范建明，薛斌強(qiáng)

(青島大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，山東 青島 266071)

0 引言

然而，上述MHE方法在計(jì)算中只考慮了估計(jì)的準(zhǔn)確性，計(jì)算過程復(fù)雜，當(dāng)計(jì)算量過大時(shí)會(huì)降低估計(jì)效率。所以本文針對(duì)含有丟包的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)提出了一種分布式滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)(Distributed Moving Horizon Estimation,DMHE)方法，不僅給出了丟包補(bǔ)償策略，還利用標(biāo)量加權(quán)線性最小方差的方法在保證了估計(jì)的準(zhǔn)確度的同時(shí)減少了計(jì)算過程。最后對(duì)該估計(jì)算法的穩(wěn)定性進(jìn)行了詳細(xì)分析并通過仿真驗(yàn)證了該方法的有效性和合理性。

1 問題描述

考慮式(1)的線性離散的隨機(jī)丟包系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：

(1)

x(k)∈X,w(k)∈W,v(k)∈V

(2)

其中，δjk是符號(hào)函數(shù)，E{·}表示期望，Q≥0，R>0，Q和R反映了系統(tǒng)對(duì)模型和測(cè)量結(jié)果的置信度，如果Q>R，則表示系統(tǒng)模型對(duì)估計(jì)效果的影響大于測(cè)量值；反之亦然。

當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生丟包時(shí)，采取測(cè)量補(bǔ)償?shù)姆椒?，利用零階保持器將上一時(shí)刻的測(cè)量值作為當(dāng)前時(shí)刻的測(cè)量值，可以將帶有丟包的系統(tǒng)描述為

(3)

其中，γ(k)表示測(cè)量值丟失情況，并滿足在0與1之間取值的Bernoulli分布。γ(k)=1時(shí)表示該時(shí)刻系統(tǒng)無丟包現(xiàn)象；當(dāng)γ(k)=0時(shí)測(cè)量值丟失，估計(jì)器保持前一時(shí)刻的數(shù)據(jù)，丟包概率滿足

(4)

假設(shè)k時(shí)刻我們得知數(shù)據(jù)包是否發(fā)生丟失，也就是說γ(k)已知(可以通過比較y(k)與y(k-1)的值得到γ(k))。

2 估計(jì)器的設(shè)計(jì)

2.1 性能指標(biāo)的選取

假設(shè)系統(tǒng)有L個(gè)傳感器，每個(gè)傳感器能夠?qū)崿F(xiàn)本地的數(shù)據(jù)估計(jì)以及與相鄰傳感器進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸和交換?；贛HE的滾動(dòng)優(yōu)化策略，首先考慮一個(gè)長(zhǎng)度為N+1的滾動(dòng)窗口，并且窗口中的測(cè)量數(shù)據(jù)均由第i個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)得到。根據(jù)MHE原理，在T時(shí)刻，節(jié)點(diǎn)i的狀態(tài)估計(jì)值可以通過極小化一個(gè)二次優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)(5)得到。

(5)

s.t.式(1)～式(4)。

(6)

(7)

(8)

此時(shí)，到達(dá)代價(jià)函數(shù)的形式可以描述為

(9)

且滿足

β1+β2+…+βL=1

(10)

2.2 加權(quán)矩陣的計(jì)算

從目標(biāo)函數(shù)中可以看出，該方法在估計(jì)分布式系統(tǒng)的狀態(tài)時(shí)利用從相鄰節(jié)點(diǎn)得到的測(cè)量值和先驗(yàn)估計(jì)值來補(bǔ)償本節(jié)點(diǎn)的估計(jì)效果，其中到達(dá)代價(jià)函數(shù)部分采用了加權(quán)融合的策略，但是加權(quán)矩陣的計(jì)算方法沒有最優(yōu)性，因此在設(shè)計(jì)時(shí)考慮到估計(jì)的實(shí)時(shí)性，采用了計(jì)算量小的按標(biāo)量加權(quán)線性最小方差的融合準(zhǔn)則。

(11)

(12)

(13)

并且trP≤trPii。

由引理1可知，在T時(shí)刻，當(dāng)?shù)弥到y(tǒng)狀態(tài)的L個(gè)無偏估計(jì)值時(shí)，通過計(jì)算得到各個(gè)傳感器估計(jì)值的加權(quán)矩陣并最終獲得最優(yōu)的融合估計(jì)值。但值得注意的是，本文在求解T時(shí)刻的估計(jì)值時(shí)，是對(duì)到達(dá)代價(jià)函數(shù)進(jìn)行加權(quán)計(jì)算并通過求解一個(gè)目標(biāo)函數(shù)直接獲得最終估計(jì)值，所以不能直接使用引理1中的公式，因此本文提出了一種策略，即將T-1時(shí)刻對(duì)T時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值作為加權(quán)矩陣的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)。

(14)

在互協(xié)方差矩陣Pij已知的情況下，將式(14)帶入式(12)即可得到T時(shí)刻的加權(quán)矩陣。其中Pij可以是根據(jù)每個(gè)節(jié)點(diǎn)性質(zhì)設(shè)定的固定矩陣，也可以是每個(gè)估計(jì)時(shí)刻通過計(jì)算得到的時(shí)變矩陣，具體計(jì)算方法可參考文獻(xiàn)[9]。

3 估計(jì)器穩(wěn)定性分析

接下來以節(jié)點(diǎn)i為例分析估計(jì)器的穩(wěn)定性，為書寫方便，證明過程中下標(biāo)ek|T均記為ek。

(15)

s.t.式(1)～式(4)。

證明：對(duì)估計(jì)誤差求期望可得

(16)

(17)

(18)

顯然

(19)

對(duì)其兩側(cè)求期望得

(20)

結(jié)合式(16)和(21)可得

(21)

由式(2)得v(k)和w(k)的均值為零，所以化簡(jiǎn)得

(22)

4 仿真分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證所設(shè)計(jì)估計(jì)方法的有效性，需要進(jìn)行仿真分析，為此考慮以下狀態(tài)空間模型：

(23)

將系統(tǒng)的平均誤差范數(shù)(MEN)表示為

(24)

圖1 λ=0.8時(shí)狀態(tài)x1

圖2 λ=0.8時(shí)狀態(tài)x2

圖3 λ=0.8時(shí)MEN

圖1～圖3給出了給定丟包概率下的狀態(tài)軌跡，從圖中可以看出，DMHE算法由于考慮了丟包補(bǔ)償策略，所以估計(jì)狀態(tài)的跟隨效果較好；并且從表1得知，隨著丟包概率的增加，DMHE相對(duì)于參考文獻(xiàn)中的算法能夠得到更小的估計(jì)誤差。表2給出了計(jì)算量不同時(shí)估計(jì)所用的時(shí)間，從中可以看出DMHE所采用的按標(biāo)量加權(quán)線性最小方差的融合準(zhǔn)則能夠在保證估計(jì)效果的情況下減少估計(jì)時(shí)間，并且效果隨著計(jì)算量的增加而更加顯著。

表1 不同λ下的MEN

表2 不同k下的估計(jì)用時(shí)(s)

5 結(jié)論

針對(duì)具有隨機(jī)丟包的分布式網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問題，提出了一種魯棒滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)方法。系統(tǒng)中的節(jié)點(diǎn)能夠通過網(wǎng)絡(luò)與相鄰節(jié)點(diǎn)傳輸數(shù)據(jù)，并采用零階保持器來補(bǔ)償丟包對(duì)估計(jì)的影響?；跐L動(dòng)優(yōu)化原理，傳感器節(jié)點(diǎn)利用本地測(cè)量數(shù)據(jù)和相鄰節(jié)點(diǎn)傳來的數(shù)據(jù)將狀態(tài)估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為固定窗口內(nèi)的二次優(yōu)化問題，并使用標(biāo)量加權(quán)線性最小方差的方法對(duì)性能指標(biāo)進(jìn)行加權(quán)融合。該方法不僅保證了系統(tǒng)的一致性，還在保證準(zhǔn)確度的情況下減少了計(jì)算時(shí)間。最后，討論了估計(jì)器的穩(wěn)定性并進(jìn)行仿真驗(yàn)證。