蔡 靖， 胡紀(jì)鋒， 劉鋒華， 蒙堅發(fā)

（吉林大學(xué)儀器科學(xué)與電氣工程學(xué)院，長春 130061）

0 引 言

腦電信號（Electroencephalography EEG）是腦神經(jīng)細胞群產(chǎn)生的微弱的非平穩(wěn)偽隨機生物電信號，含有豐富的大腦活動狀態(tài)信息。隨著近年信息技術(shù)的發(fā)展，運用腦電信號進行腦電成像分析并應(yīng)用于臨床研究越來越成為研究的重點，腦電成像可以直觀顯示大腦活動狀態(tài)，對于腦血管疾病、腦積水、腦腫瘤等病灶的定位［1-3］以及癲癇、中風(fēng)等疾病發(fā)作時腦電成像特點［4-5］的臨床醫(yī)學(xué)研究有很重要的意義。

Lee等［6］開發(fā)了一臺帶有IBM PC AT的電腦腦電圖成像系統(tǒng)，采用反距離加權(quán)插值的方法，使每個插值點的權(quán)重與其最近的4個點的距離成反比，實現(xiàn)了腦電成像。Yang等［7］借助混合效應(yīng)多項式回歸模型的統(tǒng)計分析方法，成功實現(xiàn)了用高密度腦電圖來描述次最大肌肉收縮時腦電成像中相應(yīng)動態(tài)源的變化。Paul等［8］對于癲癇病癥進行了研究，結(jié)果表明，在大多數(shù)情況下使用k-最近鄰點插值法可以有效提高靈敏度，并且誤差也較小。Taran等［9］使用IMF1的徑向基核函數(shù)對不同運動圖像任務(wù)的腦電信號進行分類，該方法與現(xiàn)有的方法相比，在分類準(zhǔn)確度，靈敏性等方面展現(xiàn)了更好的性能。

在以上研究的基礎(chǔ)上，本文對基于高斯模型變異函數(shù)普通克里金插值算法進行優(yōu)化分析，在運用數(shù)據(jù)擬合理論的基礎(chǔ)上建立了變異函數(shù)各參量之間的函數(shù)關(guān)系，并結(jié)合模型的均方誤差給出了優(yōu)化的普通克里金變異函數(shù)模型取值規(guī)范。

1 腦電成像算法分析

1.1 普通克里金插值

克里金插值是Matheron首先提出［10-12］的一種對有限區(qū)域內(nèi)部的區(qū)域化變量進行無偏最優(yōu)估計的空間插值算法。

克里金插值法中的普通克里金法具有下列約束條件：

式中：x為位置坐標(biāo)；h為距離；Z（x＋h）、Z（x）分別為x＋h與x位置處的實測值；γ（h）為距離h對應(yīng)的半變異函數(shù)。

對于需要插值獲得的單個待測樣本點x0，由n個樣本點的實測值Z（xi）可得到待測點Z*（x0）的估計值：

式中，λ為權(quán)重系數(shù)。則估計值的方差為：

式中：hi為x0到xi的距離；L為拉格朗日乘數(shù)。

對于多個待測點，通常采用估計值方差的平均值來衡量插值效果。估計值方差的平均值為：

式中：N為待測點數(shù)；n為已知實際測量點的個數(shù)。估計值方差的平均值作為腦電插值成像精度的評判標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)估計值方差的平均值＝0時即認(rèn)為是最優(yōu)的腦電成像。

1.2 半變異函數(shù)模型與優(yōu)化關(guān)系確定

式（5）中，半變異函數(shù)γ（h）表征了插值區(qū)域的空間變異結(jié)構(gòu)，一個插值區(qū)域的半變異函數(shù)定義為：

實際運用中為了簡化計算，通常選用下列半變異函數(shù)模型。

高斯模型：

指數(shù)模型：

球型模型：

式中：C0為塊金值，是由樣本誤差和短距離的變異性引起的半變異函數(shù)的偏差；ɑ為相關(guān)尺度，表示當(dāng)樣本之間的距離大于等于此距離時，各樣本相互獨立。C0＋C1＝var［Z（x）］，稱為基臺值。

可以得出C0與ɑ的取值決定了方差均值的大小。經(jīng)過比較，本文選用高斯模型，在高斯模型下使

的C0與ɑ的值即為高斯模型的最優(yōu)參數(shù)。

1.3 相關(guān)尺度a與塊金值最優(yōu)值獲取

對于n個樣本點，以任意兩個樣本點之間的距離h作為橫坐標(biāo)，由式（6）得出的C（h）值作為縱坐標(biāo)，進行二次曲線擬合，即可得到取樣區(qū)域的近似半變異函數(shù)，擬合結(jié)果如圖1所示。

圖1 二次擬合曲線

擬合多項式如下：

聯(lián)立求解式（7）、（11）式可得ɑ與C0的關(guān)系：

對于不同的距離h，ɑ和C0有相似的關(guān)系，取所有h的平均值h0代入上式，得到最優(yōu)的ɑ和C0的關(guān)系（見圖2）。

圖2 ɑ-C0關(guān)系曲線

聯(lián)立式（10）、（12）得：

即可求出C0與ɑ的最優(yōu)值。

由式（13）得出的ɑ與C0參數(shù)進行優(yōu)化普通克里金插值，并用此插值結(jié)果進行最優(yōu)化腦電成像。

2 腦電信號采集系統(tǒng)

如圖3所示為腦電信號采集系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，主要由采集電極、前置濾波放大、模數(shù)轉(zhuǎn)換、微處理器、藍牙通信和上位機信號處理等單元組成。

圖3 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

采集電極安放位置參考國際10-20系統(tǒng)電極放置法，8個采集電極Fp1、Fp2、Fz、Cz、P3、P4、O1、O2同時采集腦電信號，信號經(jīng)由前置濾波放大單元濾去高頻段的噪聲，并將信號放大。模數(shù)轉(zhuǎn)換單元將8通道的模擬腦電信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號，微處理器單元負(fù)責(zé)接收此數(shù)字信號并將其通過藍牙通信傳輸?shù)缴衔粰C中進行信號的處理。

3 實驗及結(jié)果分析

3.1 原始腦電信號

由采集系統(tǒng)采集Fp1、Fp2、Fz、Cz、P3、P4、O1、O2點的相對于耳垂的原始電位值腦電信號如圖4所示。

3.2 測量電極坐標(biāo)

為進行腦電2D成像，以國際10-20電極安放標(biāo)準(zhǔn)中的CZ為極點，以CZ點到眉間的弧線為極軸建立極坐標(biāo)系，極徑為電極安放點到原點的大腦弧面距離，極角為電極安放點與極點相連線段在極點所在平面的投影與極軸的夾角。

將人的大腦近似為一個球面，假設(shè)某兩個電極Fp1與Fz的球面坐標(biāo)分別為r1、θ1、?1與r1、θ2、?2，那么兩者之間的球面距離，即弧長l可以用如下方程組求解：

建立平面直角坐標(biāo)系，將極坐標(biāo)點轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)點并平移到第1象限內(nèi)。即可得到電極安放位置坐標(biāo)如圖5所示。

圖5 測量電極坐標(biāo)圖

3.3 半變異函數(shù)模型選擇

普通克里金插值中變異函數(shù)模型的選取對插值的無偏性具有重要意義。圖6～8分別為變異函數(shù)模型為高斯模型、指數(shù)模型、球形模型時腦電成像結(jié)果及對應(yīng)的誤差分布圖。模型待測點估計值方差分布情況如圖9所示，不同半變異函數(shù)模型插值點誤差曲線如圖10所示。

圖6 高斯模型腦電成像及誤差圖

圖7 指數(shù)模型腦電成像及誤差圖

圖8 球形模型腦電成像及誤差圖

由圖可見，高斯模型每個待測點的估計值誤差均在零附近，且平均誤差明顯低于其他2種模型，因此本文進行普通克里金插值優(yōu)化分析時選用的半變異函數(shù)模型為高斯模型。

3.4 最優(yōu)值確定

當(dāng)相關(guān)尺度ɑ與塊金值C0取值不同時，由式（4）可得平均方差變化曲線如圖11所示。

圖9 方差散點圖

圖10 不同半變異函數(shù)模型插值點誤差曲線

圖11 平均方差

由式（13）可得參數(shù)最優(yōu)解。圖12中曲面與曲線交點即反映了當(dāng)平均誤差趨近于0時的相關(guān)尺度ɑ與塊金值C0的最優(yōu)值。

圖12 交點圖

3.5 結(jié)果分析

圖13為在正常靜默狀態(tài)下，相關(guān)尺度ɑ與塊金值C0取位于最優(yōu)解附近的值時測試者的2D腦電成像情況及對應(yīng)的誤差分布圖。

圖13 腦電成像及誤差圖

均方差值如表1所示。

以上實驗的基礎(chǔ)上采用逐次逼近的方法，可得均方差趨近于0時的最優(yōu)的ɑ和C0值。

圖14為身體健康的成年男性測試者在ɑ和C0取最優(yōu)值即均方差趨近于0時所繪制的最優(yōu)2D腦電成像與誤差分布圖：

在均方差趨近于零的約束條件下，對高斯模型半變異函數(shù)的參數(shù)ɑ和C0的函數(shù)關(guān)系進行最優(yōu)解求取，實現(xiàn)了基于高斯模型半變異函數(shù)的普通克里金插值的優(yōu)化分析。實驗結(jié)果表明，采用逐步逼近的方法平均方差趨近于零。

表1 均方差值表

圖14 最優(yōu)腦電成像及誤差圖

4 結(jié) 語

本文提出了一種基于克里金插值的EEG二維成像最優(yōu)化分析方法。通過仿真比較，使用高斯半變異函數(shù)模型的EEG二維成像的方差均值最小。通過擬合高斯半變異函數(shù)中的協(xié)方差函數(shù)，得到相關(guān)尺度ɑ與塊金值C0的函數(shù)關(guān)系。方差均值是誤差評估標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)方差均值接近零時，ɑ與C0將取得最優(yōu)值。通過將ɑ與C0的最優(yōu)值應(yīng)用于EEG二維成像，實現(xiàn)了最優(yōu)EEG二維成像。該方法提高了EEG二維成像的準(zhǔn)確性，使得分析EEG信號并從EEG中獲取生理和疾病信息變得更加容易。