方榮東，王銀河，湯 曉

(1.廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,廣州 510006;2.中科啟迪光電子科技(廣州)有限公司,廣州 510006)

0 引言

綜合以上分析，本文針對(duì)具有不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和非線性耦合函數(shù)的兩個(gè)復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)，在其節(jié)點(diǎn)動(dòng)態(tài)及狀態(tài)維數(shù)均不同、耦合強(qiáng)度未知的情況下，著重兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)連接強(qiáng)度之間的誤差估計(jì)，利用處于不同網(wǎng)絡(luò)中對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)間的相似動(dòng)態(tài)行為設(shè)計(jì)廣義外同步自適應(yīng)控制器。與現(xiàn)有文獻(xiàn)相比，本文的優(yōu)勢(shì)在于不需要網(wǎng)絡(luò)滿足通常的耗散條件，同一網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的節(jié)點(diǎn)動(dòng)態(tài)及其狀態(tài)維數(shù)允許不同，并且所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制器的結(jié)構(gòu)更加簡單明了。

本文首先描述了一類節(jié)點(diǎn)異維且耦合強(qiáng)度未知的驅(qū)動(dòng)響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)，并提出廣義外同步定義和相關(guān)假設(shè)。然后借助兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)具有相似動(dòng)態(tài)行為的條件，結(jié)合lyapunov穩(wěn)定性定理進(jìn)行驅(qū)動(dòng)響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)廣義外同步控制設(shè)計(jì)和分析，得到了自適應(yīng)同步控制器及連接強(qiáng)度之差估計(jì)的自適應(yīng)律。最后通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了本文方法的有效性。

1 模型描述和基本假設(shè)

考慮如下驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)X和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)Y，它們分別由N個(gè)不同節(jié)點(diǎn)組成，其節(jié)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)方程分別表示為

(1)

(2)

其中,xi=(xi1,xi2,…xini)T∈Rni和yi=(yi1,yi2,…yimi)T∈Rmi分別是驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)(1)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(2)第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)向量，ni和mi分別是節(jié)點(diǎn)i的狀態(tài)維數(shù)，Ai∈Rni×ni和Bi∈Rmi×mi分別是節(jié)點(diǎn)i的系統(tǒng)矩陣，hij(xi,xj)∈Rni和pij(xi,xj,yj)∈Rmi(i,j=1,2,…N)是光滑的非線性向量函數(shù)，表示同一網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)間的內(nèi)部耦合關(guān)系，C=(cij)N×N和D=(dij)N×N分別是驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)X和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)Y的外部耦合結(jié)構(gòu)矩陣，反映網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和耦合強(qiáng)度。

假設(shè)1在驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)(1)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(2)中，網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)矩陣C和D的元素是未知的，即節(jié)點(diǎn)間的耦合強(qiáng)度cij，dij都是未知的常數(shù)，同時(shí)C和D不必滿足網(wǎng)絡(luò)耗散條件。

注1:在驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)(1)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(2)中，屬于同一網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)其狀態(tài)維數(shù)可以不同，兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的維數(shù)也可以不同。另外，假設(shè)1意味著本文涉及的網(wǎng)絡(luò)模型(1)和(2)更具一般性。

假設(shè)2存在N個(gè)非零實(shí)矩陣Si∈Rmi×ni，使得

SiAi=BiSi,i=1,2,…,N

(3)

注2：方程(3)表明驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)(1)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(2)中的系統(tǒng)矩陣Ai和Bi至少有一個(gè)相同的特征值，這意味著，驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)的第i個(gè)標(biāo)稱節(jié)點(diǎn)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的第i個(gè)標(biāo)稱節(jié)點(diǎn)有相似的動(dòng)態(tài)行為，本文將這兩個(gè)對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)稱作相似節(jié)點(diǎn)，Si稱作相似參量。顯然，這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)維數(shù)可以不同，另外，當(dāng)已知Ai和Bi時(shí)，利用矩陣的拉直運(yùn)算性質(zhì)[28]，方程(3)中的相似參量Si可由式(4)代數(shù)方程解得：

(4)

其中，vec(·)表示矩陣按列拉直后的向量，A?B表示矩陣A和B的Kronecker積。

假設(shè)3存在函數(shù)Hij(xi,xj)∈Rmi×mj(i=1,2…,N)滿足:

Sihij(xi,xj)=Hij(xi,xj)Sjxj,pij(xi,xj,yj)=Hij(xi,xj)yj

(5)

并且Hij(xi,xj)是范數(shù)有界的，即存在正數(shù)M使得‖Hij(xi,xj)‖≤M。

注3:方程(5)表明驅(qū)動(dòng)響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)各自的內(nèi)耦合函數(shù)之間也有某種相似關(guān)系，其中一個(gè)特例是若存在函數(shù)ψij(xi,xj)∈Rni×mj使得hij(xi,xj)=ψij(xi,xj)Sjxj成立，那么Hij(xi,xj)=Siψij(xi,xj)滿足(5)。

定義1考慮驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)(1)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(2)，若存在相似參量Si∈Rni×ni(i=1,2,…,N)，使得

(6)

則稱網(wǎng)絡(luò)(1)和網(wǎng)絡(luò)(2)實(shí)現(xiàn)了廣義外同步。

注4：定義1可以表示多種不同類型的外同步，例如當(dāng)S1=S2=…=SN=Ini時(shí)，表示完全外同步，此時(shí)兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)維數(shù)相等，即ni=mi，但此時(shí)每個(gè)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)節(jié)點(diǎn)的維數(shù)仍然可以不同；當(dāng)S1=S2=…=SN=αIni(其中0≠α∈R)，表示投影外同步。

2 外同步控制設(shè)計(jì)

本文的控制目標(biāo)是為響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(2)的每個(gè)節(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)合適的控制器ui，i=1,2,…,N，使其與驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)(1)實(shí)現(xiàn)廣義外同步。

為實(shí)現(xiàn)外同步控制目標(biāo)，提出如式(7)自適應(yīng)控制器:

(7)

其中，fij表示不同網(wǎng)絡(luò)中對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)連接強(qiáng)度誤差ωij=cij-dij的估計(jì)值，gi為控制增益，fij的自適應(yīng)律和增益gi的更新律分別為

(8)

(9)

其中，ki為任意正常數(shù)，i=1,2,…,N。

注5：由式(7)～(9)可以看出，與文獻(xiàn)[18]相比較，本文所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制器結(jié)構(gòu)更加簡單明了。

利用誤差ei=yi-Sixi(i=1,2,…,N)以及式(1)、(2)和(7)～(9)，可以得到誤差系統(tǒng):

(10)

證明:考慮正定函數(shù)(11)

(11)

利用式(7)～(10)，函數(shù)V(t)關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為

(12)

將式(5)代入式(12)可得:

(13)

從而

(14)

(15)

注6:使用定理1時(shí)需要檢驗(yàn)前提條件：

步驟1：針對(duì)網(wǎng)絡(luò)模型式(1)和(2)，在耦合強(qiáng)度cij，dij都是未知常數(shù)的情況下，確定自適應(yīng)律(8)、增益更新律(9)和控制器(7)。

步驟2：利用式(4)求出滿足式(3)的相似參量Si，i=1,2,…,N。

步驟3：利用步驟2中的結(jié)果驗(yàn)證假定3是否成立，若成立，則利用步驟1中的自適應(yīng)控制器作用于網(wǎng)絡(luò)(2)，從而實(shí)現(xiàn)外同步。

3 數(shù)值仿真

考慮驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)(1)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(2)各由5個(gè)節(jié)點(diǎn)組成，系統(tǒng)矩陣Ai和Bi分別為

上列矩陣表明驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)(1)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(2)不僅同一網(wǎng)絡(luò)內(nèi)節(jié)點(diǎn)的維數(shù)不完全一樣，兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)i的維數(shù)也不相同。拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)矩陣分別選擇為

在假設(shè)2中已給出了相似參量Si的算法，本文將它們選擇為

基于注3，函數(shù)ψij的選擇為

由此可得驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)(1)節(jié)點(diǎn)間的耦合函數(shù)為hij(xi,xj)=ψij(xi,xj)Sjxj，響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)Y節(jié)點(diǎn)間的耦合函數(shù)為pij(xi,xj,yj)=Hij(xi,xj)yj，系統(tǒng)狀態(tài)初值xi(0)和yi(0)及控制參數(shù)初值fij(0)和gi(0)隨機(jī)產(chǎn)生，自適應(yīng)控制器形式由式(7)～(9)給出。

仿真結(jié)果如圖1～圖5所示，其分別為參數(shù)ki=100(i=1,2,3,4,5)時(shí)驅(qū)動(dòng)響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)xi和yi的狀態(tài)收斂曲線，誤差ei和控制器ui的參數(shù)gi及參數(shù)fij(i,j=1,2,3,4,5)隨時(shí)間變化的響應(yīng)曲線。

圖1 ki=100時(shí)，節(jié)點(diǎn)xi(i=1,2,3,4,5)的狀態(tài)響應(yīng)曲線

圖2 ki=100時(shí)，節(jié)點(diǎn)yi(i=1,2,3,4,5)的狀態(tài)響應(yīng)曲線

圖3 ki=100時(shí)，誤差ei(i=1,2,3,4,5)的響應(yīng)曲線

圖4 ki=100時(shí)，自適應(yīng)律fij(i,j=1,2,3,4,5)的響應(yīng)曲線

圖5 ki=100時(shí)，控制增益gi(i=1,2,3,4,5)的響應(yīng)曲線

由圖1～圖3可以看到兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)誤差ei(t)(i=1,2,3,4,5)逐漸趨于0，即驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)(1)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(2)實(shí)現(xiàn)了廣義外同步；由圖4、圖5可知自適應(yīng)估計(jì)值fij和控制增益gi(i,j=1,2,3,4,5)都是有界的。上述仿真結(jié)果表明，本文提出的自適應(yīng)控制器可有效實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的廣義外同步。

4 結(jié)語

本文針對(duì)一類驅(qū)動(dòng)響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)廣義外同步問題，通過利用兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)間的相似性，在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同和耦合強(qiáng)度未知的情況下，使用自適應(yīng)律估計(jì)兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)中對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)耦合強(qiáng)度間存在的差異，并利用估計(jì)信息和網(wǎng)絡(luò)中對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)間的相似性輔助設(shè)計(jì)自適應(yīng)外同步控制器，結(jié)果表明網(wǎng)絡(luò)間的相似性有助于簡化控制設(shè)計(jì)，所設(shè)計(jì)的控制器結(jié)構(gòu)簡單明了，最后用數(shù)值仿真驗(yàn)證了該控制器的有效性。但本文僅探討了網(wǎng)絡(luò)孤立節(jié)點(diǎn)是線性且耦合無時(shí)滯的情形，而現(xiàn)實(shí)工程中非線性系統(tǒng)和時(shí)滯系統(tǒng)也是廣泛存在的，因此我們將在今后的研究中繼續(xù)探究包含非線性孤立節(jié)點(diǎn)以及具有時(shí)滯的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)外同步控制問題。