒng)小波變換相比，提升小波變換不僅擁有多分辨率的特點(diǎn)，而且具有計(jì)算時(shí)間少，整個(gè)流程相對(duì)簡(jiǎn)單以及變換后數(shù)據(jù)長(zhǎng)度不變等優(yōu)勢(shì)[11]。宋萌萌等[12]選擇提升小波變換對(duì)得到的初始信號(hào)進(jìn)行降低噪聲的處理，得到的結(jié)果滿足要求。袁海英等[13]利用提升小波變換對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻特性分析和信息預(yù)處理，通過預(yù)測(cè)器和更新器的設(shè)計(jì)取代了小波基函數(shù)選取過程。提升小波變換不再使用傅立葉變換，也沒有利用函數(shù)的平移或伸縮，而是在時(shí)域中就可以完成原始信號(hào)不同頻帶上的分離。經(jīng)過變換后各層分量的小波能量對(duì)信號(hào)的變化有很高的敏感性，且對(duì)噪聲污染、小波種類選擇及小波層數(shù)具有魯棒性。因此，選擇提升小波變換對(duì)頻響函數(shù)進(jìn)行分解，提取總能量值來表征頻響函數(shù)可以最大程度上保證頻響函數(shù)的特征不發(fā)生變化，而且也減少了頻響函數(shù)信息過多引起的各種處理困難。

本文構(gòu)建了一種以提升小波總能量為響應(yīng)，通過篩選響應(yīng)樣本反求出待修正參數(shù)的隨機(jī)模型修正方法。首先對(duì)加速度頻響函數(shù)進(jìn)行提升小波變換，提取對(duì)應(yīng)的提升小波總能量作為輸出，以待修正參數(shù)作為輸入，構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型代替有限元模型；然后利用蒙特卡洛抽樣得到大量的響應(yīng)樣本，并通過設(shè)置閾值對(duì)響應(yīng)樣本進(jìn)行優(yōu)化篩選；最后構(gòu)造一個(gè)優(yōu)化反問題，利用布谷鳥優(yōu)化算法反求出輸入即待修正參數(shù)，計(jì)算修正后參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征。分別對(duì)平面桁架和三維鋼桁架結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行修正，證明了所構(gòu)建方法的有效性。

2 頻響函數(shù)提升小波總能量

2.1 加速度頻響函數(shù)

在具有阻尼的系統(tǒng)中，通過一個(gè)簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用所得的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

在頻域內(nèi)的輸入輸出關(guān)系可以表示為

A(ω)=H(ω)F(ω)

(2)

式中A(ω)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，H(ω)為加速度頻響函數(shù)，F(xiàn)(ω)為簡(jiǎn)諧激勵(lì)，ω為激勵(lì)頻率。

相應(yīng)的加速度頻響函數(shù)可以表示為

(3)

2.2 提升小波變換

對(duì)于得到的頻響函數(shù)，選擇提升小波變換對(duì)其能量值進(jìn)行提取。因?yàn)槌Ｒ姷男〔V波器的輸出是浮點(diǎn)數(shù)，所以對(duì)變換后的值選擇壓縮時(shí)需要量化才能得出對(duì)應(yīng)的整數(shù)。Swelden[14]選擇了根據(jù)提升方式改進(jìn)小波特性得到小波基函數(shù)的新模式即提升小波變換。提升小波變換共分為三個(gè)過程: 分裂、預(yù)測(cè)和更新。

(1) 分裂。根據(jù)原始信號(hào)sj奇偶性的不同可以得到兩個(gè)沒有相關(guān)性的子集。所得子集的長(zhǎng)度是初始信號(hào)的1/2。如式(4)所示：

sj=(ej - 1,oj - 1)

(4)

式中ej - 1={ej - 1,k=sj,2k}為偶序列，oj - 1={oj - 1,k=sj,2k + 1}為奇序列。

(2) 預(yù)測(cè)。根據(jù)第一步提取的偶序列ej - 1來預(yù)測(cè)奇序列oj - 1。如式(5)所示，用實(shí)際值oj - 1與預(yù)測(cè)值ej - 1的差值dj - 1來表示其接近程度，稱作細(xì)節(jié)系數(shù)，同時(shí)也屬于原始信號(hào)的高頻分量。

dj - 1=oj - 1-P(ej - 1)

(5)

式中P為預(yù)測(cè)函數(shù)，用相鄰數(shù)據(jù)的平均值來表示：

pk(ej - 1)=(ej - 1,k+ej - 1,k + 1)/2

(6)

(3) 更新。這一步的目的是要使第二步產(chǎn)生的某些特征(如均值等)與原始信號(hào)的特征保持不變?？梢酝ㄟ^算子U來實(shí)現(xiàn)：

sj - 1=ej - 1+U(dj - 1)

(7)

式中sj - 1為原始信號(hào)的低頻部分，U為更新算子函數(shù)，可以表示為Uk(dj - 1)=dj - 1,k/2。

通過提升小波變換之后，可以將原始信號(hào)sj變?yōu)楦哳l分量dj - 1和低頻分量sj - 1；將低頻部分sj - 1繼續(xù)進(jìn)行相同的步驟，又可以分解為二層高頻dj - 2和二層低頻sj - 2；以此類推，可以根據(jù)要求進(jìn)行n層的提升小波分解，原始信號(hào)就可以表示為{sj - n,dj - n,…,dj - 1}。其中sj - n為信號(hào)的低頻部分，{dj - n,…,dj - 1}為信號(hào)的高頻部分。

對(duì)頻響函數(shù)進(jìn)行提升小波變換后，即可得出各層的高頻部分和低頻部分。設(shè)Ej d為原始信號(hào)sj在尺度n上的高頻分量總能量：

(8)

相應(yīng)的低頻分量能量Ej s也可以得到，信號(hào)的提升小波總能量為各個(gè)尺度下的小波能量的總和[15]。

Ez=E1d+E2d+…+Ej d+Ej s

(9)

3 響應(yīng)面模型

對(duì)于一些大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，由于其內(nèi)部存在很多的零部件，以及很多邊界尺寸數(shù)據(jù)的不確定性，所以在有限元建模的過程中存在困難，從而建立的有限元模型變得十分復(fù)雜，在模型修正過程中可能會(huì)出現(xiàn)計(jì)算無法收斂或者所用時(shí)間很長(zhǎng)等問題。選擇一個(gè)代理模型來代替這個(gè)復(fù)雜的有限元模型，可以方便計(jì)算，提高效率。多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型具有建立相對(duì)簡(jiǎn)單且預(yù)測(cè)精度高的優(yōu)點(diǎn)，因此本文選擇建立響應(yīng)面模型來代替有限元模型。這個(gè)代理模型將一個(gè)物理系統(tǒng)的輸入?yún)?shù)x和輸出響應(yīng)y通過數(shù)學(xué)多項(xiàng)式結(jié)合起來：

y=f(x1,x2,…，xn)+ε

(10)

式中f為輸入與輸出間的映射，ε為建模誤差，n為輸入?yún)?shù)的數(shù)量。

對(duì)于一般性的工程問題，大多采用二階多項(xiàng)式模型作為一種基本的形式，即

(11)

式中bo,bi,bi i和bi j為回歸系數(shù)，xi和xj為輸入?yún)?shù)。

響應(yīng)面構(gòu)建完成后，需對(duì)其進(jìn)行精度檢驗(yàn)，判斷是否滿足后續(xù)計(jì)算要求，常用的檢驗(yàn)方法為計(jì)算真實(shí)值與預(yù)測(cè)值間的均方根誤差，即

(12)

因此,根據(jù)提取的輸出與輸入?yún)?shù)就可以構(gòu)建二階響應(yīng)面代理模型，然后再對(duì)其進(jìn)行精度檢驗(yàn)。

4 響應(yīng)樣本獲取

4.1 蒙特卡洛抽樣

蒙特卡洛方法提供了一種可替代分析數(shù)學(xué)評(píng)估統(tǒng)計(jì)量在隨機(jī)樣本中行為的方法。根據(jù)樣本的概率分布，用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)模擬或抽樣，屬于一種隨機(jī)抽樣方法。常見的數(shù)值計(jì)算方法由于需要多次迭代，導(dǎo)致最后誤差累積很大，影響結(jié)果，而蒙特卡洛抽樣雖然也有迭代，但是沒有像其他方法那樣頻繁迭代，產(chǎn)生的誤差一般可以忽略不計(jì)，對(duì)最后的抽樣結(jié)果也是基本沒有影響。因此，在已知響應(yīng)概率分布的情況下，運(yùn)用蒙特卡洛抽樣可以得到大量的響應(yīng)樣本，認(rèn)為這些樣本就是試驗(yàn)值，然后用于隨機(jī)模型修正過程。

4.2 響應(yīng)樣本篩選

通過蒙特卡洛抽樣得到大量響應(yīng)樣本，由于是一種隨機(jī)的抽樣方法，所以可能會(huì)存在抽取的樣本波動(dòng)范圍過大，以至于超出了實(shí)際試驗(yàn)所能測(cè)得的范圍，樣本稱之為失真樣本。如果將這些數(shù)據(jù)也代入修正過程，就失去了實(shí)際的意義，可能導(dǎo)致修正的結(jié)果很不理想。因此，可以通過設(shè)定一個(gè)閾值來對(duì)抽樣數(shù)據(jù)進(jìn)行一次優(yōu)化篩選，使得篩選后的數(shù)據(jù)與實(shí)際情況更加接近。本文通過計(jì)算抽樣響應(yīng)值與真實(shí)響應(yīng)值間的均方根誤差進(jìn)行樣本的篩選，

(13)

為了保證所抽取樣本的真實(shí)性并且選擇有效的樣本，按照至少保留80%左右樣本的準(zhǔn)則進(jìn)行篩選。計(jì)算所有的RMSE值，根據(jù)該準(zhǔn)則設(shè)定一個(gè)閾值，當(dāng)RMSE值比閾值小時(shí)保留，反之則淘汰。

5 模型修正

根據(jù)上述理論，通過響應(yīng)面模型代替有限元模型后，以蒙特卡洛抽樣后優(yōu)選的響應(yīng)值與響應(yīng)面模型預(yù)測(cè)響應(yīng)值差值最小來構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)。

(14)

建立目標(biāo)函數(shù)之后，模型修正變成對(duì)目標(biāo)函數(shù)求解的問題。由于布谷鳥優(yōu)化算法具有全局搜索能力強(qiáng)和參數(shù)少等優(yōu)勢(shì)，因此本文選擇該算法進(jìn)行尋優(yōu)以得到修正后的參數(shù)值。

綜合頻響函數(shù)提升小波總能量的提取，響應(yīng)面模型的建立，響應(yīng)樣本的篩選，目標(biāo)函數(shù)的求解等步驟，可得隨機(jī)模型修正流程如圖1所示。

圖1 模型修正流程

6 數(shù)值算例

6.1 平面桁架

如圖2所示平面桁架，該桁架結(jié)構(gòu)共有14個(gè)節(jié)點(diǎn)和25個(gè)自由度。桿單元的彈性模量為210 GPa，材料密度為7850 kg/m3。將該平面桁架結(jié)構(gòu)作為試驗(yàn)?zāi)Ｐ停x擇彈性模量和密度為待修正參數(shù)。對(duì)參數(shù)進(jìn)行偏離，其中密度減小10%，彈性模量增加10%作為相應(yīng)的有限元模型列入表1。選擇第11節(jié)點(diǎn)y方向?yàn)榧?lì)點(diǎn)位置，第3節(jié)點(diǎn)y方向?yàn)闇y(cè)點(diǎn)位置。

圖2 平面桁架模型

表1 試驗(yàn)?zāi)Ｐ团c有限元模型參數(shù)

選擇拉丁超立方法獲取樣本點(diǎn)。在待修正參數(shù)的±20%區(qū)間內(nèi)抽取40個(gè)樣本點(diǎn)。對(duì)于抽樣所得40組樣本，選擇前20組為樣本集擬合響應(yīng)面模型，后20組為測(cè)試集，用來驗(yàn)證代理模型的精度。通過回歸擬合出響應(yīng)面模型如圖3所示。

圖3 平面桁架的響應(yīng)面模型

假設(shè)試驗(yàn)值均服從正態(tài)分布。依據(jù)抽樣所得樣本點(diǎn)，可以得到其加速度頻響函數(shù)值，對(duì)其進(jìn)行三層的提升小波變換，提取相應(yīng)的提升小波總能量。根據(jù)蒙特卡洛方法完成抽樣，共抽取200個(gè)樣本。對(duì)于抽取的樣本通過設(shè)定閾值進(jìn)行篩選，按照至少保留80%數(shù)據(jù)篩選過后，代入修正過程進(jìn)行求解。

對(duì)構(gòu)建的響應(yīng)面模型進(jìn)行精度檢驗(yàn)后，所得均方根誤差RMSE值如圖4所示?？梢钥闯觯琑MSE值最大不超過0.06。由此可得，所構(gòu)建的響應(yīng)面模型精度滿足計(jì)算要求，該模型有效。

圖4 響應(yīng)面模型RMSE值

通過上述方法進(jìn)行模型修正，修正結(jié)果列入 表2。由表2可知，修正誤差小于2.1%，達(dá)到了較高的修正精度。

為了進(jìn)一步說明方法的有效性，修正前后的頻響函數(shù)曲線如圖5所示?？梢钥闯?，修正后的頻響函數(shù)曲線與真實(shí)值的曲線重合度高，證明用提升小波總能量來表征頻響函數(shù)作為結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行模型修正是可行的。

圖5 修正前后頻響函數(shù)曲線

6.2 三維桁架

如圖6所示三維桁架。該桁架共有28個(gè)節(jié)點(diǎn)，66個(gè)單元，48個(gè)自由度。總長(zhǎng)2.8 m，寬0.39 m，高0.27 m。桁架共四個(gè)支座固定(節(jié)點(diǎn)編號(hào)為1,8,9,16)，節(jié)點(diǎn)鉸接。桁架的材料參數(shù)彈性模量為190 GPa，密度為7800 kg/m3。尺寸參數(shù)上弦桿和下弦桿橫截面積為85.5 mm2，直腹桿橫截面積為141.0 mm2，斜腹桿橫截面積為45.0 mm2。結(jié)構(gòu)的激勵(lì)位置和響應(yīng)位置分別如圖6所示。

圖6 三維桁架模型

6.2.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)與樣本選取

選擇如圖6所示三維桁架結(jié)構(gòu)作為本算例的試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，相?yīng)的有限元模型通過對(duì)待修正參數(shù)進(jìn)行一定范圍的偏離得到。選擇材料參數(shù)的彈性模量和密度以及尺寸參數(shù)的上弦桿橫截面積共三個(gè)參數(shù)為待修正參數(shù)。對(duì)參數(shù)進(jìn)行偏離，其中密度減小10%，彈性模量增加10%，上弦桿橫截面積減少10%，有限元模型參數(shù)列入表3。

表3 試驗(yàn)?zāi)Ｐ团c有限元模型參數(shù)

建立響應(yīng)面模型，樣本點(diǎn)的選擇很重要。常用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法有中心復(fù)合法、全因子法和拉丁超立方法等。本文選擇拉丁超立方法獲取樣本點(diǎn)，該方法采樣比較均勻且樣本具有代表性，符合模型建立的要求。在三個(gè)待修正參數(shù)的±20%區(qū)間內(nèi)利用拉丁超立方抽樣抽取40個(gè)樣本點(diǎn)。

假設(shè)試驗(yàn)值均服從正態(tài)分布。根據(jù)蒙特卡洛方法完成抽樣，共抽取2000個(gè)樣本。對(duì)于抽取的樣本通過設(shè)定閾值進(jìn)行篩選，按照至少保留80%數(shù)據(jù)(即1600個(gè))的要求篩選后，代入修正過程進(jìn)行求解。

6.2.2 提升小波總能量的提取

依據(jù)拉丁超立方抽樣所得樣本點(diǎn)，可以得到其加速度頻響函數(shù)值，如圖7所示。以試驗(yàn)值的頻響函數(shù)曲線為例，對(duì)其進(jìn)行三層的提升小波變換，可以求得各層高頻分量和低頻分量如圖8所示，然后提取相應(yīng)的提升小波能量，將提取的各層能量求和，就可以得到提升小波總能量。

圖7 試驗(yàn)?zāi)Ｐ皖l響函數(shù)曲線

圖8 三層提升小波變換分量

6.2.3 響應(yīng)面代理模型的構(gòu)造及檢驗(yàn)

對(duì)于抽樣所得40組樣本，選擇前20組為樣本集作為響應(yīng)面模型的輸入x，后20組為測(cè)試集，用來驗(yàn)證代理模型的精度。將20組輸入與其所對(duì)應(yīng)的輸出(即頻響函數(shù)提升小波總能量)通過回歸擬合求出響應(yīng)面模型的各個(gè)參數(shù)，得到代理模型表達(dá)式為

y=18.2007-0.0011x1-0.0091x2-215.08x3+

0.0013x1x3+0.043x2x3

(15)

將后20組樣本代入計(jì)算得到相應(yīng)的輸出，然后對(duì)構(gòu)建的響應(yīng)面模型進(jìn)行精度檢驗(yàn)。所得均方根誤差RMSE值如圖9所示。均方根誤差越接近0表明響應(yīng)面精度越高?？梢钥闯?，RMSE值不超過0.07，所構(gòu)建的響應(yīng)面模型精度滿足計(jì)算要求，該模型有效。

圖9 響應(yīng)面模型RMSE值

6.2.4 模型修正

通過蒙特卡洛抽樣得到2000個(gè)響應(yīng)樣本如 圖10 所示，通過多次預(yù)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)設(shè)定閾值為0.092時(shí)滿足篩選準(zhǔn)則要求。對(duì)所有樣本排序后進(jìn)行篩選，經(jīng)過篩選后共有1643個(gè)樣本符合要求。如圖11所示為篩選后的樣本。將這些樣本依次代入目標(biāo)函數(shù)中，通過布谷鳥算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)求得最小值，可得到對(duì)應(yīng)的1643組輸入即為修正后的參數(shù)。算出修正后各參數(shù)的均值，修正前后的參數(shù)均值列入表4。

圖10 蒙特卡洛抽取的響應(yīng)值

圖11 優(yōu)化篩選的響應(yīng)值

表4 修正前后參數(shù)均值

由表4可知，修正后參數(shù)均值的誤差相比于修正前有了明顯的減小，說明修正效果良好。修正前后的提升小波總能量值列入表5。由表5可知，提升小波總能量的誤差比修正前也有了大幅的減小，表明該方法完成隨機(jī)模型修正是可行的。采用修正后的參數(shù)均值可得其加速度頻響函數(shù)如 圖12 所示。圖中修正后的頻響函數(shù)曲線與真實(shí)值的曲線基本重合，相較于修正前的曲線，修正效果達(dá)到了預(yù)期的目的。

表5 修正前后提升小波總能量

圖12 修正前后頻響函數(shù)曲線

圖13和圖14分別給出修正前后頻響函數(shù)實(shí)部和虛部曲線，可以看出，修正值與真實(shí)值的實(shí)部虛部曲線基本重合，進(jìn)一步說明修正結(jié)果良好。

圖13 頻響函數(shù)實(shí)部曲線

圖14 頻響函數(shù)虛部曲線

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提方法的有效性，以平面桁架為例，分別將頻響函數(shù)和提升小波總能量作為響應(yīng)進(jìn)行模型修正,結(jié)果列入表6，所有結(jié)果均是在同一臺(tái)計(jì)算機(jī)上運(yùn)行20組?？梢钥闯觯瑢⑻嵘〔偰芰孔鳛轫憫?yīng)進(jìn)行模型修正所用時(shí)間更短；在修正精度方面，彈性模量修正精度有了很大提高，雖然材料密度修正精度略有降低，但是總體來說效率有了一定提高，計(jì)算量也有所減小，能夠達(dá)到隨機(jī)模型修正的目的。

表6 誤差與時(shí)間對(duì)比

7 結(jié) 論

(1) 本文構(gòu)建了一種基于加速度頻響函數(shù)提升小波總能量的隨機(jī)模型修正方法，提取頻響函數(shù)的提升小波總能量作為響應(yīng)，應(yīng)用于隨機(jī)模型修正過程，既利用了頻響函數(shù)，又減小了計(jì)算量，提高了計(jì)算效率，修正的結(jié)果達(dá)到預(yù)期目標(biāo)。

(2) 對(duì)于蒙特卡洛抽樣得到的響應(yīng)樣本，通過設(shè)定閾值進(jìn)行了一次優(yōu)化篩選，充分考慮了修正過程的隨機(jī)性，保證了樣本可靠性的同時(shí)也使后續(xù)的修正過程變得更加容易。

(3) 通過平面桁架和三維桁架模型對(duì)所提方法進(jìn)行驗(yàn)證，修正后參數(shù)均值的最大誤差小于 3.3%，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的頻響函數(shù)曲線吻合良好，達(dá)到了隨機(jī)模型修正的目的。