田英楠， 王嘉琪， 張新立

(遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

0 引言

量子博弈論是以量子信息論為主要工具研究博弈論的一門新興交叉學(xué)科，最早由Meyer提出。由于量子博弈能解決很多經(jīng)典博弈所不能解決的問題，所以提出之后就越來越受到國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注,并被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)、信息科學(xué)等諸多領(lǐng)域[1]。而寡頭壟斷是現(xiàn)實(shí)社會(huì)和經(jīng)濟(jì)中最普遍存在的市場結(jié)構(gòu)，庫諾特模型是寡頭壟斷的一種最基本模型。李慧等人[2]首次構(gòu)造了一個(gè)“最小”量子結(jié)構(gòu)來研究具有連續(xù)變量的量子庫諾特博弈，后人在此基礎(chǔ)上運(yùn)用Li-Du-Massar方案對庫諾特寡頭模型進(jìn)行了廣泛量子化研究，譬如，YoheiSekiguchi等人[3]發(fā)現(xiàn)當(dāng)糾纏度足夠大時(shí)，不對稱均衡全部消失；Lo等人[4]發(fā)現(xiàn)量子糾纏度越大，各個(gè)企業(yè)在納什均衡點(diǎn)的利潤越高；Du等人[5]發(fā)現(xiàn)在非對稱信息的量子庫諾特模型中，量子納什均衡點(diǎn)利潤是否高于經(jīng)典納什均衡點(diǎn)利潤，與量子糾纏度、信息不對稱程度相關(guān)；Zhou等人[6]發(fā)現(xiàn)在多人量子庫諾特模型中，量子糾纏度趨于無窮大時(shí)，囚徒困境問題得以解決；Frackiewicz[7]發(fā)現(xiàn)不管逆需求函數(shù)與成本函數(shù)是否為線性，量子庫諾特模型都只有一個(gè)納什均衡解。

上述學(xué)者雖利用量子博弈論對庫諾特寡頭博弈模型進(jìn)行了分析，得出一些新結(jié)論，但參與者都是完全理性的。在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)中，由于參與人認(rèn)知的局限，企業(yè)采取完全理性行為規(guī)則是很難實(shí)現(xiàn)的。因此，許多學(xué)者又從放松理性假設(shè)角度對經(jīng)典庫諾特模型進(jìn)行了分析研究。常見理性行為假設(shè)主要有：基本有限理性行為(一般簡稱有限理性)、延遲有限理性行為、適應(yīng)性有限理性行為、天真預(yù)期行為等[8]。近年來，許多學(xué)者對具有不同預(yù)期的經(jīng)典動(dòng)態(tài)寡頭博弈模型進(jìn)行了研究。比如，Agiza和Elsadany[9]構(gòu)建具有不同預(yù)期的雙寡頭模型(有限理性與適應(yīng)性預(yù)期)，給出了均衡解的穩(wěn)定區(qū)域，并對復(fù)雜動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)值模擬；于羽等人[10]構(gòu)建具有有限理性與天真預(yù)期的庫諾特寡頭博弈模型，引入了產(chǎn)品差異性，研究了產(chǎn)品差異程度對納什均衡穩(wěn)定性的影響；張?bào)K驤等人[11]構(gòu)建具有不同預(yù)期的雙寡頭模型(有限理性與天真預(yù)期)，分析了均衡解的存在性與穩(wěn)定性，并用數(shù)值模擬研究了動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與復(fù)雜現(xiàn)象；Hu等人[12]構(gòu)建具有不同預(yù)期的雙寡頭模型(有限理性與天真預(yù)期)，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)采用延遲反饋控制，會(huì)使系統(tǒng)從混沌狀態(tài)變?yōu)榉€(wěn)定狀態(tài)；黃萌佳等人[13]構(gòu)建了具有知識(shí)溢出效應(yīng)的不同預(yù)期雙寡頭模型(有限理性與適應(yīng)性預(yù)期)，對有限理性預(yù)期下的動(dòng)態(tài)決策過程和系統(tǒng)的混沌復(fù)雜性進(jìn)行研究。

1 量子庫諾特模型

(1)

容易得到兩企業(yè)的納什均衡為

(2)

通過計(jì)算，γ≠0時(shí)，兩企業(yè)的產(chǎn)量分別為

(3)

兩企業(yè)的量子利潤分別為

(4)

通過求出對πiQ關(guān)于xi的偏導(dǎo)，得到企業(yè)i(i=1,2)的邊際利潤:

(5)

解方程組(5)，可得到兩企業(yè)的量子納什均衡為

(6)

2 不同理性的量子庫諾特動(dòng)態(tài)系統(tǒng)

由于寡頭壟斷市場信息的不完全性，每個(gè)企業(yè)掌握的市場信息并不充分，只可能做出有限理性決策。本文假設(shè)第一個(gè)企業(yè)是有限理性的，企業(yè)根據(jù)邊際利潤的信息決定產(chǎn)量，若t時(shí)期邊際利潤為正數(shù)(負(fù)數(shù))，則企業(yè)會(huì)在t+1時(shí)期增加(降低)產(chǎn)量，其模型可表示為

(7)

其中,α>0為第一個(gè)企業(yè)的產(chǎn)量調(diào)整速度。

假設(shè)企業(yè)2具有適應(yīng)性預(yù)期，也就是t+1時(shí)期的產(chǎn)量由t時(shí)期的產(chǎn)量決策與t時(shí)期最優(yōu)產(chǎn)量的加權(quán)平均共同決定，其模型可表示為

(8)

(9)

由式(7)與(8)，可得到不同理性行為的兩企業(yè)二維離散動(dòng)力系統(tǒng):

(10)

3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的量子均衡解與局部穩(wěn)定性分析

令xi(t+1)=xi(t)=xi，得出復(fù)雜動(dòng)力系統(tǒng)(10)對應(yīng)的代數(shù)系統(tǒng):

(11)

為了研究量子均衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，首先求出均衡離散動(dòng)力系統(tǒng)的Jacobian矩陣，即：

(12)

其中，

根據(jù)系統(tǒng)均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性條件，當(dāng)且僅當(dāng)對應(yīng)Jacobian矩陣的所有特征值|λi|<1,i=1,2，均衡點(diǎn)才是穩(wěn)定的。因此，有如下結(jié)論：

定理1量子邊界均衡點(diǎn)E1是不穩(wěn)定的。

證明：點(diǎn)E1的Jacobian矩陣為：

J(E1)的特征值分別為：λ1=b11,λ2=1-v，由于|λ1|>1，所以量子邊界均衡點(diǎn)E1是不穩(wěn)定的。

定理2量子納什均衡點(diǎn)E2滿足局部穩(wěn)定性的充要條件：

(13)

J(E2)的特征多項(xiàng)式為p(λ)=λ2-Tr(J)λ+Det(J)，其中Tr(J)表示跡，Det(J)表示行列式，且Tr(J)=2-v-2αcoshγ(beγ+ccoshγ)x′1,

由于Tr(J)2-4Det(J)>0，所以J(E2)的特征根為實(shí)數(shù)。|λi|<1,i=1,2的充要條件為Jury條件成立：1)1-Tr+Det>0,2)1+Tr+Det>0,3)Det-1<0。

利用模型假設(shè)可得：

顯然條件(1)與(3)恒成立。條件(2)等于

化簡即得E2的局部穩(wěn)定條件。

4 數(shù)值模擬

為了更清楚地觀察參數(shù)處于穩(wěn)定域外所表現(xiàn)出來的復(fù)雜動(dòng)態(tài)性特征，在本節(jié)運(yùn)用Matlab對雙寡頭動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(10)進(jìn)行數(shù)值模擬，描繪出單參數(shù)產(chǎn)量分岔圖、最大李雅普諾夫指數(shù)圖與對初始條件敏感性，從這幾方面分析量子糾纏度與企業(yè)產(chǎn)量調(diào)整速度對系統(tǒng)穩(wěn)定性及動(dòng)態(tài)行為的影響。模型中的各參數(shù)賦值為a=10;b=0.6;c=0.5。

4.1 分岔與混沌分析

圖1演示了v=0.7時(shí)，兩個(gè)企業(yè)產(chǎn)量隨α變化的分岔圖與相對應(yīng)最大的李雅普諾夫指數(shù)圖。當(dāng)γ=0時(shí)，量子納什均衡點(diǎn)(3.575,3.575)在α<0.244 6保持局部穩(wěn)定。隨著α的增大，量子納什均衡點(diǎn)不再穩(wěn)定，并會(huì)產(chǎn)生分岔、混沌現(xiàn)象。當(dāng)γ=0.2時(shí)，量子納什均衡點(diǎn)(2.805,2.805)在α<0.263 5保持局部穩(wěn)定?？梢?，隨著糾纏度增大，系統(tǒng)(10)的穩(wěn)定性就越高，出現(xiàn)分岔與混沌的可能性就越小。當(dāng)系統(tǒng)李雅普諾夫指數(shù)為正數(shù)時(shí)，代表著發(fā)生混沌現(xiàn)象。比較γ=0與γ=0.2的情況，發(fā)現(xiàn)最大李雅普諾夫指數(shù)大于0與量子糾纏度呈現(xiàn)正相關(guān)性。

圖1 v=0.7時(shí),產(chǎn)量隨α變化分岔混沌圖與對應(yīng)的最大李雅普諾夫指數(shù)圖

圖2演示了v=0.5時(shí)，兩個(gè)企業(yè)產(chǎn)量隨α變化的分岔圖與相對應(yīng)最大的李雅普諾夫指數(shù)圖，發(fā)現(xiàn)分岔混沌現(xiàn)象與糾纏度之間的關(guān)系與v=0.7時(shí)相同。因此，糾纏度能增強(qiáng)系統(tǒng)(10)的穩(wěn)定性，可以有效地控制分岔與混沌出現(xiàn)。

圖2 v=0.5時(shí),產(chǎn)量隨α變化分岔混沌圖與對應(yīng)的最大李雅普諾夫指數(shù)圖

奇怪吸引子是指時(shí)間趨于無窮大時(shí)，在任何一個(gè)有界集上出發(fā)的非定常流的所有軌道在其內(nèi)部的一個(gè)集合，是混沌系統(tǒng)的主要特征之一。圖3描述了不同糾纏度條件下，經(jīng)過迭代10 000次對應(yīng)圖1混沌現(xiàn)象的奇怪吸引子，顯示了α=0.37時(shí)的分形結(jié)構(gòu)。

圖3 α=0.37時(shí)對應(yīng)圖1混沌現(xiàn)象的奇怪吸引子

4.2 初始條件敏感性分析

混沌現(xiàn)象的一個(gè)重要特征就是對初始條件的敏感依賴性，為探究不同糾纏度條件下系統(tǒng)混沌狀態(tài)對初始條件敏感性的影響，設(shè)兩個(gè)企業(yè)的初始點(diǎn)為(x1(0),x2(0))=(3,3),相對微小變動(dòng)的初始點(diǎn)(x1(0)+0.000 1,x2(0))，(x1(0),x2(0)+0.000 1)，其中參數(shù)的取值為a=10；b=0.8;c=0.5;v=0.5;α=0.35。圖4、圖5分別為在不同糾纏度下，兩個(gè)企業(yè)的產(chǎn)量隨時(shí)間的變化圖。初始值與微小的變動(dòng)初始值對應(yīng)的兩條曲線在初期系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的演化都是無序狀態(tài)且變化并不顯著，但是隨著時(shí)間推進(jìn)，企業(yè)產(chǎn)量變化表現(xiàn)出明顯的差異性。在相同初始值下，企業(yè)1比企業(yè)2產(chǎn)量的變動(dòng)振幅大。隨著糾纏度增加，產(chǎn)量隨時(shí)間變化較為平穩(wěn)，對初始值的敏感性較弱。因此，增大糾纏度可以減弱系統(tǒng)動(dòng)態(tài)演化過程中初始條件的敏感依賴性。

圖4 公司1產(chǎn)量對初始條件的敏感性

圖5 公司2產(chǎn)量對初始條件的敏感性

5 結(jié)語

本文將量子糾纏植入到不同理性預(yù)期條件下的量子庫諾特動(dòng)態(tài)博弈模型，在假定兩個(gè)企業(yè)分別具有有限理性與適應(yīng)性預(yù)期，成本函數(shù)為二次非線性，且具有相同的邊際成本條件下，探究量子糾纏度、企業(yè)產(chǎn)量調(diào)整速度對均衡點(diǎn)穩(wěn)定性與動(dòng)態(tài)復(fù)雜性的影響，并對此模型進(jìn)行了穩(wěn)定性分析與數(shù)值模擬。結(jié)果表明，隨著量子糾纏度的增加，系統(tǒng)穩(wěn)定性會(huì)提升，產(chǎn)量調(diào)整速度增加至某一閾值時(shí)，會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)經(jīng)過一系列分岔進(jìn)入不可預(yù)測的混沌狀態(tài)。系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)之后，任何初始條件的細(xì)微變動(dòng)，都會(huì)引起產(chǎn)量發(fā)生激烈變化。量子糾纏度對控制系統(tǒng)的混沌狀態(tài)起著重要的促進(jìn)作用，從而使得企業(yè)可以選擇穩(wěn)定合理的產(chǎn)量。