余 震，余靜嫻，張晨陽(yáng)

(1. 武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430081；2. 武漢科技大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)與制造工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430081)

近年來(lái)，隨著對(duì)制造精度要求的不斷提升，精密表面的微形貌測(cè)量技術(shù)至關(guān)重要[1]。目前，常用的微結(jié)構(gòu)表面形貌測(cè)量方法包括接觸式和非接觸式兩種。非接觸式測(cè)量技術(shù)(如光學(xué)掃描方法)具有高速、無(wú)損等優(yōu)點(diǎn)，但該技術(shù)不僅受被測(cè)物體表面反射率的限制，還存在掃描速度慢、設(shè)備成本高、測(cè)量效率低等問(wèn)題。接觸式測(cè)量技術(shù)精度和可靠性相對(duì)較高，此外，還可以通過(guò)更換測(cè)頭來(lái)實(shí)現(xiàn)不同材料微結(jié)構(gòu)表面的測(cè)量。

聚偏氟乙烯(PVDF)壓電材料除了具有良好的耐化學(xué)腐蝕性、耐高溫性和壓電性能外，還具有質(zhì)輕、柔性好等特點(diǎn)，可以根據(jù)需要加工成各種形狀、厚度的元件，有望應(yīng)用于微結(jié)構(gòu)表面形貌感測(cè)，其優(yōu)越性[2-3]具體表現(xiàn)在：①由PVDF制成的薄膜質(zhì)量輕、柔性極好，能以大面積陣列的形式貼附于被測(cè)結(jié)構(gòu)表面，對(duì)于不規(guī)則表面也能保證充分接觸；②PVDF由于具有優(yōu)異的壓電性能和介電性能，靈敏度相對(duì)較高，頻帶響應(yīng)范圍寬(0～500 Hz)；③ PVDF具有良好的力學(xué)性能，在進(jìn)行應(yīng)力檢測(cè)時(shí)，誤差相對(duì)較小，并且適用于動(dòng)態(tài)檢測(cè)，對(duì)應(yīng)力和應(yīng)變響應(yīng)迅速。

近年來(lái)，關(guān)于PVDF壓電薄膜在結(jié)構(gòu)監(jiān)測(cè)方面的應(yīng)用已有大量報(bào)道，如Sharma等[2]等采用靜電紡絲技術(shù)制備了一種高密度、密集排列的核-殼結(jié)構(gòu)PVDF納米纖維，可以應(yīng)用于血管內(nèi)的壓力監(jiān)測(cè)；Shapiro等[3]提出一種由PVDF壓電材料制成的偏轉(zhuǎn)傳感器，有望應(yīng)用于對(duì)機(jī)械手和柔性結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)過(guò)程的監(jiān)測(cè)與控制；李濤[4]以 PVDF 壓電薄膜為觸覺(jué)傳感器，設(shè)計(jì)出一種能有效分析三維空間觸覺(jué)信號(hào)的四棱臺(tái)式仿人機(jī)械手；李琳杰等[5]結(jié)合PVDF壓電薄膜開(kāi)發(fā)了一種足底壓力測(cè)試系統(tǒng)；Ling等[6]基于PVDF壓電薄膜提出了一種自感知的壓電驅(qū)動(dòng)XYZ撓性機(jī)構(gòu)傳感器，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)撓性機(jī)械手的精確控制；Youssef等[7-8]使用由PVDF制成的聚合物壓電薄膜，實(shí)現(xiàn)了對(duì)推力軸承內(nèi)部接觸壓力的感測(cè)；Cong[9]開(kāi)發(fā)了一種使用PVDF壓電薄膜的傳感器陣列，以檢測(cè)軸向流動(dòng)中葉片尖端的動(dòng)態(tài)壓力場(chǎng)。

基于此，本文首次提出將PVDF智能材料應(yīng)用于微結(jié)構(gòu)表面形貌檢測(cè)領(lǐng)域，并利用形貌特征曲線(xiàn)，對(duì)所提出方法的可行性和預(yù)測(cè)精度進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 PVDF陣列形貌特征曲線(xiàn)感測(cè)原理

基于PVDF壓電薄膜的微結(jié)構(gòu)表面形貌感測(cè)結(jié)構(gòu)如圖1所示。由圖1可見(jiàn)，該結(jié)構(gòu)由具有一定硬度的襯底和呈陣列排列的PVDF壓電薄膜組成，在進(jìn)行接觸表面檢測(cè)時(shí)，將該結(jié)構(gòu)壓在被測(cè)物體表面。為簡(jiǎn)化計(jì)算，推導(dǎo)PVDF微形貌感測(cè)數(shù)學(xué)模型時(shí)作如下假設(shè)：①將PVDF壓電片看作理想的介電材料，其損耗、單元溫度效應(yīng)、壓電體自感應(yīng)電場(chǎng)等影響因素均忽略不計(jì)；②不考慮PVDF壓電薄膜與襯底之間的“漏電”現(xiàn)象；③彈性襯底為各向同性材料；④在進(jìn)行材料表面微形貌檢測(cè)時(shí)，假設(shè)以應(yīng)力形式作用于PVDF壓電薄膜表面，并且視為僅沿其寬度方向進(jìn)行電荷輸出。

圖1 基于PVDF薄膜的微形貌檢測(cè)結(jié)構(gòu)圖

圖2所示為該微形貌感測(cè)結(jié)構(gòu)的原理示意圖，其中圖2(b)為圖2(a)上取得的結(jié)構(gòu)微元。由圖2(a)可見(jiàn)，基底材料為剛性體，載荷以均布載荷的形式施加于PVDF薄膜表面；對(duì)于其結(jié)構(gòu)微元而言，可以將均布載荷函數(shù)F(t)近似為集中載荷施加在微元表面，如圖2(b)所示。

(a) 感測(cè)結(jié)構(gòu)原理

(b) 結(jié)構(gòu)微元

如圖2所示，在載荷作用下，PVDF薄膜輸出電極的輸出量是電感應(yīng)強(qiáng)度，極化方向?yàn)閤方向，根據(jù)簡(jiǎn)化條件，PVDF壓電薄膜只需考慮沿厚度方向(該方向的壓電應(yīng)變常數(shù)是d33)的受力，壓電方程可簡(jiǎn)化為：

(1)

當(dāng)電場(chǎng)為0且只考慮電學(xué)邊界條件時(shí)，PVDF壓電薄膜的壓電方程為忽略電場(chǎng)后的第一類(lèi)壓電方程，不同受力方向及不同表面上電荷積累是不同的，忽略自感應(yīng)電場(chǎng)二階響應(yīng)的影響，E3近似為0，可忽略不計(jì)，故沿極化方向的電荷密度表示為：

D3=d33σ3

(2)

在微小應(yīng)變作用下，PVDF薄膜上的應(yīng)力和應(yīng)變呈線(xiàn)性關(guān)系，可表示為：

σ=Eε

(3)

若將PVDF薄膜放入直角坐標(biāo)系中，在PVDF薄膜上任取一點(diǎn)(x,y)，其應(yīng)變?yōu)椋?/p>

(4)

由式(4)可見(jiàn)，PVDF薄膜各點(diǎn)上的電荷密度隨位置坐標(biāo)變化而改變，若已知任意點(diǎn)的電荷密度，即可求出該點(diǎn)的應(yīng)變量。但由于PVDF陣列微元感測(cè)的微形貌是一定面積，目前尚不能檢測(cè)出任一點(diǎn)的電荷密度，故可根據(jù)該區(qū)域的平均應(yīng)變來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)所測(cè)形貌的近似檢測(cè)。

對(duì)于PVDF薄膜微元而言，其產(chǎn)生的電荷總量為：

(5)

根據(jù)積分中值定理，即：

(6)

故在進(jìn)行表面形貌檢測(cè)時(shí)，由PVDF產(chǎn)生的表面電荷量可表示為：

(7)

電荷量一般不容易直接通過(guò)測(cè)量得到，需要對(duì)電荷進(jìn)行放大后，轉(zhuǎn)換測(cè)得其電壓信號(hào)。理想情況下，當(dāng)電荷放大器的放大倍數(shù)A足夠大時(shí)，傳感器本身的電容及電纜長(zhǎng)度將不影響電荷放大器的輸出，電荷放大器輸出電壓U0只與電荷Q、反饋電容Cf有關(guān)。電荷放大器輸入電荷和輸出電壓關(guān)系可近似表示為：

(8)

將式(7)帶入后可得：

(9)

(10)

式中：E表示PVDF薄膜的彈性模量。由式(10)可知，PVDF薄膜應(yīng)變的檢測(cè)精度取決于電壓值的檢測(cè)精度。

在利用PVDF薄膜檢測(cè)材料微形貌特征曲線(xiàn)時(shí)，需要利用薄膜與被測(cè)結(jié)構(gòu)的接觸進(jìn)行形貌曲線(xiàn)型值點(diǎn)的檢測(cè)。為使檢測(cè)點(diǎn)盡可能接近形貌曲線(xiàn)，特取薄膜中點(diǎn)的應(yīng)變值為型值點(diǎn)。圖3為使用一整片與被測(cè)結(jié)構(gòu)大小相同的PVDF薄膜進(jìn)行接觸表面形貌檢測(cè)時(shí)的結(jié)構(gòu)示意圖。如圖3所示，采用一種軟基材料附著在PVDF薄膜上形成觸覺(jué)智能結(jié)構(gòu)，該軟基材料具有一定流動(dòng)性，會(huì)隨著變形空間改變而填充空間；基底為一層剛性較好的均質(zhì)材料，以保證作用在基底材料上的載荷能最終均勻作用在PVDF薄膜上，使PVDF薄膜隨著被測(cè)結(jié)構(gòu)充分變形。由于薄膜與被測(cè)結(jié)構(gòu)表面完全貼合，薄膜所產(chǎn)生的應(yīng)變量即為被測(cè)結(jié)構(gòu)形貌特征曲線(xiàn)的函數(shù)值，故薄膜的應(yīng)變曲線(xiàn)與形貌特征曲線(xiàn)為同一曲線(xiàn)，如圖4所示。

圖3 單片PVDF薄膜接觸被測(cè)表面的結(jié)構(gòu)示意圖

圖4 單片PVDF薄膜變形后的等效平均應(yīng)變

圖4中，x表示被測(cè)對(duì)象的長(zhǎng)度方向，y表示被測(cè)對(duì)象厚度方向。若要利用PVDF薄膜應(yīng)變量反映被測(cè)材料的形貌特征曲線(xiàn)，則需對(duì)總應(yīng)變量進(jìn)行歸一化處理，根據(jù)積分中值定理，整片PVDF薄膜的平均應(yīng)變量可表示為：

(11)

變形最大處的檢測(cè)誤差為：

(12)

變形最小處的檢測(cè)誤差：

(13)

當(dāng)PVDF薄膜片數(shù)增加時(shí)，單元尺寸變小，型值點(diǎn)檢測(cè)精度有所提高，對(duì)應(yīng)被測(cè)結(jié)構(gòu)的形貌檢測(cè)精度也會(huì)提高，如圖5和圖6所示。

圖5 m片PVDF薄膜接觸表面的結(jié)構(gòu)示意圖

圖6 m片PVDF薄膜發(fā)生變形后的等效平均應(yīng)變

當(dāng)使用m片PVDF薄膜進(jìn)行材料表面形貌檢測(cè)時(shí)，在已知材料形貌特征曲線(xiàn)的情形下，PVDF薄膜的平均應(yīng)變值可表示為：

(14)

式中：d為薄膜間距，μm；y為PVDF薄膜微元產(chǎn)生的微位移量，μm。

在考慮薄膜間距的情況下，相鄰壓電薄膜之間為等間距排布，以被測(cè)物體的一端為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)壓電片的中心點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為x，則第i片薄膜中點(diǎn)坐標(biāo)xi可以表示為：

(15)

將第i片壓電薄膜測(cè)得的電壓值通過(guò)計(jì)算轉(zhuǎn)化為平均應(yīng)變值，記為yi，則取坐標(biāo){(xi,yi),i=1,2,…,m}為被測(cè)i點(diǎn)的形貌型值點(diǎn)。

為了重構(gòu)被測(cè)結(jié)構(gòu)的形貌，需要針對(duì)被測(cè)形貌的特征曲線(xiàn)建立數(shù)學(xué)模型。常用的方法有最小二乘法、多項(xiàng)式插值法和三次樣條插值法。三次樣條法克服了最小二乘法及多項(xiàng)式插值法在曲線(xiàn)擬合方面的不足，可生成帶有拐點(diǎn)的平面曲線(xiàn)，目前大多數(shù)曲線(xiàn)擬合均可采用該方法來(lái)實(shí)現(xiàn)，并且隨著型值點(diǎn)的增加，曲線(xiàn)擬合精度有所提高。

曲線(xiàn)的擬合誤差采用均方根誤差RMSE表示,即：

(16)

式中：N表示擬合曲線(xiàn)上樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)；δi表示樣本點(diǎn)與原形貌曲線(xiàn)上點(diǎn)的誤差。

2 形貌曲線(xiàn)擬合與誤差分析

在利用PVDF薄膜陣列對(duì)被測(cè)結(jié)構(gòu)的形貌特征曲線(xiàn)進(jìn)行感測(cè)時(shí)，由于薄膜片尺寸決定著型值點(diǎn)精度，故選取PVDF陣列結(jié)構(gòu)作為研究對(duì)象，設(shè)每片PVDF壓電薄膜的寬度為w，在基底上可以排布n片薄膜。假設(shè)被測(cè)表面的微形貌特征曲線(xiàn)為y=10sin(0.01x)，則被測(cè)表面水平寬度為π μm，最高點(diǎn)ymax=100 μm。對(duì)PVDF薄膜檢測(cè)的形貌特征曲線(xiàn)設(shè)置等分區(qū)間，對(duì)每一等分區(qū)間進(jìn)行積分求取平均值，并把每段應(yīng)變條形圖的中點(diǎn)作為型值點(diǎn)。

在3等分和5等分條件下，對(duì)獲得的型值點(diǎn)進(jìn)行三次樣條插值，可以得到近似的形貌特征曲線(xiàn)和擬合曲線(xiàn)如圖7所示。

(a) 三等分情況

(b) 五等分情況

當(dāng)有3個(gè)型值點(diǎn)時(shí)，由于型值點(diǎn)數(shù)目的限制，只能擬合出二次曲線(xiàn)，即：

y=-43.54(x-52.36)2+91.19(x-52.36)+

47.75 (0≤x≤314.16)

(17)

當(dāng)有5個(gè)型值點(diǎn)時(shí)，被測(cè)結(jié)構(gòu)形貌曲線(xiàn)可由4段三次曲線(xiàn)組成，表示為：

(18)

由圖7可以看出，當(dāng)有5個(gè)型值點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)PVDF薄膜單元尺寸減小，每段PVDF薄膜單元產(chǎn)生的平均應(yīng)變更接近原曲線(xiàn)，所擬合的曲線(xiàn)也更符合原曲線(xiàn)的形貌特征。表1列出了不同等分尺寸和薄膜間距下所得擬合曲線(xiàn)的均方根誤差和型值點(diǎn)誤差，可以看出，隨著等分?jǐn)?shù)量的增加，所對(duì)應(yīng)擬合曲線(xiàn)的均方根誤差和型值點(diǎn)誤差均明顯減小。

為進(jìn)一步了解薄膜參數(shù)對(duì)被測(cè)結(jié)構(gòu)表面形貌檢測(cè)精度的影響規(guī)律，采用二次多項(xiàng)式數(shù)學(xué)回歸法建立表面薄膜尺寸w和薄膜間距d之間的關(guān)系，即：

ε=a1w+a2d+a3wd+a4w2+a5d2

(19)

式中：a1～a5為多項(xiàng)式待定系數(shù)。

基于表1中的數(shù)據(jù)，利用MATLAB數(shù)學(xué)軟件繪制得到型值點(diǎn)誤差與薄膜尺寸和薄膜間距的擬合圖形，如圖8所示，得到擬合誤差與單元參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系為：

ε=-1.32×10-4w+2.637×10-3d+

1.891×10-6wd+

5.658×10-6w2-1.437×10-7d2

(20)

由圖8可以看出，該擬合圖形基本反映了曲線(xiàn)形貌擬合精度的變化趨勢(shì)，通過(guò)MATLAB軟件計(jì)算得到該模型的擬合優(yōu)度R2為 0.9256。由此看來(lái)，有約92.6%的表面形貌檢測(cè)精度與所研究的兩個(gè)因素(PVDF薄膜尺寸和薄膜間距)有關(guān)，有7.4%的誤差不能由該模型來(lái)解釋。擬合的均方根誤差為0.002 911，表明該模型擬合程度良好。通過(guò)建立誤差與單元尺寸以及間距的函數(shù)關(guān)系，為形貌檢測(cè)逆向設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)，在已知形貌精度的情況下可進(jìn)行PVDF單元尺寸的選擇。

表1 不同PVDF薄膜尺寸和薄膜間距下的擬合誤差

圖8 PVDF單元尺寸和單元間距對(duì)形貌感測(cè)精度的影響

3 結(jié)語(yǔ)

本文基于對(duì)PVDF壓電材料的特性分析，提出了一種通過(guò)接觸實(shí)現(xiàn)微結(jié)構(gòu)表面形貌檢測(cè)的方法，利用函數(shù)y=10sin(0.01x)模擬被測(cè)結(jié)構(gòu)的形貌特征曲線(xiàn)，對(duì)該方法的可行性和準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證，并從PVDF陣列結(jié)構(gòu)的角度，分析了擬合誤差與薄膜尺寸和間距之間的關(guān)系，為PVDF薄膜陣列式形貌檢測(cè)方法的實(shí)現(xiàn)及單元尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。由于本文采用的模型較特殊，而實(shí)際測(cè)量過(guò)程中，被測(cè)結(jié)構(gòu)的表面形貌更加復(fù)雜，擬合曲線(xiàn)誤差會(huì)隨著被測(cè)形貌、薄膜尺寸、擬合方法等多種因素的改變而改變。因此，后續(xù)研究應(yīng)該圍繞更具一般性的被測(cè)結(jié)構(gòu)表面形貌輪廓曲線(xiàn)而展開(kāi)；此外，由于缺乏實(shí)驗(yàn)條件，目前尚無(wú)法通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)結(jié)果的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證，這也是后續(xù)工作的重點(diǎn)。