景慧麗，李應(yīng)岐

(火箭軍工程大學(xué) 基礎(chǔ)部，陜西 西安 710025)

教育家波利亞說(shuō)：“學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑都是由自己去發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)，理解最深刻，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系。[1]”因此，在教學(xué)過(guò)程中教員要?jiǎng)?chuàng)造探索、探究情境，讓學(xué)員主動(dòng)地去參與到知識(shí)的探索發(fā)現(xiàn)過(guò)程中，要充分發(fā)揮學(xué)員學(xué)習(xí)主體的作用。注意到探究性教學(xué)是在教員的指導(dǎo)下，學(xué)員圍繞一定的問(wèn)題、文本或材料，通過(guò)自主參與發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題等一系列的探索活動(dòng)(其中包括思維、情感和動(dòng)作等方面的活動(dòng))，來(lái)獲得知識(shí)和技能、發(fā)展能力、培養(yǎng)情感體驗(yàn)，它突出學(xué)員的主體地位，注重培養(yǎng)學(xué)員發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的意識(shí)和能力，強(qiáng)調(diào)學(xué)員主動(dòng)性和創(chuàng)造性的發(fā)揮[2]。因此，筆者研究和探索了以學(xué)為中心的互動(dòng)探究性教學(xué)法，并在軍?！案叩葦?shù)學(xué)”課程教學(xué)中進(jìn)行了多年實(shí)踐檢驗(yàn)，教學(xué)效果不錯(cuò)。該教學(xué)模式注重學(xué)員問(wèn)題意識(shí)和創(chuàng)新能力的發(fā)展，能充分發(fā)揮學(xué)員學(xué)習(xí)主體的作用，有效解決了學(xué)員缺乏質(zhì)疑精神和探討熱情、不愿參與到教學(xué)活動(dòng)中、懶于動(dòng)腦思考的問(wèn)題。解決了“高等數(shù)學(xué)”這門理論性強(qiáng)又高度抽象且讓學(xué)員感覺(jué)“枯燥”、“畏懼”的課程互動(dòng)內(nèi)容簡(jiǎn)單、互動(dòng)形式單一、互動(dòng)對(duì)象不平等、互動(dòng)策略不多、互動(dòng)教學(xué)不實(shí)、互動(dòng)效果不好的問(wèn)題。實(shí)現(xiàn)了從注重課本知識(shí)傳授的“以教為中心”向“科學(xué)知識(shí)+思想方法+問(wèn)題意識(shí)+創(chuàng)新能力+價(jià)值塑造”并重的“以學(xué)為中心”的教學(xué)理念、教學(xué)模式的轉(zhuǎn)變。本文以“拉格朗日乘數(shù)法”的教學(xué)為例，探討一下以學(xué)為中心的互動(dòng)探究性教學(xué)法的具體實(shí)施過(guò)程。

1 創(chuàng)設(shè)情境，引出條件極值的概念，并給出幾何解釋

一堂課的引入是非常重要的，課堂引入往往直接影響教學(xué)效果，好的課堂引入能激發(fā)學(xué)員的學(xué)習(xí)興趣，喚起學(xué)員的思維，引燃學(xué)員的學(xué)習(xí)激情[3]。考慮到目前“高等數(shù)學(xué)”課程教材缺少實(shí)際應(yīng)用和軍事應(yīng)用的例子，再結(jié)合軍校學(xué)員身份的特殊性，既是學(xué)生更是軍人，筆者就以軍事應(yīng)用問(wèn)題(某部隊(duì)某基地物資中轉(zhuǎn)站的選址問(wèn)題)作為本節(jié)課的引入，并啟發(fā)學(xué)員將實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行一些合理的簡(jiǎn)化，同時(shí)引導(dǎo)他們用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述、解決該實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步概括總結(jié)，從而得到條件極值的概念，即當(dāng)自變量(x，y)滿足條件ψ(x，y)=0時(shí)，計(jì)算函數(shù)z=f(x，y)的極值問(wèn)題。這類問(wèn)題也稱為有約束極值問(wèn)題。

這種引入不但讓學(xué)員體會(huì)到了數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)際生活，而且也讓他們感受到了數(shù)學(xué)的軍事應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)也讓他們初步掌握了簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模方法，培養(yǎng)了他們綜合所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力。

為了讓學(xué)員更深刻地理解條件極值的概念，筆者又利用多媒體軟件演示了條件極值的動(dòng)態(tài)圖，這種幾何輔助分析法不但能直觀地揭示條件極值這個(gè)概念的本質(zhì)，而且也豐富了數(shù)學(xué)教學(xué)手段。

在本節(jié)以學(xué)為中心的互動(dòng)探究性教學(xué)過(guò)程中典型例題的選取也是很重要的，例題不但要直觀明了，也要為后面由淺入深、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜地探索條件極值的解法奠定基礎(chǔ)。

條件極值的概念解釋清楚后就進(jìn)入了最重要的環(huán)節(jié)——條件極值的求解問(wèn)題。

2 由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，求解約束條件能顯化的例子，得代入法

3 約束條件逐步復(fù)雜化，代入法失效

4 借助幾何直觀輔助分析，獲得靈感

筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)員無(wú)從下手、毫無(wú)頭緒，不知道該從哪里入手進(jìn)行分析，此時(shí)筆者及時(shí)地進(jìn)行引導(dǎo)，告訴學(xué)員在探索知識(shí)的過(guò)程中當(dāng)理論分析陷入困境時(shí)，可以運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，借助幾何圖形輔助分析，因?yàn)橹麛?shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時(shí)少知覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事非。[6]”這種借助學(xué)員熟悉的名人的名言的教學(xué)方法，不但可以使自己的講解更具說(shuō)服力，還可以增加學(xué)員的學(xué)習(xí)興趣。

接著筆者帶領(lǐng)學(xué)員利用“數(shù)形結(jié)合”的方法進(jìn)行探索，筆者首先給出目標(biāo)函數(shù)z=f(x，y)的等值線f(x，y)=c和約束條件ψ(x，y)=0的曲線l，如圖1所示。

圖1 條件極值的幾何特征

然后筆者通過(guò)動(dòng)態(tài)演示讓學(xué)員觀察并思考在條件極小值點(diǎn)處約束曲線和等值線有什么關(guān)系？并通過(guò)讓學(xué)員解決一系列階梯問(wèn)題，最終得到結(jié)論：在條件極小值點(diǎn)P0(x0，y0)處，等式

(1)

成立。

得到等式(1)后，筆者提出兩個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)員思考、討論：上述結(jié)論是否具有一般性呢？上述結(jié)論是從幾何圖形上得到的，那么其在理論上成立嗎？

5 大膽猜想，并對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證

學(xué)員對(duì)上述等式是否在理論上成立意見(jiàn)并不一致，這個(gè)屬于正常情況，因?yàn)閷W(xué)員數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不同，接受新事物的能力也不同，所以當(dāng)學(xué)員的探索偏離主題或出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，就需要教員進(jìn)行及時(shí)的指導(dǎo)。此時(shí)筆者鼓勵(lì)學(xué)員不妨大膽猜想上述等式在理論上也是成立的，并且也通過(guò)名人名言名事告訴學(xué)員合理猜想在科學(xué)發(fā)展史上的重要性，讓學(xué)員體會(huì)合理猜想的價(jià)值。然后筆者告訴學(xué)員合理猜想后還需要對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證，驗(yàn)證猜想也是科學(xué)探索、獲取知識(shí)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，并讓學(xué)員思考如何驗(yàn)證上述猜想。此時(shí)大部分學(xué)員都不知道怎么驗(yàn)證，筆者告訴學(xué)員借助已知來(lái)研究未知是最常用的數(shù)學(xué)方法，啟發(fā)學(xué)員可以利用已學(xué)的知識(shí)進(jìn)行驗(yàn)證，另外，注意到等式(1)是在極值點(diǎn)處成立的，因此可以從函數(shù)取得極值的必要條件入手進(jìn)行驗(yàn)證。大部分學(xué)員都會(huì)想到用已知的“代入法”進(jìn)行驗(yàn)證，但是使用代入法時(shí)要求約束條件ψ(x，y)=0必須能顯化，但是這里的前提條件是約束條件ψ(x，y)=0不易顯化或者不能顯化，這就構(gòu)成了矛盾，該如何化解矛盾呢？學(xué)員思考、討論后，筆者帶領(lǐng)學(xué)員共同完成了猜想的驗(yàn)證過(guò)程。

6 水到渠成，獲得拉格朗日乘數(shù)法

(2)

針對(duì)方程組(2)，筆者提出了以下問(wèn)題：從代數(shù)學(xué)的角度分析，點(diǎn)(x0，y0，λ0)能否看成是方程組的解？哪個(gè)方程組呢？該方程組具有什么特征？該方程組能否看成是某個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的方程組？如果點(diǎn)(x0，y0)是所求的條件極值點(diǎn)，那么點(diǎn)(x0，y0，λ0)一定是方程組的解嗎？在數(shù)學(xué)中，使一個(gè)函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)叫做什么？上述問(wèn)題都是基本問(wèn)題，學(xué)員通過(guò)解決上述問(wèn)題，最終得到結(jié)論：如果點(diǎn)(x0，y0)是所求的條件極值點(diǎn)，那么點(diǎn)(x0，y0，λ0)一定是函數(shù)L(x，y，λ)=f(x，y)+λψ(x，y)的駐點(diǎn)。此時(shí)，筆者又提出問(wèn)題：根據(jù)所得結(jié)論，能否得到求解條件極值的方法？一般解題步驟是什么？上述方法的前提條件是什么？學(xué)員討論完，筆者進(jìn)行講評(píng)、歸納和總結(jié)，最終得到如下結(jié)論：若f(x，y)、ψ(x，y)在定義域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且ψx、ψy不同時(shí)為零，則求函數(shù)f(x，y)在條件ψ(x，y)=0限制下的極值的一般步驟是：

Step 1 構(gòu)造輔助函數(shù)

L(x，y，λ)=f(x，y)+λψ(x，y)；

Step 2 解方程組

Step 3 考查駐點(diǎn)是不是極值點(diǎn)。

探索到這里，筆者告訴學(xué)員這種方法其實(shí)就是“拉格朗日乘數(shù)法”，其中引進(jìn)的λ稱為“拉格朗日乘子”，構(gòu)造的輔助函數(shù)L(x，y，λ)=f(x，y)+λψ(x，y)稱為“拉格朗日函數(shù)”，這樣就還原了“拉格朗日乘數(shù)法”的創(chuàng)建過(guò)程，讓學(xué)員在探索過(guò)程中獲取了知識(shí)。至此，本節(jié)課并沒(méi)有結(jié)束，此時(shí)筆者又介紹了拉格朗日創(chuàng)建“拉格朗日乘數(shù)法”的數(shù)學(xué)史，及“拉格朗日乘數(shù)法”這種思想在最優(yōu)化理論與方法發(fā)展史上的重要價(jià)值，這樣不但提高了學(xué)員的學(xué)習(xí)興趣，而且讓學(xué)員感受到了前輩們發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識(shí)的艱辛[3]。

7 應(yīng)用和推廣拉格朗日乘數(shù)法解決實(shí)際問(wèn)題，掌握解題方法，加深理解

為了讓學(xué)員理解并掌握拉格朗日函數(shù)法的構(gòu)造方法以及用拉格朗日乘數(shù)法解決條件極值的具體過(guò)程，筆者精選了典型例題，讓學(xué)員獨(dú)立完成，然后筆者隨機(jī)抽取幾名學(xué)員的解題步驟展示在屏幕上，讓所有學(xué)員討論、點(diǎn)評(píng)、挑刺，筆者對(duì)學(xué)員的點(diǎn)評(píng)進(jìn)行補(bǔ)充。最后，筆者告訴學(xué)員在實(shí)際應(yīng)用中更常見(jiàn)的是n(n≥3)元函數(shù)受m(m

8 歸納總結(jié)兩種方法的實(shí)質(zhì)，“化歸”思想自然呈現(xiàn)

得到拉格朗日乘數(shù)法的推廣形式后，筆者先讓學(xué)員提煉并歸納總結(jié)“代入法”和“拉格朗日乘數(shù)法”的本質(zhì)、使用條件及適用范圍，然后筆者進(jìn)行必要的補(bǔ)充：“代入法”是將二元函數(shù)的條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題，屬于降元法；“拉格朗日乘數(shù)法”是將二元函數(shù)的條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求三元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題，屬于升元法，無(wú)論是哪種方法都是將條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成無(wú)條件極值問(wèn)題進(jìn)行求解的，這個(gè)“轉(zhuǎn)化”也稱為“化歸”就是本節(jié)知識(shí)點(diǎn)主要的數(shù)學(xué)思想方法，另外，將實(shí)際問(wèn)題通過(guò)數(shù)學(xué)建模的方法轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題也屬于“化歸”。這樣“化歸”這個(gè)思想方法就水到渠成、自然而然地獲得了，而不是教員硬生生地告訴學(xué)員什么是“化歸”了，接著筆者又介紹了日常生活中、“高等數(shù)學(xué)”課程中“化歸”思想的應(yīng)用，讓學(xué)員體會(huì)、感受“化歸”的美。至此，課堂上的“拉格朗日乘數(shù)法”以學(xué)為中心的互動(dòng)探究性教學(xué)過(guò)程就結(jié)束了。

以學(xué)為中心的互動(dòng)探究性教學(xué)還原了知識(shí)的創(chuàng)建過(guò)程，融入了數(shù)學(xué)思想方法，有利于提升學(xué)員的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。需要注意的是，以學(xué)為中心的互動(dòng)探究性教學(xué)中，教員是學(xué)員探索活動(dòng)的設(shè)計(jì)者和學(xué)員探索過(guò)程中的引導(dǎo)者，所以，要想充分發(fā)揮好互動(dòng)探究性教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，教員必須提高自身素質(zhì)、熟悉教學(xué)內(nèi)容、了解教學(xué)對(duì)象，這樣才能充分發(fā)揮好自己的主導(dǎo)作用[7]。