摘要：數(shù)學(xué)思維模式是一定的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)思維方式結(jié)合而成的動(dòng)力系統(tǒng)。以小學(xué)數(shù)學(xué)教材為例，就“數(shù)學(xué)思維的操作模式——數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思維的機(jī)理模式——數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)思維的動(dòng)態(tài)模式——數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維的工具模式——數(shù)學(xué)意識(shí)”四種數(shù)學(xué)思維模式的操作及作用進(jìn)行研究，促使學(xué)生自覺地學(xué)會(huì)用“數(shù)學(xué)的思維方式”思考問題，從而真正學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思維方式。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維模式;操作模式;機(jī)理模式;動(dòng)態(tài)模式;工具模式

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2021）04B-0053-04

數(shù)學(xué)思維模式是指主體在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中形成的相對(duì)穩(wěn)定的思維樣式，是數(shù)學(xué)模式在主體頭腦中概括加工的反映。因此數(shù)學(xué)思維模式是一定的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)思維方式結(jié)合而成的動(dòng)力系統(tǒng)。數(shù)學(xué)思維模式是關(guān)于認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模式的思維模式，它具有約簡(jiǎn)思維過程、降低思維難度、提高思維效率的認(rèn)識(shí)功能。思維模式是相對(duì)于模式所使用的思維活動(dòng)的范圍大小而言的。從大的方面說，數(shù)學(xué)思維模式有“數(shù)學(xué)思維的操作模式——數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思維的機(jī)理模式——數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)思維的動(dòng)態(tài)模式——數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維的工具模式——數(shù)學(xué)意識(shí)”四大類[1]94。數(shù)學(xué)思維模式有別于其他學(xué)科的思維模式，是數(shù)學(xué)的精髓部分。筆者就談?wù)勥@四種數(shù)學(xué)思維模式的操作方法及作用。

一、數(shù)學(xué)思維的操作模式：數(shù)學(xué)方法

操作模式的數(shù)學(xué)思維表現(xiàn)為有章可循、可以操作的一種程序，如加減乘除的四則運(yùn)算法則，三角形、梯形、圓的面積公式等。這里講的操作，是一種思維操作。例如，用三角板畫三角形的高，教師歸納了“一放二靠三移四畫五標(biāo)記”的程序，就是為了便于學(xué)生掌握三角形高的畫法。

以蘇教版三年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)“有趣的乘法”（如圖1）為例：

此處乘積中個(gè)、十、百位上的三個(gè)數(shù)是一個(gè)定型的運(yùn)算，這也是一種運(yùn)算結(jié)構(gòu)，這種新的操作結(jié)構(gòu)，可記為：兩頭一拉，中間一加。若這兩位數(shù)的個(gè)位與十位數(shù)字相加滿十，可將操作模式進(jìn)一步完善為：兩頭一拉，中間一加，滿十進(jìn)一。

我們說思維法則，既是經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，又是進(jìn)一步思維的引導(dǎo)。重要法則的反復(fù)操練，不僅可以熟悉數(shù)學(xué)知識(shí)，形成技能，也是練就數(shù)學(xué)基本功的重要手段。法則的靈活運(yùn)用就是技巧，較常用的技巧就是方法，方法和技巧是操作模式的數(shù)學(xué)思維中的較高層次。方法的運(yùn)用提高了法則的效率，有助于對(duì)數(shù)學(xué)的深刻理解。

隨著學(xué)生學(xué)習(xí)年級(jí)的升高，還會(huì)遇到更多數(shù)學(xué)思維的操作模式，如中學(xué)階段的換元法、待定系數(shù)法、消元法、“十字相乘法”等都屬于數(shù)學(xué)思維操作模式的范疇。操作模式的數(shù)學(xué)思維有利于熟悉數(shù)學(xué)知識(shí)和形成數(shù)學(xué)技能，掌握基本的數(shù)學(xué)方法。

二、數(shù)學(xué)思維的機(jī)理模式：數(shù)學(xué)原理

機(jī)理模式的數(shù)學(xué)思維，表現(xiàn)為一種適應(yīng)范圍廣、高層次的方法。它充滿著理性與邏輯性，常以數(shù)學(xué)原理的形式出現(xiàn)，有時(shí)雖然也有操作，但操作只處于從屬地位。如果說操作模式的數(shù)學(xué)思維表現(xiàn)為“一定要這樣”，那么機(jī)理模式的數(shù)學(xué)思維突出的是“為什么是這樣”[1]97。機(jī)理模式的數(shù)學(xué)思維表現(xiàn)有：分析和綜合原理、等價(jià)原理、對(duì)稱原理、構(gòu)造原理、分類原理、抽屜原理、加法原理、乘法原理等。

下面，我們先來看蘇教版五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)的一道例題：“南山中心小學(xué)舉行小學(xué)生足球賽，有4支球隊(duì)參加，分別是紅隊(duì)、黃隊(duì)、綠隊(duì)和藍(lán)隊(duì)。如果每?jī)芍蜿?duì)比賽一場(chǎng)，一共要比賽多少場(chǎng)？”此題共有四種解法，讓我們不妨對(duì)其中兩種解法進(jìn)行剖析。

第一種：在紙上寫下紅、黃、綠和藍(lán)四支球隊(duì)，然后兩兩配對(duì)（如圖2），一一數(shù)之，可得結(jié)果為6場(chǎng)。

這種方法主要是有章可循的操作思維，其實(shí)質(zhì)是兩兩搭配關(guān)系的思維操作，它表現(xiàn)出的是“一定要這樣”。

第二種：首先運(yùn)用一一列舉的方法，列成圖3;然后抽象出算法：4×3÷2=6（場(chǎng)）。

這種方法主要是分類或分解原理的機(jī)理思維。其實(shí)質(zhì)是乘法原理的應(yīng)用。它表現(xiàn)為“為什么是這樣”。

再來看學(xué)生在小學(xué)階段學(xué)習(xí)計(jì)算，算法是計(jì)算的基本程序和方法，應(yīng)該把算理作為計(jì)算的原理和依據(jù)。學(xué)生提高計(jì)算能力，增強(qiáng)計(jì)算正確性，不能靠死記算法，而應(yīng)建立在理解算理的基礎(chǔ)上;也不能靠反復(fù)演練，而應(yīng)巧想活用。不重視算理的理解，單純地訓(xùn)練算法，充其量也只是獲得了操作技能。計(jì)算方法是依據(jù)有關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)，將計(jì)算過程中的推理系統(tǒng)化和程序化，它是一種先進(jìn)的邏輯推理形式。

在這里需要指出的是，如果沒有法則和方法的認(rèn)真操作，就不能形成扎實(shí)的基本功;如果沒有上升到數(shù)學(xué)原理去思維，思考法則和方法的機(jī)理，勢(shì)必是機(jī)械的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。反過來，如果僅僅是從原理上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，而不是在法則訓(xùn)練的基礎(chǔ)上去提煉，則數(shù)學(xué)原理就成了無源之水，無本之木。機(jī)理模式的數(shù)學(xué)思維有利于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和連貫系統(tǒng)的建構(gòu)。

三、數(shù)學(xué)思維的動(dòng)態(tài)模式：數(shù)學(xué)思想

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本要求是理解，要將數(shù)學(xué)知識(shí)廣泛地融會(huì)貫通，這就是動(dòng)態(tài)模式的數(shù)學(xué)思維，表現(xiàn)為數(shù)學(xué)思想，是一種辯證性、運(yùn)動(dòng)性、總體性的思維形式，從普遍聯(lián)系的視角進(jìn)行數(shù)學(xué)思維。如轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)動(dòng)思想、數(shù)形結(jié)合思想、優(yōu)化思想、集合思想、極限思想、對(duì)應(yīng)思想、變換思想、普遍性和特殊性思想等，都屬于動(dòng)態(tài)思維模式。

動(dòng)態(tài)模式的數(shù)學(xué)思想是溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)踐之間內(nèi)在聯(lián)系的思維形式，是深刻的居高臨下式理解知識(shí)的思維模式。許多定理、公式、法則在高一級(jí)形式都能實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一。

如小學(xué)里學(xué)習(xí)直線幾何圖形的面積，從蘇教版教材的編排來看，它是按照長(zhǎng)方形—正方形—平行四邊形—三角形—梯形的順序，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)逐個(gè)推導(dǎo)這些圖形的面積公式，如圖4：

在單元知識(shí)整理課上，教師又設(shè)計(jì)了以“基本型”（梯形）為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生歸納分析這五種直線平面圖形面積公式的演變過程。同樣地，再可根據(jù)梯形動(dòng)態(tài)變化，想象演變成長(zhǎng)方形和正方形，用梯形面積公式推出長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算公式。

在動(dòng)態(tài)模式的數(shù)學(xué)思維下，學(xué)生不僅發(fā)現(xiàn)五種直線平面圖形之間的聯(lián)系，而且抽象的直線平面圖形面積計(jì)算公式之間也有著聯(lián)系，都可用梯形面積公式來統(tǒng)整?？梢?，學(xué)習(xí)知識(shí)就是一個(gè)不斷由薄到厚和由厚到薄的過程。這里的由厚到薄的“薄”，不是知識(shí)少了，而是精了，是知識(shí)的理解達(dá)到了融會(huì)貫通。動(dòng)態(tài)思維反映了思維的發(fā)展，沒有動(dòng)態(tài)思維就沒法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

四、數(shù)學(xué)思維的工具模式：數(shù)學(xué)意識(shí)

數(shù)學(xué)家如何創(chuàng)造數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)家在處理與數(shù)學(xué)似乎無關(guān)的問題時(shí)，他們的技巧為何如此高超？這種創(chuàng)造、這種處理，就是工具模式的數(shù)學(xué)思維：數(shù)學(xué)意識(shí)。有觀點(diǎn)認(rèn)為：數(shù)學(xué)是科學(xué)的仆人，數(shù)學(xué)是科學(xué)的語言，甚至數(shù)學(xué)是宇宙的語言，數(shù)學(xué)是思維的工具。如笛卡爾提出過的“萬能方法”：把任何問題都劃歸為數(shù)學(xué)問題;把任何數(shù)學(xué)問題都劃歸為代數(shù)問題;把任何代數(shù)問題都劃歸為方程式的求解。雖然“萬能模式”的設(shè)想最后并未成功，但仍不失為一種偉大的思想，它從本質(zhì)上肯定了數(shù)學(xué)思維對(duì)認(rèn)識(shí)世界的工具作用。正如馬克思所說：一門科學(xué)，只有當(dāng)它成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才是達(dá)到真正完善的地步。這就是所謂的數(shù)學(xué)意識(shí)。也就是說，數(shù)學(xué)的對(duì)象是一種邏輯的建構(gòu)，一般的科學(xué)對(duì)象可以說是“數(shù)學(xué)建構(gòu)”。

課程改革以來，廣大教材編寫者和教師，常常會(huì)把“探索性演繹法”滲透于教材和教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)新知識(shí)。如，蘇教版五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)“釘子板上的多邊形”學(xué)生探索學(xué)習(xí)過程：

1.創(chuàng)設(shè)生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生在點(diǎn)子圖上畫各種多邊形。

2.探索內(nèi)部只有一個(gè)釘子的多邊形面積與它邊上釘子數(shù)的關(guān)系：S=n÷2。舉例驗(yàn)證。

3.探索內(nèi)部有2個(gè)釘子的多邊形面積與它邊上釘子數(shù)的關(guān)系：S=n÷2+1;即a=2，S=n÷2+1;再進(jìn)行驗(yàn)證。

接著，向a=3， a=4，……及a=0拓展。

4.引導(dǎo)學(xué)生想象：由于a=2， S=n÷2+1，那么：a=3，S=n÷2+2;a=4，S=n÷2+3……

5.引導(dǎo)學(xué)生討論：對(duì)于a=1， S=n÷2還可以怎樣表達(dá)？（寫成S=n÷2+0）

然后，把多點(diǎn)聚成一點(diǎn)（課外延伸思考）。

引導(dǎo)學(xué)生把“a=1時(shí)，S=n÷2+0;a=2時(shí)， S=n ÷2+1;a=3時(shí)， S=n÷2+2;a=4時(shí)， S=n÷2+3……”這些規(guī)律合成一條規(guī)律：S=n÷2+（a-1）。

做這樣的探究活動(dòng)，學(xué)生在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過程中，雖然運(yùn)用“探索性演繹法”的能力還很稚嫩，對(duì)猜想的證明也不是很嚴(yán)謹(jǐn)，但是用數(shù)學(xué)的思維處理問題的順序和抽象化、模型化、符號(hào)化等意識(shí)從小得到培育，并使數(shù)學(xué)意識(shí)具有的數(shù)學(xué)創(chuàng)造的品格，及具有用來解決挑戰(zhàn)性問題的能力的品格得到增強(qiáng)。

由此可見，數(shù)學(xué)意識(shí)是一個(gè)工作母機(jī)，它不僅能解決數(shù)學(xué)問題，而且是開辟新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域的動(dòng)力，正因?yàn)槿绱?，?shù)學(xué)才如此枝繁葉茂，并且深入社會(huì)的每一個(gè)角落。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中提出的“解決問題”就是為了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)。只有增強(qiáng)了數(shù)學(xué)意識(shí)，工具的數(shù)學(xué)才能作為數(shù)學(xué)的工具服務(wù)于生產(chǎn)與生活。人們應(yīng)該學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方式來解決問題。

以上四種數(shù)學(xué)思維模式的個(gè)性特質(zhì)有著遞進(jìn)的層次性關(guān)系，“它們之間就如自然界由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由低級(jí)到高級(jí)、由無序到有序的發(fā)展和演化是一樣的，體現(xiàn)著類如階梯樣的序形，每一個(gè)階梯都可以看作是一個(gè)層次”。在這其中，數(shù)學(xué)知識(shí)是思維的基礎(chǔ)材料，操作模式思維的數(shù)學(xué)方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的積累與模塊化，機(jī)理模式思維的數(shù)學(xué)原理是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的消化、理解和系統(tǒng)化，動(dòng)態(tài)模式思維的數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)掌握，工具模式思維的數(shù)學(xué)意識(shí)是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用。

形成數(shù)學(xué)意識(shí)是數(shù)學(xué)思維的最高境界，它是學(xué)習(xí)者走出校門若干年后，什么法則都可能忘記了，什么概念都可能淡忘了，什么公式都可能模糊了，而保留下來的終身受益的東西。自覺地會(huì)用“數(shù)學(xué)的思維方式”思考問題，這才是真正學(xué)會(huì)了“數(shù)學(xué)的思維方式”。

參考文獻(xiàn)：

[1]周春荔. 數(shù)學(xué)思維概論[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

責(zé)任編輯：石萍

*本文系江蘇省教學(xué)研究立項(xiàng)課題“基于ELLI框架的多元文化背景下兒童學(xué)習(xí)力培養(yǎng)研究”（2019JK13-L038）的階段性成果。

收稿日期：2021-01-20

作者簡(jiǎn)介：顧麗英，無錫市新洲小學(xué)（江蘇無錫，214112），高級(jí)教師，研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、教育管理。