于美妍，楊洪勇，孫玉嬌

(魯東大學信息與電氣工程學院，山東 煙臺 264025)

0 引言

多機器人在實際應用中發(fā)揮著越來越重要的作用，多機器人編隊控制問題日漸成為學術(shù)界的研究熱點。但由于機器人構(gòu)造復雜，多機器人系統(tǒng)涉及的技術(shù)很多，人們比較常用的研究方法是把通信的多個智能體構(gòu)成的計算系統(tǒng)即多智能體系統(tǒng)視為一個分布式網(wǎng)絡，研究多智能體系統(tǒng)的分布式合作。文獻[6]中針對具有干擾的多智能體系統(tǒng)的協(xié)同控制問題，提出了帶有不匹配干擾和參數(shù)不確定的一致性控制算法。文獻[7]研究了一類拓撲為循環(huán)圖的多智能體系統(tǒng)在圓上運動的編隊控制問題。文獻[8]研究了具有比例加微分控制器的連續(xù)一階多時滯多智能體系統(tǒng)的一致性問題。文獻[9]研究了具有事件觸發(fā)控制策略的二階積分器多智能體系統(tǒng)的編隊控制問題。文獻[10]和[11]研究了混合階多智能體系統(tǒng)的一致性問題。

在研究多智能體編隊控制問題時，機器人的非線性系統(tǒng)往往比較復雜，直接得出整個系統(tǒng)的控制器存在一定的困難，而Backstepping方法是把系統(tǒng)進行分解，分別對每個子系統(tǒng)引入虛擬控制量，設計Lyapunov函數(shù)得到子系統(tǒng)的虛擬控制器，逐步反推得出系統(tǒng)真正的控制律，大大降低了系統(tǒng)設計的復雜程度，因此Backstepping方法被廣泛應用于多機器人系統(tǒng)的控制過程中。文獻[12]針對雙輪驅(qū)動移動機器人，采用Backstepping思想設計了多機器人協(xié)同編隊方法。文獻[13]利用Backstepping方法，針對反饋混沌系統(tǒng)，提出了混沌同步一般控制方法。文獻[14]研究的是無狀態(tài)量測的不確定隨機反饋系統(tǒng)，結(jié)合Backstepping思想，提出了一種自適應模糊控制方法。文獻[15]針對模型不確定性不匹配的液壓系統(tǒng)，利用Backstepping方法將擴展狀態(tài)觀測器和非線性魯棒控制器綜合起來。文獻[16]首先對飛行器縱向模型分析,然后利用Backstepping思想設計了高超聲速飛行器的模糊自適應控制器。

雖然機器人編隊問題研究已久，但大多數(shù)文獻都是針對機器人的線性運動特點進行研究，文獻[17]結(jié)合事件觸發(fā)策略，對一般線性多智能體系統(tǒng)的編隊控制問題進行了研究。文獻[18]研究了擁有一般線性動力學的分數(shù)階多智能體系統(tǒng)編隊控制問題。文獻[19]對于具有有向交互拓撲的高階線性群集系統(tǒng)的時變輸出編隊控制問題進行研究。Shi[20]等研究了存在時變時延和外部擾動等約束條件的高階線性群系統(tǒng)編隊控制問題。但是，現(xiàn)實世界很多智能體系統(tǒng)動力學方程并不滿足線性特點，非線性系統(tǒng)在實際應用中占有很大比例，據(jù)我們所知，有較少文獻對非線性多智能體系統(tǒng)進行研究。因此結(jié)合上述文獻思想和控制器的設計方法，本文針對三輪機器人的非線性運動學特點，研究多智能體編隊控制問題。本文的創(chuàng)新點主要有以下兩點：1)基于機器人領航—跟隨模型，構(gòu)造了系統(tǒng)位姿誤差運動學方程，將非線性系統(tǒng)編隊控制問題改變成跟隨者對虛擬領航者運動軌跡的追蹤問題，有效地解決了基于領航—跟隨模型的機器人編隊存在的跟隨者對領航者過于依賴的問題。2)運用Backstepping思想，構(gòu)造了一個新的虛擬反饋誤差變量，并基于這個誤差變量設計了多機器人編隊控制策略，實現(xiàn)了機器人對于預定軌跡的全局漸進穩(wěn)定，降低了系統(tǒng)設計的復雜程度。

1 三輪機器人的動力學模型

在實際生活中，由于干擾等一系列因素存在，機器人的動力學模型會很復雜，為了便于后面的工作，本文做了幾個假設：1)三輪機器人底盤上的3個輪子是間隔120°均勻分布，不考慮生產(chǎn)過程中出現(xiàn)的角度偏差。2)假定機器人行走的地面具有合適的摩擦力，機器人不會出現(xiàn)打滑的情況。3)由于一個機器人成品由很多復雜零件構(gòu)成，將三輪機器人視為剛體以便分析。4)三輪機器人底盤重心與幾何中心重合。

本文首先建立以底盤重心為原點的局部坐標系，如圖1所示，以輪子A與B的角平分線建立x軸，逆時針90o建立y軸，(vxr,vyr,ωr)與(vxw,vyw,ω)分別是機器人在絕對坐標系與局部坐標系中的相關(guān)速度向量，Vv=[vAvBvC]T為3個驅(qū)動輪的線速度向量。θ=θw=θr為機器人轉(zhuǎn)動的方位角，ω是三輪機器人的角速度，d是機器人底盤中心到輪中心的距離。

圖1 三輪機器人數(shù)學模型

根據(jù)圖1可得機器人動力學模型方程為

(1)

并且(vxr,vyr,ωr)滿足式(2)

(2)

(3)

由圖1，可以得到機器人3個輪子的速度變化公式為

(4)

(5)

(6)

2 機器人的領導-跟隨模型

基于領導-跟隨模型的機器人編隊的基本思想是在全部機器人中選擇一個領航者，帶領所有成員運動，其余機器人作為跟隨者，跟蹤領航者運動。領航者的移動軌跡是已定的，輸入控制也只與自身的信息相關(guān)。

為了解決系統(tǒng)中跟隨者對領航者的過度依賴問題，為每個跟隨機器人分別設置虛擬領航者，并假設虛擬領航者的速度以及角速度始終與領航者保持一致。我們可以通過調(diào)整虛擬領航者與領航者之間的距離、角度來構(gòu)造多智能體系統(tǒng)的編隊隊形，然后讓跟隨者按照設計的控制策略跟蹤虛擬領航者的運動軌跡，實現(xiàn)編隊目標。通過這種方法，本文將編隊問題轉(zhuǎn)變成跟隨機器人對虛擬領航者的追蹤問題。

圖2 基于領航—跟隨模式的三角形編隊結(jié)構(gòu)

由Rr的位姿可以得到Rv位姿為

(7)

根據(jù)圖2，得到跟隨機器人R2對于虛擬領航者Rv的跟蹤誤差為

(8)

其中,ex，ey表示跟隨者與虛擬領航者之間的x軸、y軸方向上的誤差，eθ表示跟隨者與虛擬領航者之間的角度誤差。

(9)

3 基于Backstepping控制器設計

定理1針對機器人動力學模型(1)，如果控制輸入ω,v滿足式(10)

(10)

其中,k1>0，k2>0，那么三輪機器人系統(tǒng)可以實現(xiàn)編隊控制。

(11)

當eθ→0時，設計部分李亞普諾夫函數(shù)為

(12)

(13)

(14)

對式(14)求導得：

(15)

(16)

將式(11)、(16)代入式(15)得：

(17)

然后再將式(9)代入式(17)可得：

(18)

結(jié)合式(9)、(10)，對ω求導得：

(19)

代入式(18)，得：

(20)

將式(20)進行整理，得：

(21)

4 實驗驗證

在編隊開始前，首先要確定的是多機器人系統(tǒng)運動所要保持的隊形。常見的編隊隊形有直線形、三角形、矩形、五邊形等。相對來說，直線形編隊比較簡單，其思想是確定好領航機器人運動軌跡，其它跟隨機器人只需按照固定的距離跟蹤即可。對于三角形、矩形、五邊形編隊隊形稍微復雜一些，設計過程中，不僅需要控制好與領航機器人之間的距離，還要控制好兩者之間的角度問題，來保證有規(guī)則的編隊隊形。

本文基于領航—跟隨的方法對理論結(jié)果進行驗證，分別對多機器人系統(tǒng)的矩形編隊、三角形編隊、五邊形編隊進行仿真。

4.1 參數(shù)設置

在進行所有編隊時，均設定k1=1.5，k2=2，領航機器人的初始位姿L0=[2,0,π/3]；領航者速度Lv=4，角速度Lω=2。

4.2 編隊仿真

基于上述參數(shù)設置，對系統(tǒng)進行仿真，得到的實驗結(jié)果如圖3～圖5所示。

圖3 機器人保持三角形編隊相關(guān)結(jié)果圖

圖4 機器人保持正五邊形編隊相關(guān)圖

圖5 機器人保持長方形編隊相關(guān)圖

圖3a領航機器人沿直線運動，5個跟隨者機器人與領航機器人要進行三角隊形編隊。其中“*”表示領航機器人，“o”代表跟隨機器人。圖中給出了時間在1 s、14 s時各機器人編隊情況。由圖3a可以看出，在剛開始一段時間內(nèi)跟隨機器人并未跟蹤上領航者機器人，系統(tǒng)沒有達到穩(wěn)定，后期6個機器人維持規(guī)則的正三角隊形持續(xù)移動，說明跟隨機器人追蹤上領航機器人。

圖3b和3c為三角形編隊時的系統(tǒng)位置、角度誤差圖，其中藍、紅、橘黃、紫、綠線分別表示跟隨機器人1～5的位姿狀態(tài)，可以看出，在控制器的控制下，隨著時間的推移，位置以及角度的跟蹤誤差在4 s內(nèi)收斂到0，表明了系統(tǒng)達到漸近穩(wěn)定，證明控制器可以進行有效控制。

圖4a為4個跟隨機器人與領航機器人形成正五邊形編隊軌跡效果圖，與圖3a類似，開始的一段時間，機器人并未保持規(guī)則五邊形運動，后期，跟隨機器人追蹤上領航機器人，保持規(guī)則正五邊形運動。

圖4b和4c是進行正五邊形編隊的誤差系統(tǒng)示例圖，由圖可以看出智能體大約在3 s時，跟隨者與虛擬領航者在x軸、y軸方向上的位置誤差，以及角度誤差便趨于0，達到控制器設計目標。

圖5a為跟隨者機器人與領航機器人運動形成的矩形編隊隊形，由圖5a可以看出，在1 s時跟隨機器人并未跟蹤上領航者機器人，各機器人沒有保持矩形軌跡運動，但是軌跡在逐漸趨于規(guī)則，14 s時，各跟隨機器人已經(jīng)追蹤上領航機器人并保持編隊隊形持續(xù)運動。

圖5b和5c為矩形編隊時，跟隨機器人與各自領航機器人的誤差圖，根據(jù)圖示，與圖4b和4c類似,智能體大約在3 s時,誤差系統(tǒng)就已經(jīng)為0，說明此時跟隨機器人與領航機器人已經(jīng)保持編隊隊形運動。

5 結(jié)語

本文基于Backstepping方法對三輪機器人編隊控制問題進行研究，提出了新的機器人編隊控制策略。通過仿真實驗可知在控制器的作用下，機器人逐漸形成三角形、矩形、正五邊形編隊，并以很小的誤差保持隊形持續(xù)運動。下一步工作將對具有外部干擾、通信時延等影響的三輪機器人編隊控制問題進行研究。