周晶晶

[摘? 要] “會教”是一個科學(xué)的教與學(xué)的過程，從勾股定理和三角形全等來看，“會教”一方面要教會學(xué)生理解、掌握知識，更重要的是要重視學(xué)生高階思維的培養(yǎng)，促進學(xué)生積極思考、主動回答、善于交流，這樣才能發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 會教;勾股定理;三角形全等;高階思維;培養(yǎng)方法

教育家陳鶴琴說：“沒有教不好的學(xué)生，只有不會教的老師. ” 作為青年教師，筆者也聽了很多教師的課，其中有高級教師、骨干以及專家的課，也有不少剛參加工作相對缺少經(jīng)驗的教師的課，對比下來，感慨頗多. 首先，不同教師風(fēng)格截然不同;其次，“會教”的教師課堂效果好，好在“會設(shè)計”“會提問”“會互動”，學(xué)生也變得“會思考”“會回答”“會交流”.筆者認為，久而久之，學(xué)生能力的差別會很明顯.

下面筆者以兩節(jié)公開課的教學(xué)片段為例試談對“會教”的一點理解.

勾股定理的課堂片段

（一）目標導(dǎo)入

如圖1，烏龜從A爬到C再爬到B，兔子由A跑到B，已知AC=3米，BC=4米，問兔子和烏龜誰走的路程短？短多少？

（二）自主探究

1. 如圖2（每個小正方形的面積為單位1），三個正方形的面積有什么關(guān)系？中間的直角三角形的三邊存在什么關(guān)系？

2. 如圖3（每個小正方形的面積為單位1），正方形P的面積S =____;正方形Q的面積S =_____;正方形R的面積S =______. 由此我們可以發(fā)現(xiàn)，正方形P，Q，R的面積關(guān)系是________. 由此，我們得出Rt△ABC的三邊的長度之間存在的關(guān)系是________.

3. 在方格紙上，任意畫一個直角三角形（頂點均在格點上），上述發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？寫出你認為正確的結(jié)論. （見另附紙張）

4. 數(shù)學(xué)上可以說明：對于任意的Rt△ABC，其中∠C=90°，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么一定有結(jié)論：________. （如圖4所示）這種關(guān)系我們稱為勾股定理.

（三）課堂評析

該設(shè)計看似合情合理，通過目標導(dǎo)入可以明確本節(jié)課的教學(xué)目標，要研究三角形的三邊關(guān)系，通過自主探究可以知道三角形的三邊滿足平方關(guān)系，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 如果從思維培養(yǎng)的角度來看，試問在這個過程當(dāng)中，學(xué)生的思維又得到了多少鍛煉呢？學(xué)生的思維總是跟著老師事先安排好的走，也是低層次的思維. 學(xué)生為什么要研究直角三角形的三邊關(guān)系？為什么要在方格紙上研究，僅僅是為了計算方便嗎？老師對于學(xué)生的學(xué)情了解嗎？他們運用過方格紙解決問題嗎？

筆者對這個片段做如下設(shè)計：

首先我們拿出兩根小棒，一根長為3，一根長為4，預(yù)設(shè)了如下對話.

師：若組成一個三角形，第三根小棒的可能長度是多少？

生：學(xué)生很容易根據(jù)之前學(xué)習(xí)的三角形的三邊關(guān)系得出第三邊的范圍，1

師：第三邊的長有多少種情況？

生：無數(shù)種，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得.

師：好，那么兩根小棒組成最長、最短的線段分別是多少？

生：兩根小棒的夾角180°時最長為7，夾角為0°時最短為1.

師：如果兩根小棒的夾角為90°時，第三邊的長會是多少呢？

（有預(yù)習(xí)過的學(xué)生可能會說是5，很多學(xué)生可能無法回答）

師：你怎么知道是5呢？

生：測量.

師：測量當(dāng)然可以，但是我們知道誤差會影響我們的精確度，如何做可以避免呢？

生：放在方格紙上來研究.

（四）思考與感悟

如果這樣設(shè)計教學(xué)，每一個小問學(xué)生都要去思考，而不是一直在被動地接收、驗證. 我們已經(jīng)知道了一般三角形的三邊關(guān)系，但最多只知道第三邊的范圍，如果是特殊的直角三角形，我們可不可以直接求它的邊長呢？如何研究呢？頭腦靈活的學(xué)生肯定能想到將其放到方格紙上去研究，因為在小學(xué)的數(shù)學(xué)書上，一直有在方格紙上解決圖形面積的問題，所以他們是有基礎(chǔ)的. 通過這一過程，學(xué)生就能由一般的三角形自然地過渡到特殊的直角三角形，想到如何去研究直角三角形的三邊關(guān)系. 這樣，學(xué)生的知識就不是老師在單純地灌輸，而是他們積極思考的結(jié)果. 要研究什么？怎樣研究？為什么要研究？這是研究問題的本質(zhì)所在，即要讓學(xué)生有問題意識. 愛因斯坦說過，提出一個問題比解決一個問題更加重要，培養(yǎng)問題意識和問題解決能力也是當(dāng)前教師面臨的一個問題. 美國教育家魯巴克也說過，最精湛的教學(xué)藝術(shù)，就是讓學(xué)生提出問題. 數(shù)學(xué)的教學(xué)就是思維的教學(xué)，所謂思維，即“思考”，它正是教學(xué)中的一股清流，“會教”的老師的課堂必定能促進學(xué)生思維的提高，從而浸潤學(xué)生的心田.？搖

正如一位教育專家所說，要想了解數(shù)學(xué)教師的教育理念和教學(xué)基本功，就讓他展示勾股定理的教學(xué). 這是因為勾股定理的教學(xué)可以真實反映一位教師的數(shù)學(xué)觀、教學(xué)觀、學(xué)生觀. “會教”的老師一定會采用對學(xué)生思維有啟發(fā)作用的方式，也能把學(xué)生帶入一個很好的學(xué)習(xí)狀態(tài)中，學(xué)生在其中變得會思考，變得聰敏了，這也是我們教育的目的之一.

探索三角形全等條件——

ASA定理的課堂片段

（一）在問題中“找元素”

教師將一三角形撕掉一角，三角形變成兩塊，貼在黑板上，標上1號（有原三角形的兩角一邊），2號（只有原三角形的一個角）.

問題1：你用哪一塊可以還原成原來的三角形呢？（有的說1號，有的說2號）

問題2：哪位同學(xué)可以上黑板幫我還原出來呢？（學(xué)生用1號畫出來了，延長兩條邊交于一點）

問題3：你們做出來的三角形和原三角形是什么關(guān)系？（齊答全等）

問題4：為什么1可以，2不可以呢？（有的說1中有原三角形的兩個角，有的說有兩個角和一條邊，有的說2可以畫出很多三角形. 最后形成統(tǒng)一觀點：該部分有原三角形的兩角一邊）

師：剛才只是一種猜想，是不是有兩角及一邊相等，兩個三角形就全等了呢？現(xiàn)在老師手上有3個三角形（如圖5），滿足你們所說的條件，看全等嗎？

學(xué)生有的說都全等，有的說都不全等，也有的說第①個和第③個全等.

師：眼睛會不會欺騙我們呢？誰上臺來給大家演示一下，說明是全等的？

一位學(xué)生上去發(fā)現(xiàn)第①個和第③個重合，而與第②個不重合.

師：①③與②有什么區(qū)別嗎？

這個問題又引起了學(xué)生的思考，發(fā)現(xiàn)①和③都是同一條邊上的兩個角對應(yīng)相等.

師：即兩角及夾邊對應(yīng)相等的兩三角形全等. 如果我把剛才三角形中具體的40°，60°，2.5，換成α，β，a，此時滿足這樣條件的三角形都全等嗎？

學(xué)生都認為全等.

師：怎么說明呢？

學(xué)生表示用畫圖來說明.

（二）尺規(guī)作圖

按下列方法，用直尺和圓規(guī)作△ABC，使AB=a，∠A=∠α，∠B=∠β.

（1）作AB=a.

（2）在AB的同一側(cè)分別作∠MAB=∠α，∠NBA=∠β，AM，BN相交于點C.

（3）△ABC就是所求作的三角形.

（三）課堂評析

首先，通過四個問題，讓學(xué)生初步感知三角形全等，需要三個元素：兩角一邊. 不過，這只是一種感性的認識. 然后，讓學(xué)生親自體驗，擺放三個三角形，看看是否全等，又發(fā)現(xiàn)必須是兩角及其夾邊對應(yīng)相等的三角形才能全等. 學(xué)生以為他們猜對了，但這只是一種特殊情況，不具有一般性. 這時學(xué)生正處于中度思考問題的程度. 最后，學(xué)生用尺規(guī)作圖，經(jīng)歷從特殊到一般的過程，這樣才能達到一種深入思考問題的程度. 這次課堂設(shè)計思路縝密，層層遞進，很符合學(xué)生的認知規(guī)律.

（四）思考與感悟

我們都知道，任何一個定理的得出，都要經(jīng)歷“猜想，驗證，證明”的過程，所以一定要讓學(xué)生親身體驗探索問題的過程，而不能直接告知，否則學(xué)生對知識點的掌握僅停留在記憶層面，時間一長就忘了. 而動手操作，讓他們不斷地感知、體驗、實踐、交流、反思、總結(jié)，這對思維的培養(yǎng)會遠超這一節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容. 長期下來，筆者認為他們就會形成積極主動思考問題的習(xí)慣. 數(shù)學(xué)教育的一個主要目的是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力，問題是數(shù)學(xué)發(fā)展的原驅(qū)動力，也是增強趣味性、提升教學(xué)效果的源泉，問題的驅(qū)動，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要保證，也是在真正完成素質(zhì)教育的使命.

縱觀本片段的教學(xué)，執(zhí)教者遵循數(shù)學(xué)定理學(xué)習(xí)的一般規(guī)律，始終引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建有意義的數(shù)學(xué)思考，培養(yǎng)高層次思維，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，收獲了很好的教學(xué)效果.