徐云程，胡 華，孫小軍

(1.寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，銀川 750021；2.寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 寶雞 721013)

0 引言

其中

1 三層無標(biāo)度關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)協(xié)同傳播模型

1.1 三層關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

首先，我們建立一個(gè)三層關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，整個(gè)系統(tǒng)由3個(gè)子網(wǎng)A，B，C構(gòu)成，假設(shè)其分別含有N，M，H個(gè)節(jié)點(diǎn)。子網(wǎng)A到B、B到C之間有交叉連接，子網(wǎng)A到C之間沒有連接，且子網(wǎng)之間的連接是隨機(jī)的，記從A到B、B到A、B到C、C到B的層間網(wǎng)絡(luò)分別為AB，BA，BC，CB。具有3個(gè)子網(wǎng)的關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

圖1 三層關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)

1.2 相關(guān)知識(shí)

在建立模型之前，對(duì)相關(guān)符號(hào)做以下說明(見表1)。

表1 三層關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)符號(hào)說明

續(xù)表1

根據(jù)表1，可得3個(gè)子網(wǎng)A，B，C的易感節(jié)點(diǎn)總數(shù)、染病節(jié)點(diǎn)總數(shù)、節(jié)點(diǎn)總數(shù)分別為

聯(lián)合度分布分別為

邊界度分布分別為

平均度分別為

1.3 三層無標(biāo)度關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)協(xié)同傳播模型

由于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)給出的度分布信息是針對(duì)大部分節(jié)點(diǎn)的，并沒有準(zhǔn)確描述出單個(gè)節(jié)點(diǎn)的情況，因此，基于單個(gè)節(jié)點(diǎn)去研究無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上流行病的動(dòng)力學(xué)行為是很有現(xiàn)實(shí)意義的。本文用SIS倉室模型來描述3個(gè)子網(wǎng)上的動(dòng)力學(xué)行為，在整個(gè)系統(tǒng)上，節(jié)點(diǎn)可以有兩種狀態(tài)：易感態(tài)(S)、感染態(tài)(I)。

接下來，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)過程作如下假設(shè)：子網(wǎng)A中的一個(gè)易感節(jié)點(diǎn)通過一條層內(nèi)連邊被子網(wǎng)A中的一個(gè)染病節(jié)點(diǎn)感染的概率為λaa，通過一條層間連邊被子網(wǎng)B中的一個(gè)染病節(jié)點(diǎn)感染的概率為λba，對(duì)于非相關(guān)性無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，子網(wǎng)A中任意一條給定的邊與子網(wǎng)A中一個(gè)染病節(jié)點(diǎn)相連的概率為

(1)

子網(wǎng)A中任意一條給定的邊與子網(wǎng)B中一個(gè)染病節(jié)點(diǎn)相連的概率為

(2)

子網(wǎng)B中的一個(gè)易感節(jié)點(diǎn)通過一條層內(nèi)連邊被子網(wǎng)B中的一個(gè)染病節(jié)點(diǎn)感染的概率為λbb，通過一條層間連邊被子網(wǎng)A(C)中的一個(gè)染病節(jié)點(diǎn)感染的概率為λab(λcb)，子網(wǎng)B中任意一條給定的邊與子網(wǎng)A中一個(gè)染病節(jié)點(diǎn)相連的概率為

(3)

子網(wǎng)B中任意一條給定的邊與子網(wǎng)B中一個(gè)染病節(jié)點(diǎn)相連的概率為

(4)

子網(wǎng)B中任意一條給定的邊與子網(wǎng)C中一個(gè)染病節(jié)點(diǎn)相連的概率為

(5)

子網(wǎng)C中的一個(gè)易感節(jié)點(diǎn)通過一條層內(nèi)連邊被子網(wǎng)C中的一個(gè)染病節(jié)點(diǎn)感染的概率為λcc，通過一條層間連邊被子網(wǎng)B中的一個(gè)染病節(jié)點(diǎn)感染的概率為λbc，同樣可定義子網(wǎng)C中任意一條給定的邊與子網(wǎng)B中一個(gè)染病節(jié)點(diǎn)相連的概率為

(6)

子網(wǎng)C中任意一條給定的邊與子網(wǎng)C中一個(gè)染病節(jié)點(diǎn)相連的概率為

(7)

同時(shí)，子網(wǎng)A、B、C中的染病節(jié)點(diǎn)也會(huì)分別以恢復(fù)率μa，μb，μc變?yōu)橐赘泄?jié)點(diǎn)。

(8)

其中，e=0,1,…,naa;f=0,1,…,nba;g=0,1,…,nab;h=0,1,…,nbb;l=0,1,…,ncb;u=0,1,…,nbc;v=0,1,…,ncc。

2 閾值分析

2.1 全局傳播閾值

圖2 感染規(guī)模運(yùn)動(dòng)方向圖

(9)

方程(9)表示整個(gè)系統(tǒng)已經(jīng)進(jìn)入了穩(wěn)定狀態(tài)，所以λaa,λbb,λcc將非常逼近λd，故可以用λd替換λaa,λbb,λcc，得:

(10)

(11)

基于式(11)將式(10)改寫為矩陣形式，有

(12)

即

(13)

令

2.2 孤立子網(wǎng)的傳播閾值

考慮各孤立子網(wǎng)上的情況，即僅考慮層內(nèi)傳播，不考慮層間傳播。孤立子網(wǎng)A,B,C的動(dòng)力學(xué)模型分別為

(14)

在穩(wěn)定狀態(tài)，基于式(11)將上述模型寫為矩陣形式有

(15)

(16)

其中，Λmax(DA),Λmax(DB),Λmax(DC)分別為孤立子網(wǎng)A，B，C對(duì)應(yīng)的鄰接矩陣DA，DB，DC的最大特征值。

2.3 結(jié)論

為對(duì)比異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)耦合的三層串狀關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的全局傳播閾值與各孤立子網(wǎng)傳播閾值的大小關(guān)系，這里將分兩種情形進(jìn)行討論。

1)各孤立子網(wǎng)的恢復(fù)率均相等，即μa=μb=μc。

引理1(柯西交錯(cuò)定理)[15]設(shè)H是一個(gè)n×n的對(duì)稱矩陣，而M是H的一個(gè)n-1主子陣，如果λ1≥λ2≥…≥λn和μ1≥μ2≥…≥μn-1分別是矩陣H和M的特征值，那么λ1≥μ1≥λ2≥…≥λn-1≥μn-1≥λn。

Λmax(P)≥Λmax(DA),Λmax(P)≥Λmax(DB),Λmax(P)≥Λmax(DC)，

2)各孤立子網(wǎng)的恢復(fù)率至少有兩個(gè)不相等，即μa,μb,μc中至少有兩個(gè)不相等。

證明：由式(12)有

λdDAρA+DBAρB-μaIρA=0

DABρA+λdDBρB+DCBρC-μbIρB=0

DBCρB+λdDCρC-μcIρC=0

(17)

基于擾動(dòng)理論對(duì)各孤立子網(wǎng)的閾值進(jìn)行研究，對(duì)傳播閾值及感染密度施加擾動(dòng)(18)：

(18)

將式(18)代入式(17)，同時(shí)忽略二階項(xiàng)，有：

(19)

3 數(shù)值仿真

圖3和圖4分別展示了關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)及對(duì)應(yīng)孤立網(wǎng)絡(luò)平均最終感染規(guī)模的三維切平面等高線圖，兩幅圖中最外側(cè)兩條曲線之間的區(qū)域代表疾病消亡，其余部分代表疾病變成了地方病將在人群中永遠(yuǎn)流行。顯然圖3最外側(cè)兩條曲線之間區(qū)域的面積比圖4小，故關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)全局閾值比孤立網(wǎng)絡(luò)閾值要小[16]，即協(xié)同傳播減小了傳播閾值，促進(jìn)了疾病的傳播。

圖3 關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)平均最終感染規(guī)模

圖4 孤立網(wǎng)絡(luò)平均最終感染規(guī)模

4 結(jié)論

本文基于異質(zhì)平均場理論構(gòu)建了三層無標(biāo)度關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)協(xié)同傳播模型，利用擾動(dòng)理論對(duì)比分析了各子網(wǎng)的傳播閾值與全局閾值的相對(duì)大小。通過嚴(yán)格的數(shù)理方法分析得到：對(duì)三層無標(biāo)度關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)上的協(xié)同傳播而言，當(dāng)各子網(wǎng)的恢復(fù)率均相等時(shí)，全局傳播閾值小于等于單個(gè)子網(wǎng)的傳播閾值；當(dāng)各子網(wǎng)的恢復(fù)率至少有兩個(gè)不相等時(shí)，全局傳播閾值只能小于單個(gè)子網(wǎng)的傳播閾值?？傊?，協(xié)同傳播會(huì)使閾值減小，也即協(xié)同傳播促進(jìn)了疾病的傳播。

文中所建模型不僅可以分析部分媒介傳染病的傳播，還可以用來分析艾滋病在男人、女人和兒童之間的傳播。所得結(jié)論有助于理解媒介傳染病的傳播機(jī)理、解釋某些流行病快速威脅人類的原因，且理論結(jié)果將為衛(wèi)生部門更好地控制和預(yù)防流行病提供科學(xué)依據(jù)。事實(shí)上，在現(xiàn)實(shí)生活中也存在部分能在人與家禽之間傳播的媒介傳染病，同時(shí)，媒體報(bào)道在疾病的預(yù)防和控制中也發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，下一步將對(duì)受媒體報(bào)道影響的三層環(huán)狀無標(biāo)度關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)協(xié)同傳播模型進(jìn)行研究。