楊 麗

(上海市城市建設(shè)工程學(xué)校(上海市園林學(xué)校),上海 200232)

對于空間圓柱形物體，在實際和設(shè)計時會存在差異，或者是在長期使用后會發(fā)生形變而影響其使用情況。因此必須對空間圓柱體進(jìn)行檢測，判斷其是否滿足工程要求[1]。

1 觀測及算法原理

1.1 數(shù)據(jù)采集

本文中的觀測目標(biāo)為空間圓柱形，所以整個物體的觀測數(shù)據(jù)必然不能在一個測站上全部測得。因此，首先需在物體周圍選擇2個合適的地點作為測站，這樣就形成了2個自定義的坐標(biāo)系，接下來還必須選定4個公共點，便于后期數(shù)據(jù)的整體處理。

1.2 數(shù)據(jù)拼接算法原理

不同測站觀測的坐標(biāo)屬于不同的坐標(biāo)系。但如果在不同的測站觀測一些公共點就可以將這些點的坐標(biāo)歸算到1個坐標(biāo)系(圖1)。

圖1 不同測站的2個坐標(biāo)系

公共點之間的關(guān)系表示為

(1)

式中的(x0，y0，h0)為平移量，R1(α)、R2(β)、R3(γ)為旋轉(zhuǎn)矩陣

當(dāng)公共點個數(shù)n大于3時，可以按最小二乘求定以上6個參數(shù)。對每個公共點，列出誤差方程為

(2)

式中的V=(VxVyVh)T為轉(zhuǎn)換殘差(改正數(shù))。

(3)

(3)式中偏導(dǎo)數(shù)和常數(shù)項

根據(jù)上述過程，利用各個測站觀測的公共點，可以將所有觀測值統(tǒng)一到1個坐標(biāo)系中，相當(dāng)于在1個測站觀測到了整個物體的表面。

1.3 模型擬合算法原理

如圖2所示，圓柱的半徑為R，過觀測點Pi作與圓柱面軸線垂直的平面，其與圓柱軸線的交點為P,直線PiP與圓柱面的交點為P′。顯然可以用偏離距離PiP′作為殘差,列誤差方程[1]。

圖2 圓柱體的擬合模型

設(shè)中心軸線方程為

(4)

式中(a，b，c)T的為空間直線的單位方向矢量，(x0，y0，h0)T為中心軸線與xoy平面的交點，t為直線上任意點至(x0，y0，h0)T的距離。為了唯一表示直線，定義a>0。若a=0，則b>0；若a=0且b=0，則c>0(a、b、c不可能同時為0)。

過觀測點Pi(xi，yi，hi)與中心軸線垂直的平面方程[2-3]

ax+by+ch+Di=0

(5)

其中Di=-(axi+byi+chi)

將軸線方程代入平面，求得

t=-(ax0+by0+ch0+Di)=a(xi-x0)+b(yi-y0)+c(hi-h0)

(6)

中心軸線與該垂直面的交點坐標(biāo)

(7)

各點的誤差方程為

(8)

將誤差方程線性化為

(9)

其中

寫成矩陣形式

Vi=Aiδx-Li

(10)

其中δx=[δa，δb，δc，δx0，δy0，δh0，δR]T。此時a,b,c需滿足條件a2+b2+c2=1，即

aδa+bδb+cδc=0

(11)

按附有條件的平差方法平差，但顯然條件方程式不能使得(abc)T滿足和a>0的要求[4-5]。平差迭代步驟為

(2)按照誤差方程式(10)和條件方程式(11)得到法方程為

(12)

求解得到參數(shù)的第一次改正數(shù)δx(1)，未知數(shù)修正為a(1)，b(1)，c(1)，x0(1)，y0(1)，h0(1)，R(1)。

(3)若第k次迭代求得未知數(shù)為a(k)，b(k)，c(k)，x0(k)，y0(k)，h0(k)，R(k)，將(a(k)，b(k)，c(k))T單位化

2 算例分析

本例中數(shù)據(jù)來源于某建筑物前的柱子(圖3)。

圖3 某建筑物前的圓柱體

設(shè)置了2個測站，測站1和測站2，設(shè)置測站1和測站2時分別用全站儀測量A、B、C、D 4個公共點，以供坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時用。

其中測站與公共點的布設(shè)關(guān)系如圖4所示。

圖4 測站與公共點的布設(shè)關(guān)系

表1為觀測圓柱體時坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的公共點數(shù)據(jù)。

表1 公共點數(shù)據(jù) m

表2為測站1坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到測站2坐標(biāo)系。

表2 測站1坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到測站2坐標(biāo)系 m

轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)如圖5所示。

圖5 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后，進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合。讀入數(shù)據(jù)對其進(jìn)行擬合，得出中心線方程即圓柱體的擬合結(jié)果，如圖6所示。

圖6 擬合結(jié)果

至此，擬合結(jié)束。點“殘差”按鈕，顯示擬合的殘差，殘差見表3。

表3 擬合圓柱面坐標(biāo)與殘差 m

程序可以連接AtuoCAD，根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑可以畫出圓柱體立體圖，并通過語句“shademode”+“_3D wireframe”實現(xiàn)著色，效果如圖7所示。

圖7 擬合的圓柱體圖形顯示

3 結(jié) 論

本文介紹了空間圓柱體的檢測方法，利用全站儀觀測物體表面點的空間坐標(biāo)，擬合出圓柱體的方程，將擬合出的中心線方程、半徑與設(shè)計時對比，即可得出圓柱體的整體變形情況，根據(jù)每個觀測點的殘差情況，即可看出每點的變形情況。從擬合的結(jié)果來看，此物體整體情況良好，沒有變形特別明顯的點位。